GEMini Atari/GEMini_Atari_CD-ROM_Walnut_Creek_December_1993.iso/files/math/atarpn/atarpn.txt

Text File | 1993-02-11 | 57.5 KB | 872 lines

John J. Amsler
01 Feb 93

Who said the Atari is a mere "game" machine?  Idiot!

The following three perfect numbers (25th, 26th, and 27th) were
easily calculated by an Atari MegaSTe4 running TOS 2.06.  The program
"bc" from the Mark Williams Company was used, running via the Gulam
shell available on GEnie and CompuServe.  A 68882-16 math coprocessor
was present but was not used (because I didn't know how to "turn it
on" so that bc would make use of it :(  )


("Perfect numbers" are ones that equal the sum of all their factors.
 For example, the first two perfect numbers are 6 and 28:

            6 = 1 + 2 + 3
           28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14                              )


One way to calculate perfect numbers is to use the formula

                    2k-1        k-1
                   2      -    2

                                   k
where k is any number that makes  2 -1 a prime number.


("Prime" numbers can only be divided by 1 and themselves.  For
 example, 3, 5, and 7 are prime numbers; 4, 6, and 8 are not.)

Consider, for example, k=4.

                    4
                   2  = 16, which is not prime, so k=4 won't work.

Consider k=3.

                    3
                   2 -1 = 8-1 = 7, which is a prime number.


So then, using the formula above, we have

                     2*3-1      3-1
                    2       -  2    =

                     5          2
                    2       -  2    =

                    32      -  4    =  28, which is a perfect
                                           number as shown above


The values of k that can be used to calculate the stream of the first
27 perfect numbers are:

         k

 1       2
 2       3
 3       5
 4       7
 5      13
 6      17
 7      19
 8      31
 9      61
10      89
11     107
12     127
13     521
14     607
15    1279
16    2203
17    2281
18    3217
19    4253
20    4423
21    9689
22    9941
23   11213
24   19937
25   21701
26   23209
27   44497


Here, then are the 25th, 26th, and 27th perfect numbers, direct to
you from the computer that proudly displays the Fuji symbol, the one
Byte Magazine called the "Hardware Value of the Year" in 1987:


The 25th perfect number, equal to

                        43401       21700
                       2        -  2

(13066 digits)

