Copyright: Copyright ©1997, Josef Stöckl
Citation: Copyright ©1997, Josef Stöckl


Allgemeines
Fourier-Synthese

Allgemeines

Mit dem Programm Fourier-Synthese kann die Erzeugung eines periodischen Signals aus seinem Spektrum bestehend aus Gleichanteil, Grundschwingung und bis zu 128 Oberschwingungen simuliert werden. Cosinus- und Sinus- bzw. Amplituden- und Phasenspektrum werden wahlweise graphisch dargestellt. Nach jeder Veränderung werden die Liniendiagramme der erzeugten Signale gezeichnet. Mehrere Signale können zu Projekten zusammengefaßt, gespeichert und wieder geladen werden.

Achtung: Machen Sie sich auch mit der Theorie zur Frequenzsynthese vertraut.

Die Erzeugung der Spektren kann auf 3 verschiedene Arten geschehen.

Spektrallinien: Eingabe der Werte für die einzelnen Spektrallinien.

Signalform: Eingabe eines Kurvenverlaufs eines Signals über eine Periode und automatische Berechnung des Spektrums mittels Fourieranalyse.

Formeln: Eingabe von Formeln für Fourierreihenentwicklung

Das Programmfenster unterteilt sich in 5 Bereiche:

1.	Die Titelleiste enthält neben den Windows-Standardelementen die Dateibezeichnung des neuen oder geladenen Projekts.

2.	Über das Menü können alle wichtigen Programmfunktion ausgeführt werden.

3.	Der Projektbereich enthält die Signalliste und die Projektwerkzeugleiste.

In der Signalliste werden alle zum Projekt gehörigen Signale angeführt. Das aktive Signal kann durch Klicken ausgewählt werden. Es wird dann im Liniendiagramm dargestellt. Außerdem ist an der Farbe der Signalsymbole erkennbar, ob sie sichtbar geschaltet sind. Sichtbar geschaltete Signale werden auch dann gezeichnet, wenn sie nicht aktiv sind, z.B. um sie mit dem aktiven Signal zu vergleichen.

Das aktive Signal kann durch einen rechten Mausklick in der Signalliste oder im Signaleigenschaften-Dialog ( [image] -Knopf) sichtbar oder unsichtbar geschaltet werden.

4.	Der Spektrenbereich enthält neben Darstellung des Spektrums des aktiven Signals die Spektrumswerkzeugleiste sowie das Direkteingabefeld für die Werte der Spektrallinien.

4.	Der Liniendiagrammbereich enthält neben dem Liniendiagrammen des aktiven Signals un der inaktiven, aber sichtbar geschalteten Signale, noch eine Werkzeugleiste sowie Anzeigefelder für Effektivwert und Klirrfaktor.


Ansichtsart des Spektrums
Das Spektrum kann auf drei Arten dargestellt werden:

1. Cosinus- und Sinusamplitudenspektrum

2. Cosinusamplituden- und Phasenspektrum.

3. Sinusamplituden- und Phasenspektrum:

Zwischen den einzelnen Ansichtsarten kann mit dem [image] -Knopf umgeschaltet werden.


Darstellung der Harmonischen
Eine oder mehrere Harmonische des aktiven Signals können zusätzlich zum Signal selbst im Liniendiagramm dargestellt werden.


Direkteingabe
Der Wert der aktiven Spektrallinie, erkennbar an der helleren Farbe kann im Direkteditierfeld abgelesen und verändert werden. Die Direkteditiertasten ermöglichen das Verändern mit der Maus in verschieden großen Schritten.

Achtung: Bei Signalen, die mittels Signalform( [image]) oder Formeln( [image]) erzeugt wurden, ist ein direktes Verändern des Spektrums nicht möglich. Diese können aber in Spekten( [image]) umgewandelt werden.


Effektivwert
Effektivwerte von Wechselspannungen bzw. Wechselströmen sind gleich den Werten von Gleichspannungen bzw. Gleichströmen, die an einem Widerstand die gleichen Leistungen erzeugen wie die Wechselgrößen. Der Effektivwert wird auch quadratischer Mittelwert oder engl. TRMS (true root mean square) genannt. Er kann nach folgender Formel berechnet werden:


Einstellungen
Fourier-Synthese

Einstellungen

Der Einstellungsdialog besteht aus fünf Karteikarten, die über Karteireiter erreichbar sind.


