FIGURY GEOMETRYCZNE

Odleg│o£µ dw≤ch punkt≤w na p│aszczyƒnie:

Je┐eli A=(a₁,a₂), B=(b₁,b₂) to odleg│o£µ punkt≤w A i B:

îrodek odcinka AB ma wsp≤│rzΩdne:

Odleg│o£µ trzech punkt≤w na p│aszczyƒnie:

Dla dowolnych trzech punkt≤w A, B, C zachodzi:

Odleg│o£µ punktu (x₀,y₀) od prostej o r≤wnaniu ax+by+c=0

R≤wnanie prostej przechodz╣cej przez 2 punkty:

Je┐eli A=(x₁,x₂) i B=(x₂,y₂) gdzie x₁₁ x₂ to prosta ma r≤wnanie:

Okr╣g:

OkrΩgiem o £rodku O i promieniu r (r>0) nazywamy zbi≤r punkt≤w p│aszczyzny, kt≤rych odleg│o£ci od £rodka O wynosz╣ r.

P╬ o(O;r)U 1 OP1 =r

x²+y²=r

Je┐eli jest dany okr╣g o £rodku S(a;b) i promieniu r i P(x,y) nale┐y do okrΩgu to:

Pole tr≤jk╣ta wpisanego i opisanego:

Pole tr≤jk╣ta wpisanego w okr╣g:

Pole tr≤jk╣ta opisanego na okrΩgu:

Twierdzenie sinus≤w:

W dowolnym tr≤jk╣cie ABC zachodzi nastΩpuj╣cy wz≤r sinus≤w:

gdzie a, b, c s╣ bokami le┐╣cymi naprzeciwko k╣t≤w odpowiednio A, B, C, a R jest promieniem okrΩgu opisanego.

Wzory cosinus≤w (Carnota):

Pole tr≤jk╣ta:

Sumy i r≤┐nice funkcji trygonometrycznych:

sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny

sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny

cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny

cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny

R≤wnoleg│o£µ prostych na p│aszczyƒnie:

Dwie proste s╣ r≤wnoleg│e je£li le┐╣ na jednej p│aszczyƒnie i nie maj╣ ┐adnego punktu wsp≤lnego lub siΩ pokrywaj╣.

W│asno£ci prostych r≤wnoleg│ych:

1. a||b

2. a||b ? b||a

3. a||b i b||c ? a||c

R≤wnania prostych r≤wnoleg│ych:

y=a₁x+b₁|| y=a₂x+b_2U a₁=a₂

a₁x+b₁y+c₁=0||a₂x+b₂y+c₂=0U a₁b₁-a₂b₂=0U a₁b₂=a₂b₁

Prostopad│o£µ prostej na p│aszczyƒnie:

Prosta a jest prostopad│a do prostej b (a^ b) je£li prosta a jest osi╣ symetrii prostej b i a1 b.

W│asno£ci prostej prostopad│ej:

1. a^ b? b^ a

2. a^ b i b^ c? a1 1 c

3. a^ b i b1 1 c? a^ c

R≤wnania prostych prostopad│ych:

y=a₁x+b_1^ y=a₂x+b_2U a₁*a₂=-1

a₁x+b₁y+c₁=0^ a₂x+b₂y+c₂=0U a₁a₂+b₁b₂=0U a₁a₂=-b₁b₂

Wielok╣ty:

Wz≤r na sumΩ k╣t≤w wewnΩtrznych dowolnego wielok╣ta:

(n-2)*180⁰ n-liczba bok≤w

Tr≤jk╣ty:

Przystawanie tr≤jk╣t≤w:

1. cecha przystawania D -≤w

Dwa tr≤jk╣ty s╣ przystaj╣ce je£li boki jednego tr≤jk╣ta s╣ odpowiednio r≤wne bokom drugiego tr≤jk╣ta.

Je£li |AB|=|AÆBÆ| i |BC|=|BÆCÆ| i |AC|=|AÆCÆ| to D ABCo D AÆBÆCÆ(bbb)

2. cecha przystawania D -≤w

Je┐eli dwa boki i le┐╣cy miΩdzy nimi k╣t jednego D -a s╣ r≤wne odpowiednio dw≤m bokom i le┐╣cemu miΩdzy nimi k╣towi drugiego D -a, to te dwa D -y s╣ przystaj╣ce.

Je£li |AC|=|AÆCÆ| i |BC|=|BÆCÆ| i ? ACB=? AÆBÆCÆ to D ABCo D AÆBÆCÆ(bkb)

3. cecha przystawania D -≤w

Je┐eli bok i dwa k╣ty do niego przylegaj╣ce jednego D -a s╣ odpowiednio r≤wne bokowi i dw≤m k╣tom do niego przylegaj╣cym drugiego D -a to tr≤jk╣ty te s╣ przystaj╣ce

Je£li ? BAC=? BÆAÆCÆ i ? ABC=? AÆBÆCÆ i |AB|=|AÆBÆ| to D ABCo D AÆBÆCÆ(kbk)