100656497054640042180743237591114202285200589579195475683995890101997419\
578419862206439353216426412787130153060215826768284906925418424774155529\
257211177354638976271946827609604802255701525209198823278298004383166020\
136660292860132634290937198473055039127748364582292421152298739465046623\
953495433079027165969447237025482762223178055842505225639604025780344357\
785821713672379663897945783730310021123864467667002806502260214023075262\
738999246468647444309982059216509449435153457870181614899008088252003535\
718404010993174128540932445706967903924180015901796853905725821411236511\
392110624709873512286247307884806179558617788285620729075007930865826929\
999863161787735633927908757870124587601863594889161728751955306701669980\
452012664782200068528949520488474726995821724604028173954408039476380874\
185945966313472776166060719247540034605049932549842029108594667599280618\
256717088478857267001558092741542681153818522709750471873762352626759033\
884430162220342860082127345344435275172971548388746078000799299870577126\
361272777088939376769526381236561575535051661033200107013637755222586246\
853829395914562965658027482535640345698416045632598283300294435054437786\
258082065302300782221020731416125207060114469911801637994381955924086431\
295719067263854730906705024629051082405800241148956748983509104609081769\
731539738471719499767555909202801819225782959898307639943998695028617395\
670907306470000102025266113234518071479279650344852921694074821411541819\
340120455594533318163709709466309741290549259093978612839775528952654240\
922679038366110853052450833243396341466708517507691931050790806580662487\
812386404426978663723265188498156243249262470079763511860172329973689785\
317919754548284628699055258644783894996353308533937197089332962320391442\
929676036246399822465015110222089537659994879400134954123243344471141214\
618819345801255213964589199129587717096884837781258574387216867094913726\
929723093454963904073511751630500217563328586574821540905482964239977867\
408399125352808210750335017002033586723478179750276333434712154402821756\
256529936440880758270324249999029558075845196015195579891449690413728875\
804443130707545483553243949437239115198587053211944001446353192707287709\
752847376373616060771287187632734059288845441021462278283539094061577175\
208803145338550159544678371901315511926245183339995874102357331764187958\
125160399335483171313886722542741006296659066310010150033895508431267221\
781927074673983194771068229593132122919356979938719418944587038617639659\
512662562682207542419234894852246938799437740791031209424213275016073460\
835737744078572936240445826815973800085603332300723694426151826182759617\
688117645262428664413127111232923218725430273982592788349004402844695057\
811915019837631652095062177187369021650076283316388958262360393748568872\
647945774958571633906537093033784727886894341595624780853352331295488791\
980112217396753029439355392578334307107290148406102595110334454013720059\
986976239977625616753292233904542544600749375589575780709552354603516417\
010594512539665265659928008557145131599584867236207100638925049457716613\
662651599023023077054184647202026070150910646850601770195220475955588193\
226966714783604080381114807899669496369928194857078787016668910337666979\
037884395722631963914804502570856190832107614300150922174471271609841656\
579789636126351244726234750761368057327382074795119963542533773693078334\
489858311610474015447384536294522866920523456888992558122329469303479230\
625703938911157043049489739795172348172828066488913401739178790593158404\
666760802759646282786878933726192144715500086826554362508975439576658004\
062706288921823064912569704046187908841570511638820659441144833019903672\
860944594497614178618699145026004925266139334248915479996872750963223496\
273712463906624392409320491489306178108523332262664801150589242963039554\
196600310781754864001540701660958706479868171314072472411737979771803472\
120557378837480417545210257386516463832790337602878409266832826713034888\
563892965378442686946300878753086668849412814192405331328409990521950807\
986615439142385056985335245599685409359661148148738814219092399501744482\
863502464018339171568444210472738246416220209837325344243918339696457540\
053320664322990936112439567908993349734112730556343494321125395336514669\
081611388365915980475556602018232639257296071443987321601501391663034844\
973623319356847509846355290838094533191601925968432426914832148825709352\
084864850463742979558756066435037275892525356674345642392302603348845788\
251985771331764873794703424631576634608824945360850000534192518819638850\
379600042790636165450226960987969655917596915385869134329703321175362745\
217805824960798229644153590001518863980741992257930540698435301806598505\
413784535972226063703470260423283506262043276521486602852716084147962791\
820341462810486331320957943811126925919560222975990039751056416456143461\
373351966983420708894797394709862438632080282722660897820535926707483600\
561869465768560081214333032326489477175886428990314652258787607431041249\
926032613194572965420017993370037021913931473848270612048436565046027925\
351399956304261729337408347677703061853756551788479816866165394690136188\
835536080289113271621669894947165856614558416629254083317038790453991696\
089869636647070103565801434212788008970156952477310224417567984533977854\
410970967401608343777676875709892861848505302858690022974626727767342492\
937441902216851484733921635517878524396504489464975092109866514413400393\
426140439712175835192619339172595401461650088552764240247570109037694182\
234392123229908082736185914737908190522345849221520075619632870764820716\
456908944444184557612832231468013290065827287815023611789974018617720907\
950820842300206310402995866354297783305866524483902098096615422943957044\
702085385373376827072712274527289339391344521416846436380435289775492554\
212903556972127069478658375344543345496518992852689193244784894040634380\
920690347076186338539639162278497573419351282379987312220476260796977270\
630773257189901629488175587683881991853181635531077908731822080061515677\
773184373770802152479735088413985222669597984445890518710795104168010510\
095293345798385806311957603917306781696167418436999267443380257497316932\
384768430176328477284362086313714401498451341225975259693129443765146285\
583055164599455721545936736304618795985091541715237897915361711025804876\
098847056763346785258970689958608370764386117529350110898926743492287179\
139737762165849315471930294825682120175564044185446106869061856989168172\
373545928620760030498064092234085058521484611244099511951458998923882147\
831306630321777238992413991267392774007190239605244034214950332264475317\
255743556852661950070466997974403404735959311378201261475005088214759483\
