TEXT2>UText1Article“!Text1HeadingEl logaritmo de un número en una base dada es la potencia a la que hay que elevar la base para obtener ese número. Escribimos log_bx = a, que significa que el logaritmo de x en base b es igual a a. En otras palabras, a es la potencia a la que debemos elevar b para obtener el número x, es decir, b^a = x.

Por ejemplo, supongamos que deseamos hallar el logaritmo en base 10 de 1.000. En otras palabras, queremos hallar a en log₁₀1.000 = a. Podemos reescribir esto como 10^a = 1.000. Por lo tanto, a = 3 porque 10 × 10 × 10 = 10³ = 1.000. Por lo tanto, log₁₀1.000 = 3.

También se puede hallar el logaritmo de un decimal. Por ejemplo, supongamos que deseamos hallar el logaritmo en base 10 de 0,01. Escribimos log₁₀0,01 = a. Por tanto

Entonces a = -2. En otras palabras, log₁₀0,01 = -2.

No todos los logaritmos se pueden evaluar de forma tan directa. La utilización de una calculadora o de tablas de logaritmos es habitual para hallar logaritmos más difíciles. Por ejemplo, sería muy difícil evaluar log₁₀3 sin utilizar alguna de estas ayudas, ya que no resulta obvio cuál es el valor de a en 10^a = 3. Utilizando una calculadora, podemos hallar que log₁₀3 = 0,477121254 (con precisión hasta la novena posición decimal).

Cuando la base es 10, como en los ejemplos anteriores, el logaritmo recibe el nombre de logaritmo común. No se acostumbra a incluir la base cuando se escribe un logaritmo común. Por ejemplo, se asume que log3 significa el logaritmo en base 10, o logaritmo común, de 3.

Historia de los logaritmos

Los logaritmos fueron inventados por el matemático escocés John Napier hacia 1594. Sin embargo, Napier no publicó su descubrimiento hasta que hubo calculado una tabla de logaritmos, una tarea que le tomó 20 años, sin ayuda. Las tablas y su explicación se publicaron en 1614 y fueron bien acogidas inmediatamente por los matemáticos y los astrónomos como ayuda al cálculo. Los logaritmos de Napier utilizaban un principio ligeramente distinto del que actualmente utilizamos para los logaritmos comunes. Napier había diseñado sus tablas para utilizarlas con las funciones trigonométricas ya que esto era lo más útil para astronomía y navegación. Se había dado cuenta que la idea moderna de los logaritmos en base 10 sería útil de manera más general, pero cuando ya había empezado sus cálculos no quiso cambiar. El matemático inglés Henry Briggs llevó adelante la tarea de calcular los logaritmos en base 10, y las tablas que publicó en 1617 proporcionaron la forma estándar para las tablas que aún se utilizan hoy en día, aunque hayan sido reemplazadas ampliamente por las calculadoras.

Medida de la intensidad sonora

Un ejemplo sencillo de la utilización de los logaritmos se encuentra en la expresión de la intensidad sonora. La intensidad del sonido se mide en belios y en decibelios, con 1 belio igual a 10 decibelios. Se utilizan los logaritmos para definir los belios y los decibelios. La utilización de números convencionales sería difícil debido al amplísimo rango de intensidades de sonido que el oído humano puede oír. Se define el umbral de audición como 0 belios. La intensidad de un sonido cualquiera se define como el logaritmo en base 10 del número de veces que la intensidad del sonido está por encima del umbral de audición. Por ejemplo, supóngase que tenemos un sonido cuya intensidad sea 1.000 veces superior al umbral de audición. El logaritmo en base 10 de 1.000 es 3, por lo que este sonido tiene una intensidad de 3 belios (30 decibelios).

Comprobación de una distribución exponencial

Podemos también utilizar los logaritmos para comprobar si una cantidad sigue una distribución exponencial. Si dibujamos un conjunto de datos sobre una gráfica y al conectar los puntos obtenemos una curva en forma de S, podemos sospechar que los datos siguen una distribución exponencial. Para comprobar si este es el caso, deberíamos representar los datos de nuevo utilizando una escala logarítmica en uno de los ejes de la gráfica. Si los puntos descansaran sobre una línea recta, se confirmaría que los datos siguen una distribución exponencial.

Logaritmos comunes