Einstellungen Anzeige


Einstellungen Frequenz


Einstellungen Hintergrund


Einstellungen Skalen


Einstellungen Sound


Erzeugung eines Signals mittels Formeln
Fourier-Synthese

Erzeugung eines Signals mittels Formeln

Bei der Erzeugung eines neuen Signals mittels dem [image] -Knopf in der Projektwerkzeugleiste oder dem Menübefehl Signal/Neu werden Sie in folgendem Dialog nach dem Bildungstyp gefragt.

Geben Sie eine eindeutige Bezeichnung für das neue Signal ein.

Markieren Sie den Punkt Formeln.

In folgendem Signaleigenschaften-Dialog, den Sie auch mit dem [image] -Knopf oder dem Menübefehl Signal/Bearbeiten erreichen, können Sie Formeln für die Koeffizienten einer Fourierreihene eingeben.


Erzeugung eines Signals mittels Signalform
Fourier-Synthese

Erzeugung eines Signals mittels Signalform

Bei der Erzeugung eines neuen Signals mittels dem [image] -Knopf in der Projektwerkzeugleiste oder dem Menübefehl Signal/Neu werden Sie in folgendem Dialog nach dem Bildungstyp gefragt.

Geben Sie eine eindeutige Bezeichnung für das neue Signal ein.

Markieren Sie den Punkt Signalform.

In folgendem Signaleigenschaften-Dialog, den Sie auch mit dem [image] -Knopf oder dem Menübefehl Signal/Bearbeiten erreichen, können Sie die Signalform für eine Periode des Signals editieren.


Erzeugung eines Signals mittels Spektrallinien
Fourier-Synthese

Erzeugung eines Signals mittels Spektrallinien

Bei der Erzeugung eines neuen Signals mittels dem [image] -Knopf in der Projektwerkzeugleiste oder dem Menübefehl Signal/Neu werden Sie in folgendem Dialog nach dem Bildungstyp gefragt.

Geben Sie eine eindeutige Bezeichnung für das neue Signal ein.

Markieren Sie den Punkt Spektrallinien.

In folgendem Signaleigenschaften-Dialog, den Sie auch mit dem [image] -Knopf oder dem Menübefehl Signal/Bearbeiten erreichen, können Sie die Werte für die einzelnen Spektrallinien in die Tabelle eingeben, verändern, löschen, ....


FSY-Import
Spektren, die mit der Version 1.x von Fourier-Synthese erstellt wurden, können als Signal in ein Projekt aufgenommen werden.


Formel für Cosinuslinien
Die Formel für die Cosinuslinien muß den Syntaxregeln des Formelinterpreters genügen. Die Variable n bezeichnet die Ordnungszahl der Harmonischen.


Formel für Gleichanteil
Die Formel für den Gleichanteil muß den Syntaxregeln des Formelinterpreters genügen.


Formel für Sinuslinien
Die Formel für die Sinuslinien muß den Syntaxregeln des Formelinterpreters genügen. Die Variable n bezeichnet die Ordnungszahl der Harmonischen.


Formelinterpreter
Fourier-Synthese

Der Formelinterpreter

Der Formelinterpreter gehorcht den üblichen syntaktischen Regeln für Rechenausdrücke.

Klammern ( ) können beliebig verschachtelt werden.

Operatoren:

Neben den Standardoperatoren +, −, *, und / stehen noch zur Verfügung:

a mod b	Modulo-Operator (z.B. 7 mod 3 = 1)

a div b	Ganzzahlendivision (z.B. 7 div 3 = 2)

a ^ b	Exponentialoperator (z.B. 2^3 = 8)