825778926143385944520630776536357595027457084740389941371884870695866073\
768829246974445234466614653519706909383818186435916751960311200913521481\
310377820999820926391657432664531564493239252645657517261562610502481081\
390980998341177783274394771020519055001548383777728777110662466924173637\
115611167367726388099680174952477374992382894318100130220125266783415265\
304001404640072031077013996599510527896420617997841247621468723089405846\
374451286855015905394013469985260228980872383704404492496293524692284318\
021004055308985603131753065820332765039102749882596768394049399796325224\
161122178102494936558923027940414966468678233172153815601800588282483988\
329973803621920932886439248263209924575072883015462414150421655148877590\
207917175580929380723956275835449130345662994663658362442303960919993709\
506902328716419970228263962255204576986716574520808163776894032129024513\
464460409208693920561301384855587218301912773181822664540278725117192138\
908930521632251019967173869793984280788802361543809315292575381667349514\
771413833806284536559121357655275335834075273329766988644185051992501636\
388776053948944208415113379560724494220173866090759409967823224611745704\
023611774075159065964019884454431703519670524110233509175421524264026606\
298703669209697313366965407047366350389645317722208278098967534966964015\
169872240811482374412078082918286018877871473704753452947417940927044247\
706006611984127241182229058445654818792825517172766642711053545250755495\
741543655412769506926646804448029414455740075128478572660239371946231684\
764727668638767567088911044690848398992339105043503970511873318858142261\
146110346570720876278380507420919281901129651900244607624185711297897349\
652807451617835681343575300546391745078356327460117405331571502538434404\
522011603610400019323572040959839878842769716576665222306236702659865117\
760160704551192384506567562137783719815281886833683647164185217534762925\
581421776006776440696537567144621534714197521386478076855427649001703561\
260545087729894255295869841501381470039047504901933719889038539931905771\
256215859374896816575120847271875892294418618190673776851598216685851676\
937391618459475287593461386420505327535997036609162199309176768928723115\
987234409731419049141496073886635556605449741134837143889944896294499379\
110518941737322071811185838349952611831524534312674284377797068298764571\
973541496448865581446763129404374926132121177186410339093554210095221400\
040067391927776941013685116107532393491741934603876877453436641903874917\
350462454637968951552698645025857660072915739705884075067829748159124910\
971514066544763507042138660840130928487482861899021003284355770040959529\
900565061097314942879468229802761617365117412920271656441533805526302291\
395652285217222641999185296116448389898884100475849795069664337952906969\
813004779113624807341994637483162666788385493549510256680390307762132676\
193578563366857175540240167434936736079508299060394395852018734464640784\
573771371422097121809495862281236877342451627159095995201289469289851548\
968039672013446449250986964680994441740474514577556014239484433732495475\
315649998840202382861193362626066411728206281746016771214257080986742528\
733311299810097388263093106569217588209752152622104855586410313420888400\
486300914063228049357010446509838717360377151749905193132766887514633919\
877351278377930878425714613728035494332672325253097376016764922596343116\
910384965334960199794824159690764304851272836164683131739753346126626515\
404659293205579092475263374636076470630831031515891763014140224330503887\
792711239972259114607388693818256231196425578593482563188783142286808781\
481288301399421681459966538471888082553924397093257980071709831078259611\
464223844337703390582390105858823406513015061983221470089963671580526024\
523261459526674656342464203336280782884742526773086477821648678968953605\
453811389554664690102440079472805245788484416337593773176792018893688568\
943616694010142670263482195721216487057962206907779887963717713017499750\
708048406404596569264772769345336386121695016721383912431090676267685995\
809988863461588948495509526156346515304960335171941041663470675359449606\
093932814500292214340442364992930078444637832189265956514184725060776510\
385967035181306981837432364256704780858415265964613107284268569688647191\
780281194522318899048101808216654059616657373445374793409488871627072466\
832153598566414753371564134984041869148481961584389995778465390267836939\
434120903115335145581085184275236408763685783886007648309724109423222500\
210017603419324293198359993077417882420457030260633028259579361349860231\
663792505288657097743210690591568866186615763802020942263021092118081879\
742755533575974593392925087724246403239982151612438517879231385961440459\
034943045922174343111181190682052115314790570306661342943641581296354154\
577226542014886873233864160896626841552920301045389696535082936528397881\
931076426764028461771565970806434603902801861239931854784141792162033323\
105961220064625249248804984849767005904210586275258780842207125186249733\
580651327488117519954539197744963421159254464947159557070181939615331977\
382923446489683648315919382167260427718644489994051245883545780041078304\
450697466399111040441135424080735849906346272688349295704081578153260417\
034905014578094863882294438604285992548571314092493887050155084898150281\
377710256489207962290239572634561413098158642917416282353749907474929620\
045601424754918021187073898928089063911245880969959902202548308328075744\
794594651346000209501042692060007747873210838737492472593948650369277634\
898047259578037344787939460648505696983638820140514151551046415017533494\
737572053005750321378358734493106929874846871000328282367165435719392791\
512494806404306198813632705717550455471034282643947497279050027436221692\
875912608968542994330573168493313331386585805588886919972844229293359197\
943876087927111909974851350372109779680685600364712369584001848440748523\
153885083064478331808875845875692482997071577327413691380064176572561995\
326833188320417048727985566306200285444829351931912894979064268488969401\
487981406860991009996627600695839572719744182650046578794124932977416366\
518916352880446464002378680669915910087676170930688390649144642715778282\
032427271575245992555134232936845350613067774458353673787418850191096759\
985850858202139827537127779567989187558906116558926717963239485515492178\
123168498276739669340459347417916346510038530026015866944473918892122410\
691177257519282256218360100634472132658608224769208123194363839769885203\
665721549979034845438777231210311396090061487708598794500150628675133431\
861617707605243297397841270319602187069893620376423496601554000784765011\
4526945862298287858865255141605376



The 26th perfect number, equal to

                        46417       23208
                       2       -   2

(13973 digits)

811537765823510274083652847584652294432730786726377526790750675393940648\
645775937533620079138434068473166573239235419275398705496651009759138311\
909771024593560981959619647379318196618948273362296812744091403763401971\
548899318528429730347207866192668710742179953476394891046708755177859265\
786840622194865109770852945124467905958495536202885140560554336934247487\
011424015392854956933952828229444890385773058280690001948243223961165650\
533915868447092312840977747832816948373219768829026539835244158551056823\
563455194472430976120191375209015844289651404997619592090801378661997621\
866447508122346321917830866454771362031711122449099014403678355534849293\
731790298522484772906785750718906847116097430440989964403135529232695201\
813961762814499375410450524013491650045459889924273774777199316352793506\
842378314862744197492321332185932290057844991397716997535179876038408710\
952720114110583372626445428766680354213986676613162103738873530273273736\
400725556136667875341025385369985148531830787418864508862343675482924709\
404821218045247099818237555491881611266963474848984277020799745083793878\
134821898692563095747428822628496320405891106683190555898628863938809457\
264053725565894434476944965881688805893042833399553621844633332553414900\
351820745621853025722560199737883754351633305165892372839432788045171796\
135322277676082624775357731250064307947359215540986673498590616759617444\
362485014315452080570060525616013142989869405787184717138291135240197377\
184391683555047434966418390560314966728772261342514070731519157961754051\
880422445531025299137048019182830910399529433880818105331794255709992384\
271592654511053056414481447952346069274610216659488724133098868853073022\
509894209475179817701085961518203947690488242973647330395213103626753137\
296926704850819819377849698340654401613331751490630258999575458395443241\
668608164184931971266674810691855482439228371135102709949132139713956660\
745044415171310390650340571059681835858823238717074736759887963679426580\
161444580467852303158598850501279934281420860559448736762598698791450670\
930644500172004506930515377154949436353974121697638407446479838622843666\
548850805217274801341759236232110128951979130776465808511666600356196414\
276164249694530556412708047458441179928704132542428083392473635884123489\
924137339630391372841307856312288943126238465009629593581339029922965293\
043444342928305405364791484258116665637843627876802894929079060999068379\
126156726673783010246132272087847527646341817903409759582832192312278054\
035547672215572571002892716889375545151314182585747099770120617406924518\
641259513542208277618533646394930028644039525653970413407296015261044623\
246860411868586083954292164813800528048000491630512291895710261178713517\
305225170021802293079680603681459338793035960377293292088141111983235233\
544979344669275139801393849464174718936137500049562508923201568301777992\
474351029006286079470100950887595847351031376130131616826589304314707805\
348998804881894104428324013605528367254366471283826003209973064029671559\
569149690639691228485827148253042622141454127680685488363471013469565149\
016171344820492314983147403523820641674781177243502565509407793212245574\
119451556276210451064510832847716013622237180902592431780320421754495995\
670843887288503839934252142545049877864978695758996495462344807257808133\
730039904695239263184448458952510484506869639901387658186294997306518835\
084981932408496366893582467037633322189104776410325504912328453986569459\
043454744724473167832553324122462822205461440373259316289834447978887912\
158982071484711067419731514759555090116025485202837067493529525213138531\
603482175765556464068651608951890585971103517793512017148810536302094212\
613785299684065843185607495619384752249508398696310783838781405472956655\
065720990532832698483056364257364953210687739630823939480477367262008607\
191128149150775253603242366754284005199847291311918431623975221808683076\
392892282480691598692997529334074835986592729684932821179265399255071767\
594455819840804069107989879016440724908563744406773604677782545919509443\
392386733638187972059423223171051050759071819956415138511117940723990080\
987088665915087418094019558428265064675185246439423300750863522922318278\
848951922588548267097667120996950956396851189962950462831099259043897386\
970323217089491082434806277549118542707379350673196822115756360634359024\
109026703239901837708300639797089505908025498865420198811498744937962522\
022665697642346202236656797734883642458710435212335837502279030507104945\
699321778215245719933755343190151040176421363046406048400202057692329532\
299361556728868196698353912694137331321121630587970190431100549763554848\
733216540034853682649134888618303856301014991931235003092461676726871073\
577272961608080873353619266608001943707555622709494009835836075011460232\
748339032017739185016199285090279104926449018017692063685209233531064379\
812645072672748458953038896277404701245043670432321358325084766003018056\
054443300815729457063972814620028305868881250179704693881866459634844376\
367528455683390586564224444495183842022327545288978900175892716504449078\
131288311972226312985334489410093903835823156832920174048401691391516944\
999552877765562997156392887451482863088203027987082218123326147900998184\
161876484319152997514942055980005965650115470098093474812258761395120343\
171853361767064179641622275421556955897372083731348974393126751978329889\
190273232721820446081758272506521109541851180082980087516163222879704858\
028186779595894483806344728615083211340197497848004586931640426506468421\
259893588836104791983463890488782740333290303180619242695075884061676536\
398781231891252643372515763571374577445814124596850856438423515479603697\
028167331881795171912400399819044334649233035873157969682045294352682915\
506866364539423688161262180345269093040589810468299621125034234627901470\
918537194244837480021843349356799987078242345149513284197262724376740228\
105183330328104873348825969999260294334951709717557517352362173749420480\
302101143256326777870707398260280278254599523183606670817637919360834859\
754528104298421263426550507841509833161729211900522776300503937133199308\
762662841906374991262985260154719628703370301209321225294447977150981953\
867235703401864214610143820649060317439824407191696449137068799765155568\
687278530348663397029368099611165568884535882930152053821383872698162330\
928683695071631909024525145374068540735130953125181669578911337976179118\
625410164595267277074707386787043480892854910755009889703009417606769732\
631666810057185566287212290704395907023681102921572550749442996619226675\
737392152072553361178468865261806452291188541447320241015897036314438282\
338163880018894149750241697705284059820558068316715865515940304656811085\
169941469263675500087676458931692931948335878841375609072821113785370212\
752346238783681083185719320715575930649058078807917131556824204648015774\
782809825695084096786599124581730612440947880197843184878044861374732088\
604010934199992514999536986061185216673518492178434769645372740162382634\
006460873703700505367687200281566233238699840582930704674845352115489259\
