GRANICA
Definicja Heinego:
LiczbΩ a nazywamy granic╣ funkcji f: A« R w punkcie x0, je£li dla ka┐dego ci╣gu (xn) argument≤w funkcji f zbie┐nego do x0, o wyrazach r≤┐nych od x0, odpowiadaj╣cy mu ci╣g (f(xn)) warto£ci funkcji f jest zbie┐ny do a.
Je£li funkcje f i g maj╣ w punkcie x0 granice odpowiednio a i b, to istniej╣ w punkcie x0 granice funkcji: f+g, f-g, fg, f/g, przy czym ta ostatnia istnieje przy b1 0 i zachodz╣ zwi╣zki:
POCHODNA FUNKCJI
Je£li funkcja f jest okre£lona w przedziale (a;b), x╬ (a;b) i istnieje sko±czona granica
to granicΩ tΩ nazywamy pochodn╣ funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy symbolem fÆ(x0).
Wzory na pochodn╣:
f(x)=k fÆ(x)=0
f(x)=ax+b fÆ(x)=a
f(x)=ax2+bx+c fÆ(x)=2ax+b
f(x)=a/x fÆ(x)=-a/(x)2
f(x)=╓ x fÆ(x)=1/(2╓ x)
f(x)=a*g(x) fÆ(x)=a*gÆ(x)
f(x)=g(x)+k(x) fÆ(x)=gÆ(x)+kÆ(x)
f(x)=g(x)*k(x) fÆ(x)=gÆ(x)*k(x)+g(x)*kÆ(x)
f(x)=g(x)/k(x)
fÆ(x)=(gÆ(x)*k(x)-g(x)*kÆ(x))/(k(x))2
f(x)=xn fÆ(x)=n*xn-1
Je£li funkcja f okre£lona i r≤┐niczkowalna w przedziale (a;b) jest w tym przedziale funkcj╣ rosn╣c╣, to jej pochodna fÆ w ka┐dym punkcie przedzia│u (a;b) przyjmuje warto£µ nieujemn╣.
Je£li funkcja f okre£lona i r≤┐niczkowalna w przedziale (a;b) jest w tym przedziale funkcj╣ malej╣c╣, to jej pochodna fÆ w ka┐dym punkcie przedzia│u (a;b) przyjmuje warto£µ niedodatni╣.
Ekstremum funkcji:
warunek konieczny
Je┐eli funkcja f: A« R ma w punkcie x0╬ A ekstremum i jest w tym punkcie r≤┐niczkowalna, to fÆ(x0)=0.
warunek wystarczaj╣cy
Je┐eli funkcja f jest r≤┐niczkowalna w pewnym otoczeniu U=(x0-d ; x0+d ) (gdzie d >0) punktu x0 i jej pochodna fÆ spe│nia nastΩpuj╣ce warunki:
1) fÆ(x0)=0
2) fÆ(x)>0 dla ka┐dego x╬ (x0-d ; x0) i fÆ(x)<0 dla ka┐dego x╬ (x0; x0+d ), to w punkcie x0 funkcja f ma maksimum.
Je┐eli funkcja f jest r≤┐niczkowalna w pewnym otoczeniu U=(x0-d ; x0+d ) (gdzie d >0) punktu x0 i jej pochodna fÆ spe│nia nastΩpuj╣ce warunki:
1) fÆ(x0)=0
2) fÆ(x)<0 dla ka┐dego x╬ (x0-d ; x0) i fÆ(x)>0 dla ka┐dego x╬ (x0; x0+d ), to w punkcie x0 funkcja f ma minimum.
Druga pochodna:
Je£li funkcja f: X« R jest r≤┐niczkowalna w zbiorze X oraz jej pochodna fÆ: X« R jest r≤wnie┐ r≤┐niczkowalna w zbiorze X to m≤wimy, ┐e funkcja f jest dwukrotnie r≤┐niczkowalna w X. FunkcjΩ nazywamy drug╣ pochodn╣ funkcji f. fÆÆ=(fÆ)Æ
Je£li funkcja f jest dwukrotnie r≤┐niczkowalna w pewnym otoczeniu punktu x0 i jej druga pochodna jest ci╣g│a w tym otoczeniu oraz fÆ(x0)=0 i fÆÆ(x0)>0 to w punkcie x0 funkcja f ma minimum.
Je£li funkcja f jest dwukrotnie r≤┐niczkowalna w pewnym otoczeniu punktu x0 i jej druga pochodna jest ci╣g│a w tym otoczeniu oraz fÆ(x0)=0 i fÆÆ(x0)<0 to w punkcie x0 funkcja f ma maximum.
R≤wnanie stycznej w punkcie:
