RACHUNEK PRAWDOPODOBIE╤STWA

CzΩsto£µ zdarze±:

Takie do£wiadczenie, kt≤re mo┐e zako±czyµ siΩ jednym z mo┐liwych wynik≤w:w ₁, w ₂, w ₃, ..., ale nie wiadomo kt≤rym i przewidzenie tego jest praktycznie lub teoretycznie niemo┐liwe, natomiast czΩsto£ci tych wynik≤w przy wielokrotnym powtarzaniu tego do£wiadczenia wydaj╣ siΩ przewidywalne, nazywamy do£wiadczeniem losowym (kr≤tko: do£wiadczeniem).

Je£li w£r≤d n powt≤rze± do£wiadczenia D wynik pojawi│ siΩ k razy (n╬ N₊, k╬ N, k<n), to przez czΩsto£µ tego wyniku w£r≤d n powt≤rze± do£wiadczenia D rozumiemy liczbΩ .

Zdarzenia elementarne:

PojΩciem pierwotnym rachunku prawdopodobie±stwa jest pojΩcie zdarzenia elementarnego.

Wszystkie zdarzenia elementarne tworz╣ zbi≤r zwany zbiorem zdarze± elementarnych. Zbi≤r zdarze± elementarnych oznaczamy W .

Zdarzenie niemo┐liwe jest to zdarzenie, kt≤re nie zachodzi nigdy i oznaczamy je A .

Algebra zdarze±:

Sum╣ zdarze± A i B nazywamy takie zdarzenie C, kt≤re zachodzi wtedy i tylko wtedy kiedy zachodzi zdarzenie A lub zdarzenie B. (AE B)

w ╬ AE BU w ╬ A ┌ w ╬ B

Iloczynem zdarze± A i B nazywamy takie zdarzenie C, kt≤re zachodzi wtedy i tylko wtedy kiedy zachodzi zdarzenie A i zdarzenie B. (A╟ B)

w ╬ A╟ BU w ╬ A U w ╬ B

R≤┐nic╣ zdarze± A i B nazywamy takie zdarzenie C, kt≤re zachodzi wtedy i tylko wtedy kiedy zachodzi zdarzenie A i nie zachodzi zdarzenie B. (A\B)

w ╬ A\BU w ╬ A U w I B

Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A nazywamy zdarzenie AÆ polegaj╣ce na tym, ┐e nie zasz│o zdarzenie A.

AÆ=W \A

Zdarzenia A i B wy│╣czaj╣ siΩ wtedy i tylko wtedy je£li iloczyn ich jest zdarzeniem niemo┐liwym. (A╟ B=A )

Prawdopodobie±stwo:

FunkcjΩ P, kt≤ra ka┐demu zdarzeniu AI E przyporz╣dkowuje dok│adnie jedn╣ liczbΩ P(A) spe│niaj╣c╣ nastepuj╣ce warunki:

1. 0 L P(A) L 1
2. P(E)=1
3. je┐eli zdarzenia A, B wykluczaj╣ siΩ to P(AE B)=P(A)+P(B),

nazywamy prawdopodobie±stwem. LiczbΩ p=P(A) nazywamy prawdopodobie±stwem zdarzenia A.

W│asno£ci prawdopodobienstwa:

P(A )=0

P(A)=1-P(A)

AI B? P(A)L P(B)

(A=B)? [P(A)=P(B)]

P(AE B)=P(A)+P(B)-P(A╟ B)

Je┐eli zbi≤r E sk│ada siΩ z n zdarze± elementarnych jednakowo mo┐liwych i w£r≤d nich jest dok│adnie m zdarze± sprzyjaj╣cych zaj£ciu zdarzenia A, to liczbΩ

nazywamy prawdopodobienstwem zdarzenia A. (definicja klasyczna).

Prawdopodobie±stwo warunkowe:

Niech para (W ,P) bΩdzie przestrzeni╣ probabilistyczn╣, natomiast A i B dowolnymi podzbiorami zbioru W . Ponadto niech P(A)>0.