629391124933701549884756980874428616983668707260432018069230089653110094\
478287099584779051901157826773662666595244697199741433018470712322414756\
284201547044118693134173187051468090644555869558614301845105583079586907\
331110619131000383133753224131478305490096681176749885832249839398998094\
724908946901865463565865865416259376139923161464406786445952179939563029\
841109588863696624672271393404477693656360639612439447189999825882730945\
390283356162400645285933086625734460839458973226544171949111044682965735\
714106269876164540567784191526272179789356553260697022488176785362331885\
016931859516485764555353634658710045203930509652197454868529193506285430\
773209159209273970525055817304446638936487358643387536759821206133651177\
666282977077142933489018094809360339490633634047742008833952363335060770\
379913628287347922068149318530291028656248799762955788051035382075892908\
135096951819278137558030569671117213385917197403256370894412223776605810\
810489577119229892749603608140983126125783102521944029485532641588844626\
093372777018768899776524798850720021867258821382631518984518862975143712\
245086120778602418602135228856933398455508322824030313169353346277893707\
021265926090763327319447367173854371123330206640181685567859571926636344\
407050933923286278851841140435417421701381283202760328909409844248386856\
990948997522261708865289668849738425151990436468427116626207006998280256\
258039971349193697882348558060276375099674930377035517554321123153482778\
890185337805792832129464983220455247206049165045336478405742151022077762\
326551058630342136978724498490040699871908129470438412136827236799709020\
043129076803450351875076096826969481424884542349601223656484629607899894\
086240926931750498662221680688283084551934410721461044681674082980970733\
669139116881833162151398212820158052731962905073762504451827523976088153\
716369827523096584579749725933176383220709564740396206367647229989362275\
235775442662991102848839729162181471073090367984385110095440799997206185\
414845890045007943082266815793123600905382645299440279073214085353448756\
657936079729872379612708767667768829093818035102810722900843031833072845\
527618890424426525674490134125635059794255158414002197322085289286196682\
127023738086217718482428924610801364614786636816068436403377834628444797\
208043799976330005292449052407531586888705494593028351418013809247821141\
933083387788690617325233688366053167125210152717544219445366778321614568\
397995393181894104683421795858477089292903807392005852961881092458247113\
950469802622462740334574584084795208917891831040863716078034393723288089\
041925196651534270330224400057435210200296991263007727104605823966389599\
460221644752282938070262048075991097504060682485360459833619685005428045\
913966326968306079132425126906725108541479624309990082049792899904524551\
559133428349725316025265181391536433613726347410097784820529935931048722\
042183848771591433526128914552884968701419051922540787674958260049704032\
982811246894640075604432411285473372228466394577500667704586234342848930\
520933089194523892082709134550014329379109612709534827111468944171312365\
439338259554331558681737935386348130753241106886431227769970058732774811\
153915297429433763468755981785996816621131366968999546663585354417605500\
305903485861055643712252226498886799572295903128169504918146538753238536\
709580042936474956583600189980292332646124239995203842314376788256105365\
762786263775584711890521782083151788657318821176410635084920655601388875\
141413186840101742414050122409417061988298005334540955121601710819309757\
036817763771034068464911463843335224295472346914357359143631223219252548\
066250029668857077843608906629381255988582302017256386664925124476248777\
899962560038973724468072502007426924323405922129066377034992462513997125\
699661565683592859811949404832091562981517470052479244653121281279539462\
278490993936327053539650309505974417928649598954442774012180663143610992\
938532483802872677049945274196507272404739319705419807931223014810439581\
719279737717392105602376950570538332038674404951696965079875833549174278\
652099742031771200272762134150497323665889608430584651122204144658084968\
896773320195188742076487397017240008241837909193682722147308680261419541\
340579908531470374961896569494045796408785818889661913059579620669461740\
437821014627590742708052433920131842310292343484241886316135967133282872\
899496718449590850446105584573291546177344938409819841802162561468907326\
270229750346801286544694999378013983144801081990227854968866879908512566\
414064106451165821904125687411024219783861681346491518578485399487630851\
720496145682799353698304811034716268671599578645810837833278972835550409\
206542648673268941194206829179774141195932262364940357210917975663196512\
622858725516406639477872882220085625354781166617442777429074801739185346\
695081919570108749886522780216184633847759454432205475565914509070912318\
175649286343119600239231653651326932504063080419807947763012044981064607\
396316818093844952650091051810534086115706502990894778334410402566611247\
436125179218409888907763123360896335219677258577447644650980359173945886\
161009667871028809623611045420857194622722248199694902705266160287160213\
042291594482764169054570649578369981409346459080461491469169761131821411\
237997838412362722135273322695140760662548213082715280761457474057538196\
302527886753504035406471295238195689213876514097310555180867663409094699\
045479342270057539536250637852499251677917824144562614950555770773769234\
905213294340036816041361822645815990393459122275547889222639297134960894\
572138193740124221205350198079447483037653297863753047984329402036714162\
970625159003483950369566474424182964466232024006672185366901865414347287\
379514467416905351168035604010058769434257165971059798022455073232830434\
772716087663340433863269202697188453783448294190712618567276849271218524\
095460630867224983841488901308565608095127957780889386212106055732691363\
449362466237293538761737161593004337814476322199408432032940391247200644\
477540241554784604297505825664176596188151779041370338368534988953796902\
028046034503330847246280593833412064823322346704942466810674547841387546\
328918776417998388722843799408586615197621352448980024180911156889190188\
160049613781610966387003605796660118344277542250969034814012000081553547\
809233927848794565517163392121079983822023689555508646571930718680880078\
109129550024124352268527606132184864392297992518374966752069336716583543\
957139960595503764136664465207745712550893398534103845491465355907961592\
409814881630791698044996207517777874537939375724076339265681494904718566\
221133382555200308874518313475556306884601265549298401897416329981070529\
672149960497505143357420809866528643173227895264139499469712525892720614\
286305056523437034705603798151616479582144649326739495986166207289040103\
376177661570942417613513504520621064263980611997996812667691369849725383\
274599943656268077187725921992520239671544401086044178486084481081448942\
434916552736843558917206863911608065910466406215291013527849752660924529\
177672140796413427991240701576309215623307995771076011382009278519064032\
202770593929678872766711487725561552648385169279052321640208956590990443\
695980892976581990267998983211767354695295660580162048297573050486039416\
66816



The 27th perfect number, equal to

                        88893       44496
                       2       -   2

(26790 digits)

365093519915713555773254766901518475486233204243064276362787352525313952\
694231044795314186866992717366516142595982320892015237109567030957552694\
042304963470056907362694545798061903938825750300295250583721460464010883\
097371797684568734289488036063624746215160865983145128399148366978289783\
047688556377092156246743841809745887097590873365881364889147893443900539\
761832927708887763148225617491506148769411913764844757115422862311470710\
907477692036564295029545560218378242717747900661981573412710905486055687\
428515036078837403223966255722624540094974643298334923267384426483474394\
282029111332418705268158478516358436936404930753128511051604837154816091\
991817537904295487769624488375476396503471612601750927697971285777600923\
658027443264209696959055450537627183179632707617019275228475362581168666\
812167969603323605690848411057782589319026210290296344718442134381615217\
060842430777881498158379146289157825017355839213138004743125643590019265\
456837397476417015135896612246906491383194325342273601919272261317922550\
625568749096128766756590233398922471205462484921413108307967937898644771\
817703021023416023996344395581948555600725927323724066558539989943908426\
174108014517530441525214872946572617478701450916893773385005154386025059\
720017854673634864164277587990802038084926024837300001113778801291873808\
704006533384665381197840461505648862150459503118109006386993589798294246\
929886944668058572956881385250633868297245151987943144665526777297669263\
923425103496131122350015458771234912210967247414242784023583617876297764\
955669330915445012679189153039555673661987905367747845968458272854710096\
029919909136988104542234848227512674599239720573311415434776807072823458\
802962241777638120853854211180950084808750072338494577859511729377227135\
060802943985412657881486896751644347109729087798991690393780088748831549\
890757406906414590384478093389981516998810460326375435415002016567524472\
410452602381206227709539215355928635340735156189491295858913621061786711\
292672927532749260169496540068888535359883086806474105551587962574320514\
687110056539681643952775044294429561527764836990753756774231536175044131\
117739524917542471525488857272458611799221758479605245750407606104352554\
265396805551487904792416392909776787234372349365271871989272141181212949\
121713956904763299673509812538657905395354219859037020175804211589363504\
624611989602200447785198596692565361483881922990675442650278247361933317\
988391465076331100604731521674059696035788112495479153210607886561573458\
889777095100801438701681791404845457227885286916552299578345041037094173\
805650720117677672883482273953238191288963044984677879870249676749371881\
184856891565618065316136726968462955133862269228373407735017734487737000\
841759551870244460413696751985617052879782346959281790830763668958944484\
828386710506666081609394058975549766229604143964726890332742050225300284\
446768843952122680681786030359642243319764104427144090582302509887039733\
328674128868782327578804208259808252201082402439621033090847643660828159\
420525904512502449662429076346521636520242952386914088369942772326491865\
090588524895383229236195665823208012278636604155273553707420634157498735\
879535185066745319116167060352716759625199584072827785202414724363378424\
780375286987067929804370692896084524074417797997618956798843909159221124\
454406528499039359858282296414121622257012750618977459383932840296825703\
402742391184187087852888060381649247856393062032238377102074966175500365\
347757290429198394192008327928079591428482293868234769666992623517365675\
554428794642483043742358094274139453234425578304223693527514166970575796\
145280959600875773292202755505895458642976736145611025304327407753393684\
262359008976410114014119156845193185577140870970661775843690482498328647\
764758780512551756211506628617457988319670900663859280663433088624806628\
351542942631778604875506463611365024483938321925632888289037278019956555\
328439470539980498541716956659173407833728261932256920068116386946541421\
509529038539571496863274838187465047918835187795337874642573267241021048\
201989521331916869135659543259431957878778484637867019698254095936413644\
637926323887625234879296699608791533235827000118995819209916747860285746\
248418114438806391202246427054143776954669220367936065775190162965100567\
119899081485160568531970636524011016898981077863388644131482361249192013\
349064311800151868575739967518209087018705334905919899591697823565755609\
670893006654367563895643822864265240505687890760099405775970660344705740\
320619815013935777844586642244899834300170121187195840922633585339517322\
798810543497563765071827464704732153836984732720020278509496376581241734\
625400920625473565313788273395348086596608781540557978892549644939752904\
900762406532845304987793300699110499947595386338920451052997402615680387\
324946061192609761690412835651853235682239384275935629317136403902860763\
325417097530880596581463401516207044590356925906850454351890183162024083\
358770651646279111976172044962461402798297955477092928926668137077257240\
365710833392557939191257522766653349252499408688436220595627256316393715\
685778635172337326174600625932236605010199146866167142482941228841380173\
209311420870616717859274512642116832829990835864644110504374277506738249\
954243281084730275052603697207699758525389406468845550958118594141390722\
577886237493960723671820106350049195644311639926792690492581381042355419\
395449367206628367384416180764196677114782316848388492354880244889858455\
985254521456471436367595851097254961458257268852391931666375667314740099\
959471350484046060967518082363703885071891672944963261007097189642310846\
407199907823339277978291477375303650833724318739519219502692403429834573\
337741521906334966851402067581297910853008049701605506231537184422642986\
757248658956216981559222489388623432483487539681615969243982083824991379\
256377465725750186760912804478384471992012529796475035806451325798232694\
103243018676302141114284260123807871715664801625997489573011477689774946\
505301372155915914255837141984938640398558320995786605673659128692559525\
676247732160687863112052592002367994724814317627396784894642551966024253\
483895821282867866075768386077125283629261943362889473263209161651808267\
019361971993453220118114057443660861606864201759403031009010185538641652\
258537556802608606065668700451583249531621051251250161886762990664477344\
227489685564484623999413508833837670880288935662724735348627346550049879\
294783644368758991197389445049974853958558967546670445109256440891490438\
990407493854076022780820602737063195485737750710330754560913869590755910\
265806165365714767771875980651638527930070279560483645330582690927896422\
224173143003176019313449155385648094817880042125627055500667209882924321\
246824379991577794290145359704609383157730601816069016325603845971941159\
308806882645094694638336712011994310461639224604890706521491851300817954\
418126517564013660425807479470799595166064607592082855361197118206097494\
990509213431723003455352431253343951513054945555534055640774771080309941\
005588096353016633614184091363528498092335435366420021685656401586974691\
450273007860763817601174087554393095781039547860227378577171087430962516\
911364917349045348660155950229477540186104146730971557478408614085667076\
602759013110068454780855289305695323166015432607827088540061787181644752\
768215242016245618632299936976337823171236429044154133603783608921933388\
253957092970528233267097928514353167420444443837225908221119936267913781\
464161510817803833838703845453723302846210125259491831358278237306566517\
822048759184818846827982317733762663354467636854975423714549929947412119\
829767154335977845302381117401782180359754070802319479454381905004119825\
664751041460969853750437760361391126722589943188274216325916023535069739\
259780771739692268258126034931557216309747054933306117946076031816995455\
362639211970658989644172910918602874928897741182782129013363925657256004\
663327772471125324076498945991311489903128668371465071438184474761553327\
482062918947508441917801069575490923216797928841619352114472890567481701\
882381743267448265746066714848024520610193406208224570963041022095885011\
336479345408114499741356762716762025524417539894843167652815055037172342\
143277399954544403622486329787438261734627630111962958133713925788226327\
682167384068607177091340551174537051905312595065324593339792746452926826\
060294416782445331475187433387316657961687469458646943562990703926181415\
036476996287785262268125647629431302390776511883595411462008123865353470\
607841792767767528836113807625286315979242050539380529102782834515832209\
919025600190919636086909532439289965211099605609881519277234774282343356\
554637712339609992695209908132103971694769816638658517645458082557756298\
184993273866086163433540968280496302975066512310094799292947295970791913\
824167630541157460007156255354697119557165613043825180727161031325399570\
899434819497139100889771873603856547058600635804916921130621728706304168\
261432206340036189399601047466918486544128532568397671820211306249953933\
066222958591480253010070592849432399702726537501401514146993871140431871\
603611010956234715357390938117370260981309589432729060170806295921005291\
423829167664918852661498630081086007556889684178905100570231052986997901\
830184359997869123972516229573350352982093507895291564431057175886289589\
156050792739904630970364746422457987553868963364742233101972385060842875\
010307570142430544200033744637533525441324371443458561355516437486420029\
828709061382335663870209364622326250394511323110767087704822744597071639\
933655603698432232066524028565338285459236418558550970760737018568497062\
702985036010333461342022907747724046629538565546326340268240852624470856\
976322417232591321463868470488034135163819275101860291800066456166273700\
241847184255793440820046459497649776818180427272875384226947183752792916\
549036503687364815558610888315215891528388849983671998134716170842314486\
039438312246527778926852870999215689054330884306819356443328597231472625\
051259975969938338656097521930418725633545308454957035540745626704410424\
468772772945059310815923773615644873593817506850812264328591091390026299\
428064607007958685534944741091581480954716052071034462793973194807552797\
187853079297365988376354603813286318595376008180194397595155249384398523\
947849083096817619559465483944947853509464044542668649124225656906946691\
119971708699847919156991479275970154207115104106064643530622707210281938\
954704544987922710024118777401918579757163896534764314660960018348982681\
620167738471235844837024727697194861723179489030989761836573616589466649\
075712327400901616526927340603805860370086039603115307338244263978049666\
285781732042836106134758277898262910142579096264061702192613532852710376\
212552204516893793720812508619330326066013003138651229198588551683862895\
778676159061994635948489106511725085286072689320223398963898615843692995\
105763406763984886451813265612972443646318800400773973048772254624583993\
713996539134187059903872003280955130007539838812342991861632638735666552\
001527909834470218663207807195296100777221419123250025545934925071618328\
323152906204249027772395774046808145595728660504902860357712059552523320\
175594344781785820571031660379870986767587398013562085999965090175618982\
203360291854007658361144190908503974847024110656189452212142530546299922\
143822749429155373471945054298760816356203730888308380672585867359828538\
731726901935455019634495511400116379515418925555803894496661510716515476\
749784436109971422651688371531605738949028721933277419106285610111105916\
086366916461092490744365941625691874267477439034994377257487206175150462\
585335867441595932897643790028553235202608617829182640946391590022440956\
543627699895032378982890900052352416895795505947312024925589758778140850\
999671714557027916822951738472587997420130688192830964735607747427624224\
970982958168014461577085579781466683310479682671682073932275430639864719\
449981728965494248493771700459481541641396150157872386714630412207683467\
642561032191456169696587790805936852749010193477037574588541667384596894\
402701385843254958156950355143451431953811569250361139112200014752198831\
339401426032025402836559039426041577979315800434425524658833946859066648\
564986792104318632227476759485581175990565615764518053179079071105916706\
131099195489155839337473272951972568905557347391819688352143578367017860\
305031802455896455423022755172520550294092643353538582134609558037625826\
810935064890462513029707395571827461994006644872147515283554609832086283\
926425821845797365367126483561617673322978742785686030636372018916363695\
724919439655113905300753026137331301334582688880927487266768460311576910\
612744360905031871663792821145161592804385393767863591278857853747499744\
787198708675882211643173226044628859442384679482040278664829180456317642\
941072184610996095256957011719406784698954987756887889371161299070637699\
903681288019820515038147397586967569237812750102276784655765962664237102\
768584479858301007901240582293271088042899742913239347885608073147584024\
212560432385381058507934645009618057820112432177751431020608684435872213\
114310588649051030461522048130394713680457870832319653687739278606960201\
629609293442767083546886920779097055828375853003690270986753008192887709\
449323013487829635367185783465138780165664650235672288784606245750051678\
227837732406759042040326654096269253020278488218859248342181114112627537\
142367615976989398926606226750457112791406232673446182113708780994208991\
457881402663336849857165189010734297656403674648650283755759747169170554\
362197791213802782488154197042918762145707646002293854155659945349352354\
852302238618636661683332699697818354921597602784767502059741626490187180\
552640584136454864091012318045443029879928169344527851646375474911775901\
976839397348504449716852428315795698276349780070083698138456987955832992\
287959473649958043992458084838629918643476300990013877100233595122655194\
756322756272563122105334999867292352727880977170605624314666754017339240\
331407170073502688274587207009434873431641625986498926846109390125573017\
968810230286779684454656798145966472072632984409041189832615361607818627\
043111150939201679427824885143659365287227489040234012356059323956732862\
398904224780045379892540087546515202569361469723004995631975741837083974\
543112964677908404074858299694444661901731742067457721491849451726068185\
067672713478011989614445838430854878873765887349353628201792866656176656\
728201837866302994764888444477841244621932386304230288375921812616478465\
186585499663122814009867657599753080113104636628929016450712613292096795\
403802762730075653092476368653096951764722588406214305513748412873943926\
428135170929236658291949719424409575800236387516667915289376708646257524\
659957996070877441736063537719499627336343818090936202963711695085094264\
147651252435452613275839966139075768033314338504739192032414888692631992\
130784589909491408544328329750103716355561487499037137604198271690888790\
840727264510065422332581562027003078837514704164181067126458364429650320\
556000176123693596606688346106439101913601677472654556928601399860487733\
162727531244405053745098763046011886297715596883455942501184823359973767\
410044944108497651658865116457299465290161458406501229547908218432302546\
061255448757634498557421744365296564768265398207251936261339031359614308\
759090956056303318994118502838815247311839540008941743018479728510208311\
746321597570032736417070899287934771471529612356896760870377228718876299\
498453292729045308890145187512613125630459640514248048758400391221549337\
533855420178334082454825591156509725415198268314808416618277579623614444\
818944636547104543247279305522918115251220957348690152645742312287155703\
031379354915855833614968509401227748759413545000284288064911523703378981\
065509920666505702732433019199055637912576123798302235424010592921352180\
121807553813002701189006984661413702779755282025197220294184792674313191\
994758706485443427344360885911969796535345940941175011554051107293488831\
690863297912826111484553193383745599486041138961096090966250074599339410\
352500864401896004062105859741540786663396575176028609268449720099427968\
504098077930491412021109215998848241535315007801641767662317887219574801\
303574113782256541297833245461032241714875094696281424354698002377181451\
607240169310838170511254033178754164819170012349533408917788619422922979\
821505215550179474569591404405736799742834331444490910423155369942104892\
011651895548702040731637553055634050044551307774969306598535326273219202\
543859715457228821355247836113707160607821211273752257435613989799269894\
015510293208327528018550279910400613287793684066757099549039496490915969\
983642980688406261693753621753698309299346178269362579988260436364878106\
216546752275349996440374679277933350973730095228078057513654115455525808\
752840474353413755187300625051662503394830821939890613862425748183046368\
554019793855265785378023455929694710582214180566618694576600618649313556\
399162010606275316915334900005962478870588444876180879868483181654003804\
350438102168840323490468459470994151961226242116778922731627784093344336\
307502605380334241223741135679410931774434078096005704049589655933419820\
915485792804432664441392263171504950661295244945929415494316897787410287\
046665673936760439207321647391961888025080528448726438448270798656905636\
926543910513820821041503700694618364390168023005488886250538522630675839\
773960618908357913044742888931939126085646953408565785259708138293822323\
638497167084802050386954945043675317313273187497154390848941862997330668\
237686859755294782453726819794126460382390110086297461828421893094639339\
429601627726675539147119631004399870852646176420218103083417304698088471\
732860514956494476707762313105752802750086885925019400312294800319404687\
260300668817892034393679070602730761165211625158826068880075837089272016\
596974140906920735437267390724208701624833133359373359997845803857200099\
307534635957127312056866184734428457307918709981030453229025792511376861\
672413818050590858940032192973979427845361192371801368429329791555139631\
000738692308360662449837759442411871295340471549922064413095120971647405\
936596147361378941709885362805590469251735199310251025202509241826588121\
562473663575552109623275280189657553691966464346156649230512483545385645\