Funktionen:

sqrt(a)	Quadratwurzel

exp(a)	natürliche Exponentialfunktion (auch e^a möglich)

log[a;b]	Logarithmus von a zur Basis b

ln(a)	natürlicher Logarithmus

ld(a)	dualer Logarithmus

lg(a)	dekadischer Logarithmus

fak(a)	Fakultät

abs(a)	Betrag

sign(a)	Vorzeichen (-1, 0 oder 1)

int(a)	Ganzzahlenteil (z.B. int(23,45) = 23)

frac(a)	Nachkommateil (z.B. frac(23,45) = 0,45)

rdm[a;b]	Zufallszahl zwischen a und b

ggt[a;b]	größter gemeinsamer Teiler;

kgv[a;b]	kleinstes gemeinsames Vielfaches

rad(a)	Umrechnung vom Grad- ins Bogenmaß

deg(a)	Umrechnung vom Bogen- ins Gradmaß

Achtung: Bei den transzendenten Funktionen ist das Argument bzw. Ergebnis im Bogenmaß.

sin(x), cos(x), tan(x), cot(x)	Winkelfunktionen

arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arccot(x)	Umkehrung der Winkelfunktionen

sinh(x), cosh(x), tanh(x), coth(x)	Hyperbolicusfunktionen

arsinh(x), arcosh(x), artanh(x), arcoth(x)	Umkehrung der Hyperbolicusfunktionen

Konstanten:

Die Kreiszahl Pi und die natürliche Exponentialzahl e sind vordefiniert.

Zusätzlich werden die Konstanten k, l und m erkannt.

Die Zahl n wird als Ordnungszahl der Harmonischen verstanden.


Frequenzachse
Je nach Auswahl im Einstellungsdialog wird im Spektrum auf der horizontelen Achse die Frequenzen je nach gewählter Signalfrequenz oder die Ordnungszahlen der Harmonischen aufgetragen.


Hilfe
Sie bekommen Hilfestellung und Informationen zum Programm.


Hintergrundfarbe
Die Hintergrundfarbe im Spektren- und Liniendiagrammbereich kann je nach Geschmack schwarz, grau oder weiß sein.


Inhalt
Fourier-Synthese

Inhalt

Mit dem Programm Fourier-Synthese kann die Erzeugung eines periodischen Signals aus seinem Spektrum bestehend aus Gleichanteil, Grundschwingung und Oberschwingungen simuliert werden.

Theorie

Allgemeines

Erzeugung eines Signals mittels Spektrallinien

Erzeugung eines Signals mittels Signalform

Erzeugung eines Signals mittels Formeln

Einstellungen

Der Formelinterpreter


Klirrfaktor
Der Klirrfaktor des aktiven Signals wird angezeigt. Der Klirrfaktor ist ein Maß für die Verzerrungen des Signals, d.h. der Abweichungen von der Sinusform. Er ist der Quotient aus dem Effektivwert aller Oberschwingungen (ab der 2. Harmonischen) und dem Effektivwert aller Schwingungen (ab der 1. Harmonischen):


Konstanten
Drei voneinander unabhängige Konstanten k, l und m können definiert und in den Formeln für die Reihenentwicklung verwendet werden (z.B. für die Amplitude). Bei der Definition der Konstanten gelten die Syntaxregeln des Formelinterpreters.


Koordinaten
Die Koordinatenangabe erleichtert das Editieren der Stützpunkte.


Liniendiagramm exportieren
Das dargestellte Liniendiagramm wird als Grafikdatei (Metadatei) in die Zwischenablage gestellt und kann von dort in andere Windows-Dokumente eingefügt werden.


Linientabelle
Die Werte für die einzelnen Spektrallinien können direkt in die Tabelle eingegeben werden. Die Tabellenspalten, sind je nach gewählter Ansichtsart des Spektrums unterschiedlich.


Neues Projekt
Ein neues Projekt wird angelegt.


Neues Signal
Ein neues Signal wird erzeugt.


Neues Signal Auswahl
Der Bildungstyp des neuen Signals wird festgelegt. (Theorie)

  Spektrallinien:       Signalform     [image] Formeln


Programm beenden
Das Programm wird beendet.


Projekt sichern
Das Projekt wird gesichert. Beim ersten Mal wird nach der Dateibezeichnung gefragt.


Projekt öffnen
Ein bestehendes Projekt wird über einen Dateiauswahldialog geöffnet.


Projektmenü


Reihenglieder
Es wird festgelegt, ob nur die geraden oder nur die ungeraden oder alle Glieder der Reihe verwendet werden sollen.


Samplefrequenz
Die Samplefrequenz ist jene Frequenz, mit der die brechneten Momentanwerte des Signals dem Digital-Analogwandler der Soundkarte zugeführt werden. Die Samplefrequenz muß mindestens doppelt so hoch sein wie die Frequenz des Signals. (Abtasttheorem von Shannon).


Signal einfügen
Ein neues Signal wird aus der Zwischenablage eingefügt.


Signal entfernen
Das aktive Signal wird aus der Liste entfernt.


Signal exportieren


Signal konvertieren
Signale, die mittels Signalform ( [image] Fourieranalyse) oder Formeln ( [image] Fourierreihe) erzeugt wurden, können in Spektralliniensignale ( [image]) umgewandelt werden. Ein Weg zurück ist dann allerdings nicht mehr möglich. Es empfiehllt sich das Signal zuerst zu kopieren und unter anderer Bezeichnung einzufügen und dann erst zu konvertieren.


Signal kopieren
Das Signal wird in die Zwischenablage kopiert.


Signalbezeichnung
Die Bezeichnung des Signals muß eindeutig sein, d.h. die Bezeichnung aller Signale des Projekts müssen voneinander unterscheidbar sein.


Signaleigenschaften
Je nach Signalart wird einer der drei Signaleigenschaften-Dialoge geöffnet.

  Spektrallinien:       Signalform     [image] Formeln


Signalfaktor
Mit dem Faktor können alle Linien gleichzeitig in der Amplitude beeinflußt werden. Beim Betätigen des [image] -Knopfes werden alle Amplitudenwerte mit dem Faktor multipliziert.


Signalfarbe
Das ausgewählte Signale erscheint im Liniendiagramm in der gewählten Farbe. Die sichtbar geschalteten anderen Signale erscheinen in der jeweils gewählten Farbe, allerdings etwas dunkler.


Signalformeditor
Im Signalformeditor wird die gewünschte Signalform für eine Periode erstellt. Das Editieren der Punkte erfolgt mit der Maus.

Achtung: Da der letzte Punkt zugleich der erste Punkt der nächsten Periode ist, läuft er mit dem erstem parallel (und umgekehrt).

Konstruktion von geraden Linien: Der erste Punkt wird mit der Maus plaziert (weißer Ring). Wird letzte Punkt mit der rechten Maustaste plaziert, so werden alle Punkte dazwischen auf einer Geraden liegen.


Signalfrequenz
Die Signalfrequenz kann im Bereich von 0,1Hz bis 25kHz eingestellt werden.

Achtung: Bei sehr tiefen Frequenzen können die untersten Harmonischen der Signale zwar nicht mehr gehört werden. Die höheren Harmonischen fallen aber in den hörbaren Bereich.

Achtung: Bei hohen Frequenzen kann die Klangausgabe je nach ausgewählter Samplefrequenz zu falschen Ergebnissen führen.

Theorie: Um ein Signal richtig digitalisieren und wiedergeben zu können muß die Samplefrequenz mindestens doppelt so hoch sein wie die Signalfrequenz. (Abtasttheorem von Shannon).


Signalmenü


Signalsichtbarkeit
Bei markierter Checkbox wird das Signal auch dann gezeichnet, wenn es in der Signalliste nicht aktiv ist, allerdings etwas dunkler. In der Signalliste ist das Symbol dann bunt [image]. Bei nichtmarkierter Checkbox wird das Signal nur dann gezeichnet, wenn es aktiv ist. Das Symbol ist dann grau [image].


Spektrum exportieren
Das Spektrum des aktiven Signals wird als Grafikdatei (Metadatei) in die Zwischenablage gestellt und kann von dort in andere Windows-Dokumente eingefügt werden.


Spektrumklick
Ein Mausklick macht eine Spektrallinie aktiv, erkennbar an der helleren Farbe. Der Wert dieser Linie kann dann im Direkteditierfeld abgelesen und verändert werden. Die Direkteditiertasten ermöglichen das Verändern mit der Maus in verschieden großen Schritten.


Stützstellen
Je höher die Anzahl der Stützpunkte pro Periode, desto mehr Spektrallinien werden berechnet und desto genauer wird die gewünschte Kurvenform erreicht.

Achtung: Es ist günstig, die Kurvenform in der maximalen Stützpunktzahl zu zeichnen und erst nachher zwecks Demonstration auf geringere Stützpunktzahlen umzuschalten.


Tabelle exportieren
Das Spektrum des aktiven Signals wird in Tabellenform in die Zwischenablage gestellt und kann von dort in andere Windows-Dokumente eingefügt und auch bearbeitet werden (z.B. formatiert) werden.


Theorie
Fourier-Synthese

Theorie

Nach dem französischen Mathematiker Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) läßt sich jedes beliebige nichtsinusförmige Signal, wenn es periodisch ist, in eine Vielzahl von reinen sinusförmigen Schwingungen unterschiedlicher Frequenz, Amplitude und Phasenlage zerlegen. Die mathematische Methode zur Bestimmung der einzelnen Schwingungen wird Fourier-Analyse genannt.

Umgekehrt läßt sich nun jedes beliebige periodische nichtsinusförmige Signal durch Überlagerung von vielen sinusförmigen Schwingungen erzeugen. Diese Zusammensetzung nach bestimmten Regeln heißt Fourier-Synthese.

Die Gesamtheit aller zum Aufbau des Signals s(x) notwendigen Schwingungen wird Spektrum genannt.

Die allgemeine mathematische Form einer solchen Zerlegung lautet:

Die Aufgabe der Fourier-Analyse ist es, die Koeffizienten a bzw b bestimmen.

Für einfache Schwingungsverläufe, deren Funktionen mathematisch formulierbar sind (z.B. Rechteck-, Dreieck- oder Sägezahnschwingungen), können die Koeffizienten mit Hilfe von Fourierreihen errechnet werden.

Bei empirisch bestimmten Schwingungen (z.B. gesampelte Audiosignale) können die Koeffizienten mit Hilfe der Fouriertransformation ermittelt werden (z.B. FFT - Fast Fourier Transformation).

Neben der Darstellung der Spektren durch Cosinus- und Sinuslinien gibt es aber auch die Möglichkeit der Darstellung mittels Cosinusamplituden- und Phasenspektrum. Die mathematische Form lautet dann:

Die Koeffizienten der beiden Darstellungsvarianten lassen sich aber leicht ineinander überführen.

In der Literatur findet man auch fallweise die Darstellung mittels Sinusamplituden- und Phasenspektrum:

Die Koeffizienten lassen sich ähnlich leicht ineinander überführen. Achtung: Die Phasenwinkel phi sind in den beiden Darstellungsarten nicht ident.

Theoretisch gibt es unendlich viele jedoch mit zunehmender Frequenz immer schwächer auftretende Oberschwingungen. Schon die ersten bilden die Form annähernd heraus. Die weiteren dienen dazu, steile Anstiege und scharfe Kanten zu formen.

Es kann einen Gleichanteil geben (ao/2 bzw. Ao oder Bo), der ident mit dem arithmetischen Mittelwert ist.

Die sinusförmigen Grundschwingungen (1. Harmonische) haben dieselbe Frequenz wie die zu erzeugende Schwingung. Die Frequenzen der rein sinusförmigen Oberschwingungen (2. bis n'te Harmonische) sind ganzzahlige Vielfache der Frequenz der Grundschwingung.

Bei der Synthese eines Signals mittels Fourierreihen muß ein Bildungsgesetz formuliert werden.

Bei der Fourieranalyse über eine Periode des Signals in gleichen Zeitabständen der Momentanwert des Signals ermittelt. Aus diesen Werten werden dann nach folgenden Formeln die Koeffizienten berechnet. 2m ist dabei die Anzahl der Momentanwerte pro Periode.


Ton erzeugen
Bei installierter Soundkarte kann das aktive Signal angehört werden solange die Taste gedrückt ist. Beachten Sie bitte die Einstellung der Signalfrequenz und der Samplefrequenz.


Zeitachse
Je nach Auswahl im Einstellungsdialog wird im Liniendiagramm auf der horizontelen Achse die Zeit je nach gewählter Signalfrequenz oder der Phasenwinkel aufgetragen.


horizontal dehnen
Die Darstellung des Signals kann horizontal gedehnt oder gestaucht werden.


höchste Harmonische
Die Reihenberechnung wird bis zur hier eingestellten Harmonischen durchgeführt.


vertikal dehnen
Die Darstellung des Signals kann vertikal gedehnt oder gestaucht werden.