Prawdopodobie±stwem warunkowym zdarzenia B pod warunkiem zdarzenia A nazywamy liczbΩ:

Oznaczamy j╣ P(B1 A).

P(B╟ A)=P(A)*P(B1 A)

Prawdopodobie±stwo ca│kowite:

Je┐eli para (W , P) jest przestrzeni╣ probabilistyczn╣, natomiast B₁, B₂,...,B_n I W (n╬ N₊) s╣ dowolnymi zdarzeniami o nastΩpuj╣cych w│asno£ciach:

B_iI B_j=A dla i1 j (i, j ╬ {1,2,...,n})

B_1E B_2E ..E B_n=W

P(B_i)>0 dla ka┐dego i╬ {1,2,...,n}

to dla dowolnego zdarzenia AI W zachodzi wz≤r:

P(A)=P(B₁)*P(A1 B)+P(B₂)*P(A1 B₂)+...+P(B_n)*P(A1 B_n)

Zdarzenia niezale┐ne:

Niech para (W , P) bΩdzie przestrzeni╣ probabilistyczn╣, natomiast zdarzenia A i B s╣ dowolnymi zdarzeniami przestrzeni W .

Zdarzenia A i B nazywamy zdarzeniami niezale┐nymi je£li P(A╟ B)=P(A)*P(B).

Niezale┐no£µ tr≤jki zdarze±:

Niech para (W , P) bΩdzie przestrzeni╣ probabilistyczn╣, natomiast zdarzenia A, B i C s╣ dowolnymi podzbiorami zbioru W .

Zdarzenia A, B i C nazywamy zdarzeniami niezale┐nymi je┐eli zdarzenia A i B, A i C, B i C s╣ niezale┐ne i P(A╟ B╟ C)=P(A)*P(B)*P(C), czyli gdy:

P(A╟ B)=P(A)*P(B)

P(A╟ C)=P(A)*P(C)

P(B╟ C)=P(B)*P(C)

P(A╟ B╟ C)=P(A)*P(B)*P(C)

Prawa dotycz╣ce dzia│a± na zdarzeniach:

1. (A╟ B)Æ=AÆE BÆ

2. (AE B)Æ=AÆ╟ BÆ

3. A\B=A╟ BÆ

4. A╟ A =A

5.AI B? A╟ B=A oraz AE B=B

6. AE A =A

7. AE W =W

8. (AE B)╟ C=(A╟ C)(B╟ C)

Schemat Bernoulliego:

Schematem Bernoulliego nazywamy ci╣g do£wiadcze± niezale┐nych, w kt≤rych dane do£wiadczenie powtarzamy n-razy (n-liczba sko±czona) i w kt≤rym prawdopodobie±stwo zdarzenia A (zdarzenie A-wynik doswiadczenia) jest sta│e, nie zale┐y od wynik≤w poprzednich.

Zaj£cie zdarzenia A nazywamy sukcesem.

Zaj£cie zdarzenia AÆ nazywamy pora┐k╣.

Prawdopodobie±stwo zdarzenia A - sukcesu oznaczamy p.

Prawdopodobie±stwo zdarzenia AÆ - pora┐ki oznaczamy q.

p+q=1

q=1-p

W schemacie Bernoulliego o n pr≤bach prawdopodobie±stwo gdzie p jest prawdopodobie±stwem sukcesu w pr≤bie Bernoulliego, n╬ N₊ i k╬ {0,1,...,n}

Najbardziej prawdopodobna liczba sukces≤w w schemacie Bernoulliego:

Je┐eli (N+1)*p jest liczb╣ ca│kowit╣ to najbardziej prawdopodobne s╣ warto£ci:

(N+1)*p i (N+1)*p-1

Je┐eli (N+1)*p nie jest liczb╣ ca│kowit╣ to najbardziej prawdopodobn╣ liczb╣ sukces≤w w schemacie N pr≤b Bernoulliego jest najwiΩksza liczba calkowita K₀ i taka, ┐e

K₀ < (N+1)*p