234051595919498106560084208163092750820963909911995885769100215471829395\
102360535011756575361813856218285528208738557811097228128872504888320912\
087478801110509753996264758176854475025711426329648229656057025350796860\
466744262516330935765434928867796215313243602218151928817163594040390148\
301035682873816099406800830710068957789591392814176646617475002246369782\
190179319194288997455576568577082482262816225563370977327010842078198086\
490046169931620484994271213440365769322330604878444601773937478084827448\
026176040441994356479359539980455925371285881214529809195962068045708623\
103177205441813972210335171759139250142409203856465956726963097666488956\
685537237846541650735702828270274453488350483197951493222567192519301463\
462539943467393863300579256443409909656347928139167313068261532789660046\
202070908880831514624547447558091746764184744250809294315894134149876894\
843096741947146533525695377313589841313986685855207610468503410964432017\
810417697811349267677753517449997958867504805942774586299103095722217784\
883562998772316760950868805846104777034487720897742081876120311472859486\
289463993395909301538093629803770150892705311214670485041156279228531233\
892856302087589402958199516078768301125681762076031022404105663152702780\
792966432690256091067664878335241728036921486221547274032441191738356007\
508122173398320676843390240386100415799394239226842950759172831125815920\
306003133417316554141903672933003236566399571663475281231890826195744372\
207945409519407273944166160433929904917846797545215854677706209723676981\
330120918991670465446364231770500674421722134936061130604980145025692371\
269475160996168196540998436894128871932173324336782194539730413013662457\
196019483710975560599575259167757590718852931270530287298001484476901746\
481682310335383547567918908282633097611488678206471818314053386558596067\
159583043895959539384651468956909853105642188678579975148130064952094752\
892572938314406663628793598828799171273741129298507413719221809295594316\
826629071307962287504174259002398281023392027400235877116308163157371876\
885624439928739067388609400611792859489699486649926642999640103683710612\
515633790696240415242328611964837763955284144758512460162921677025662737\
848219244068956242595380221668553823617384275300852207922494887248407833\
390235031981164803334369880321398835525240973912062311170079034487566835\
282763423347519452474192521527767888826702324374392164412324768744422956\
564647858359607277910138434483870296582901870849240041327790977192045862\
101392056067572479191739629601127209952745022846761199199636023598867130\
611606740680790029877054184948710928638586914527066860477431110212498496\
541001622322722157523573733658170965638082688475683084610081998131844704\
895758115507724350547326945860000881890659135195914707885529449543125228\
196799313005453196128109532004491355819469513264572587806935527030430949\
949891022271985898823221324622376759987693657209537343885887262619838877\
458555604383110050414603076130721594081270899382952179147429881114144345\
792677466470290198529710169460035348963204523044918607715713082673207283\
102149120017095251620981394885823941999413829971784662826147830891818342\
719024571142694626923679552825657356033339493589570283146177871254898836\
741469393203850874115718323855401798295344439017239462062426622500145269\
868053634748098849694481583876351368505644666331780344318148255835417140\
643649586243024848896686131651209623007701560982660997469976405268728653\
730539068883128035870237365282870644521781184873520644224451979256695360\
520547178371341051689285719297820125338791243910440188078274422793209456\
544492496970886236196957182975513788437603736649544674938397643662451148\
948996159716500402925451526937784903021494948926071400075055802113002900\
091796294114372025081970736552778124728580177922244292293400304306154686\
070140017859792491244399634215563228870222459083171322318635957644327085\
131112468600849156006142156143893138302290111630982344524261270170166316\
784610090345383928218061062926323129857978850361686538132682198401604154\
923487833100108638784243904059916274640869377074984235365376259554464636\
670415536721354297079841174972876067100987875110589849288898591844315867\
021688140002473947253047533428172665928113299262786968226349475665976387\
327157897630881309363161483320604554463920730438036609771211066755786849\
496212967391078251071638242771060237090903620342479971592036303382678035\
900942424727361088191750011735899139592975638910834446192941077821797040\
812014648249709094265757586262017719250384340707724479291273897469664983\
461592329870536000208549781606274687066140371940735369115512015627934328\
467889956529238178926998496501534389715527045745206759035472869474905205\
402699386508424174271758398636369369675986906220465859573380095972632219\
825373653511881937494986729113850638112413336101514967771895818357227906\
997770254644695771653520236488339319313115239940435119542429585988546695\
395478845974279444905277191244216587965611119399933696413561279782984374\
372303925567205435548866045864250515080203926664548305209295724966522766\
105352087743591665213925942927473206209947722711617949857694916590503042\
919752677193973175135671106778934969343219434738397877514713784236685428\
677808910858578047069496231282713955213958394580226845048770650014401109\
913358094627658187959148325688345935263456733079700437771810860669467690\
891944756515220560624957257163152527738374683466410859985588951873040551\
828894578378746551518597506694908427254035978264236746226558483555684219\
658756691065434131131849067465393233296165030320072298742163571542009384\
925778716630431593066678124948639734752460640916714354316415438338839550\
027642580711632160654398406284492848178043065105874275282107578959432607\
812116611618649494831043042277830467488776498106246797217621695341921153\
476404654240565116874580393255127025021928213626937946732571773957105287\
488034384283179139437583987234384141158095457528432277809892536030539077\
595596879444845713420994538560270096377251120021950940799687386115508743\
988824803482232528624926677959654109941194583058634426749719969317469314\
650189186288575721168543777009096147387788742989118884670994463111837057\
390520386910756914506302018696969741928862489677337914438480554338940966\
618466174690097474904446223523482919730693533977594661262694570496870534\
611175557353066458355800546136013450176929291384435181498530464643021120\
164542358467713615600161459185061195006036091729307963490405410350588551\
248845416290770774625740307897651070317586305964641717512859586642309434\
243342417706157133241762052415215346253665543239101161486756171812495091\
363203127560434152492413856851111396704323357359031915277173938933453934\
838628966609686052131515277371721671377694072989993927954581039045900801\
092473291610717610766434960853402495150345244029886913245100911111737766\
134327322253397316122435452762252089911581570986001765220182319437601074\
232878423100017967340111157527652044047750200498177787739878190045866258\
738683129491138399131335941866839601616515726500261988685619846818179511\
986187261381792020642927669893210160629325633899965021227305345226220923\
432821293460660571508107310800165005016501889000603085998646568433486061\
090258715615640251525545315419613817602850960646236241187919041331585572\
907081089000771730501338252389634865454814840222771171708725693624971426\
661766817437940695839754088663337882185059351817915239918304902540435158\
631265858948932860184564162055165272873522143633183196246823936285354547\
278321900836738921442102546355669073989918700263109404090372873323201585\
831111342579632036589948935746425660542965423101645181531285026051343886\
942632028932667147420103153093811190889204104804762352742104031107391113\
390047047972544417704424351062880593337281908031850786840505235221885806\
434884181106196494738383094165762882299180022172052495658055980750681274\
901272832044392470979209786766920290400425054493322475341762123988900047\
827323180727088825421672093826342959968918812113628248946615265736883602\
905509502456356495423020530636091642350086154816356656007084693226716931\
515817689949518673679237612035413335524762570901600614080594004084117852\
728306688947054151124879173169206640640290221337331891067553277395831140\
675760286171432755317767391238607076862702788472267155803456590249375435\
939902955886631823999205069959362047804855843524353429434290600607291140\
760097334703658010159415230810240799797750024819374814731088200435631839\
815263591219732284225320807863115052855945832433724817892204124492709494\
825283130389725801618646785136274984648724994683457110608673491704691130\
569999844777545325323669082320951704143207881528399755369453438702112372\
799127652656358153809242441033381053172919726320347915785460045951701896\
142948074114028645980115618226709487311727031992560012049674023198599423\
901551532031372831013459285735789549392883849241637052959275117006865766\
216956363185532972505292787193120134159173858595354274221296879648057361\
622007038472295610116271120810657855742620931365077409518541948303383066\
031268568245473395760883928662122689647835908781021651116028505237544497\
946189166167773680312355368456792058999394636982074509373478349965353031\
827456