TEXT���2���������>�����Text1Article���*���Text1Heading�<P1>Un n&uacute;mero irracional es aqu&eacute;l que no se puede expresar como <I>p/q</I>, donde <I>p</I> y <I>q</I> son <HOT TARGET=699>enteros</HOT> y <I>q</I> es mayor que 0. Los n&uacute;meros que se pueden expresar de esta forma se denominan n&uacute;meros racionales. Por ejemplo, las <HOT TARGET=1660>fracciones</HOT> tales como 1/2, 1/3 y 3/4 son n&uacute;meros racionales. Los enteros tambi&eacute;n son n&uacute;meros racionales, ya que cada entero se puede expresar como una fracci&oacute;n de <HOT TARGET=1227>denominador</HOT> 1. Por ejemplo, 6 se puede escribir como 6/1. Son ejemplos de n&uacute;meros irracionales <HOT TARGET=276> pi</HOT> (&pi;), el <HOT TARGET=1535>n&uacute;mero de Euler</HOT> (<I>e</I>) y &radic;2.</P1><P>Los n&uacute;meros irracionales se descubrieron en el siglo VI a.C. en Grecia, cuando se encontr&oacute; que era posible dibujar una l&iacute;nea cuya longitud no era un n&uacute;mero racional. Si dibujamos un cuadrado en el que cada lado mida una unidad de longitud, entonces la longitud de la diagonal viene dada por </P><P>de acuerdo con el <HOT TARGET=1664>teorema de Pit&aacute;goras</HOT>, y &radic;2 es un n&uacute;mero irracional.</P><H1>Demostraci&oacute;n de que &radic;2 es irracional</H1><P>Un colega desconocido de Pit&aacute;goras present&oacute; la siguiente demostraci&oacute;n (por <HOT TARGET=1080>contradicci&oacute;n</HOT>) de que &radic;2 es un n&uacute;mero irracional.</P><P>Para empezar, suponemos que &radic;2 es un n&uacute;mero racional. Cada n&uacute;mero racional se puede escribir como <I>a/b</I>, donde el <HOT TARGET=1665>m&aacute;ximo com&uacute;n divisor</HOT> de <I>a</I> y <I>b</I> es 1. Por tanto, suponemos </P><P>Elevando al cuadrado ambos lados de esta ecuaci&oacute;n, nos da </P><P>y por tanto </P><DISPMATH><I>a</I><SUP>2</SUP> &equals; 2<I>b</I><SUP>2</SUP></DISPMATH><P>Esto significa que <I>a</I><SUP>2</SUP> debe ser un n&uacute;mero par porque es divisible por 2 para dar <I>b</I><SUP>2</SUP>, pero <I>a</I><SUP>2</SUP> s&oacute;lo puede ser par si <I>a</I> es par (porque la ra&iacute;z cuadrada de un n&uacute;mero impar siempre es impar). Como <I>a</I> es par, se puede dividir por 2, lo que significa que se puede escribir como <FORMULA><I>a</I> &equals; 2<I>c </I></FORMULA>, donde <I>c</I> es un entero. Entonces </P><DISPMATH><I>a</I><SUP>2</SUP> &equals; 4<I>c</I><SUP>2</SUP></DISPMATH><P>por tanto </P><DISPMATH>2<I>b</I><SUP>2</SUP> &equals; 4<I>c</I><SUP>2</SUP></DISPMATH><P>o sea, </P><DISPMATH><I>b</I><SUP>2</SUP> &equals; 2<I>c</I><SUP>2</SUP></DISPMATH><P>Esto significa que <I>b</I><SUP>2</SUP> debe ser un n&uacute;mero par porque se puede dividir por 2 para dar <I>c</I><SUP>2</SUP>, y por tanto <I>b</I> es par. Pero esto significa que tanto <I>a</I> como <I>b</I> son pares y divisibles por 2. Esto contradice nuestro supuesto inicial de que el m&aacute;ximo factor com&uacute;n de <I>a</I> y <I>b</I> es 1, y por tanto debemos concluir que &radic;2 no se puede expresar como un n&uacute;mero racional y por tanto es irracional.</P><H1>Aproximaci&oacute;n de un irracional</H1><P>Se puede interpretar que los n&uacute;meros representan los puntos de una recta (ver diagrama). Los n&uacute;meros racionales parecen rellenar la mayor parte de la recta ya que, entre cualquier par de n&uacute;meros racionales, <I>a</I> y <I>b</I>, siempre podemos hallar otro n&uacute;mero racional, <FORMULA> &frac12;(<I>a</I> &plus; <I>b</I>) </FORMULA>. Por ejemplo, entre 3/5 y 2/3 se encuentra el n&uacute;mero racional 19/30.</P><CAPH_L>Representaci&oacute;n de n&uacute;meros sobre una recta</CAPH_L><P>Hay una infinidad de n&uacute;meros racionales. &Eacute;stos rellenan los huecos entre los n&uacute;meros racionales y, por tanto, tambi&eacute;n hay una infinidad de n&uacute;meros irracionales.</P><P>Podemos hallar un n&uacute;mero racional que se aproxime a un n&uacute;mero irracional cualquiera con el grado de exactitud que deseemos. Esto puede verse m&aacute;s claramente si representamos los n&uacute;meros como decimales. Un n&uacute;mero racional cualquiera se puede escribir o bien como <HOT TARGET=1620>decimal finito</HOT> o como <HOT TARGET=1666>decimal peri&oacute;dico</HOT>. Un n&uacute;mero irracional cualquiera tiene una representaci&oacute;n <HOT TARGET=1667>decimal infinita</HOT>, que ni termina ni es peri&oacute;dica. Una aproximaci&oacute;n racional de un n&uacute;mero irracional ser&iacute;a tomar las primeras cifras de la representaci&oacute;n decimal del irracional dado. Por ejemplo, el n&uacute;mero irracional &pi; se representa por el decimal infinito 3,14159265358979&hellip;. Esto a menudo se aproxima por el n&uacute;mero racional 3,14. Cuantas m&aacute;s posiciones decimales utilicemos en la aproximaci&oacute;n, m&aacute;s exacta ser&aacute; &eacute;sta. </P><TITLE>N&uacute;meros irracionales</TITLE>