Magazyn Exec 3/CD_Magazyn_EXEC_nr_3.iso/Recent/docs/mags/saku33d2.lha/Teksti/Cantor.txt

Text File | 2000-07-16 | 23KB | 524 lines

12
1
-1 Cantor.IFF 0 0
0 Cantor.IFF 0 120
0 Cantor0.IFF 17 203
2 Cantor1.IFF 0 0
3 Cantor2.IFF 140 45
3 Cantor3.IFF 210 135
9 Cantor4.IFF 118 0
13 Cantor5.IFF 58 60*

{D                                 Zöözi kanttori
{D                                 --------------

                                 Petri Keckman


Edellisessä Sakussa artikkelissani "Suhtari" romutin nykyfysiikkaa. Tässä Sakus-
sa romutan matematiikan perusteita. Painotan, että  artikkelini  täyttävät  tie-
teellisen ja loogisen pätevyyden, vaikka niissä on osittain  pieni  humoristinen
perusvire - matematiikkakin voi olla hauskaa! Jos nykypäivän  tieteilijät  eivät
artikkeleitani noteeraa, niin sen kyllä tulevat tekemään  tulevaisuuden  tietei-
lijät. Tässä artikkelissa perustelen väitteitä, että R=Q ja että numeroituvuuden
käsite on ristiriitainen. Ai mikä se on?

                   Aloitetaan alusta: Sir Georg Cantor (1845-1918) loi välineis-
                   tön ja käsitteet, joilla äärettömät  joukot  saatiin  matema-
                   tiikkaan. Äärettömien joukkojen teoriassa on käsite "numeroi-
                   tuvuus" tärkeä.  Jokin  joukko  X on  numeroituva,  jos se on
                   "yhtä mahtava" kuin luonnollisten lukujen joukko N={0,1,2,...
                   .}. Yhtä mahtava se taas on, jos - ja vain jos - löytyy yksi-
                   käsitteinen kuvaus X:stä N:ään, jossa jokaiseen  X:n  alkioon
                   voidaan liittää eri N:n alkio,  siis  luonnollinen  luku,  ja
                   samoin jokaiseen N:n alkioon voidaan liittää  yksikäsitteinen
                   X:n  alkio.  Hienosti  sanottuna  kyseessä  on  bijektiivinen
                   kuvaus.

                   Numeroituvuus merkitsee sitä, että  joukon  X  kaikki  alkiot
                   voidaan luetella jossakin järjestyksessä siten,  että  niihin
                   jokaiseen  liitetään eri järjestysnumero 0,1,2,...
Voisi äkkiä ajatella että esimerkiksi  murtolukujen  joukko  olisi  "mahtavampi"
kuin luonnollisten lukujen joukko, sillä  voidaanhan  kaikki  luonnolliset luvut
kuvata minkä tahansa kahden erisuuren murtoluvun a ja b väliin vaikkapa  kuvauk-
sella f(n)=b-(b-a)/(n+1). Josta siis f(0)=a ja f(n) lähestyy b:tä kun n lähestyy
ääretöntä. f(0)=b-(b-a)/(0+1)=b-b+a=a ja f(99999999)=b+(b-a)/100000000.  Esimer-
kiksi jos a=1,2 ja b=1,3 saadaan:

f(0)=1,200000       f(1)=1,250000   f(2)=1,266667       f(3)=1,275000
f(4)=1,280000       f(5)=1,283333   f(6)=1,285714       f(7)=1,287500
f(8)=1,288889       f(9)=1,290000   f(10)=1,290909      f(11)=1,291667
f(12)=1,292308      f(13)=1,292857  f(14)=1,293333      f(15)=1,293750
f(16)=1,294118      f(17)=1,294444  f(18)=1,294737      f(19)=1,295000
f(100)=1,299010   f(1000)=1,299900  f(10000)=1,299990   f(100000)=1,299999

Seuraavan sivun kuvassa on vielä esimerkin  vuoksi  tarkasteltu  tilannetta  kun
a=18,3 ja b=18,8. Keskellä on kokonaislukuakseli, josta numerot 0..27 on kuvattu
välille a..b. Alla on lueteltu lisää lukuja.

a ja b voidaan valita siis mielivaltaisen läheltä toisiaan, ja tällaisia  välejä
mahtuu mihin tahansa kahden annetun luvun  väliin  vielä  äärettömän  monta,  ja
vaikka niiden pituus lukuakselilla voidaan saada mielivaltaisen lähelle  nollaa,
niin näihin kaikkiin väleihin erikseen voidaan kaikki  luvut  0,1,2,...  kuvata.
Jokaisessa välissä "riittäisi siis lueteltavaa kaikille luonnollisille  luvuille
loppuelämäksi". Tuntuu oudolta, että kuitenkin on olemassa määritelmä "yhtä mah-
tavuus", joka siis sanoo, että luonnollisten lukujen joukko N  on  yhtä  mahtava
kuin koko murtolukujen joukko Q, kun  näyttäisi  ilmeiseltä,  että  murtolukujen
joukko Q on äärettömän monta kertaa "suurempi" kuin N.


{F                                                                     ---------->






























Joukkojen Q ja N "yhtämahtavuutta" perustellaan eräänlaisella  luettelotempulla.
Kaikki rationaaliluvut eli murtoluvut ovat siis määriteltävissä kahden  luonnol-
lisen luvun n ja m jakolaskuna eli osamääränä n/m. Q  on  niiden  alkioiden  n/m
joukko, missä n ja m kuuluvat N:ään. Tehdään kaksiulotteinen taulukko, jossa ri-
veittäin kasvaa n ja sarakkeittain m.













Annetaan  nyt jokaiselle
murtoluvulle  järjestys-
numero siten, että luvut
luetellaan vinottain:








Jokaiseen annettuun murtolukuun n/m voidaan näin liittää yksi ja määrätty  luon-
nollinen luku. Sivuutan tässä nyt negatiiviset luvut, sillä  ne  voidaan  lisätä
luetteloon muodostamalla toinen samanlainen taulukko ja  ottamalla  joka  toisen
luvun sieltä.  Murtolukujen  joukossa  samaistetaan  luvut,  jotka  ovat  muotoa
(i*n)/(i*m) ja n/m. Esimerkiksi kaikki vinoakselilla n,n olevat luvut 1/1,  2/2,
... ovat samat kuin 1, joista vain ensimmäinen 1/1  otetaan  ja  muut  pyyhitään
yli. Samoin 6/2 = 3/1 jne... Näihin jokaiseen on kuitenkin liitetty luonnollinen
luku. Luonnollisia lukuja pitäisi olla siis "niin paljon enemmän", että niitä on
varaa tuhlata ylimääräisten numerointiin, vaikka  edellä  vähän  jo  perustelin,
miksi niitä on äärettömän monta kertaa vähemmän.

Vaikka murtoluvut voidaan Cantorin  ja  nykymatemaatikoiden  mielestä  luetella,
niin reaalilukuja - joihin kuuluvat myös päättymättömät desimaalikehitelmät  ku-
ten 0,1234567891011121314..., pii=3,141592643589 jne. ei sentään voida.

Heidän todistuksensa on seuraavanlainen (perustuu vastaväitteeseen):  oletetaan,
että kaikki reaaliluvut väliltä 0...1 (edes tältä väliltä)  voitaisiin  luetella
jossakin järjestyksessä, esimerkiksi:

I:

r(0)=0,89737775667080080857467873875759757587462856567674...
r(1)=0,5767747387376876764474874476086083348685378588860868...
r(2)=0,567800000000000000000000000000000000000000000000000000
r(3)=0,45466745453679885796799779767766796708204820099599496...

Konstruoidaan nyt luku r siten, että käydään listaa läpi ja jokaisen luvun  r(n)
kohdalla lisätään r:ään luvun r(n) n:s desimaali siten, että siihen lisätään  1.
Jos luvun r(n) n:s desimaalinumero on 3, laitetaan r:ään 4. 9:stä  laitetaan  0.
Luvun r alku näyttää siis: 0,9887...
r(0)=0,89737
       |
       8+1=_9_
r(1)=0,57677
        |
        7+1=_8_
r(2)=0,56780
         |
         7+1=_8_
r(3)=0,45466
          |
          6+1=_7_

Luku r tulee siis eroamaan kaikista luetelluista luvuista, koska se eroaa niistä
jokaisesta ainakin yhdellä desimaalilla. Koskaan ei tiedetä, voisiko luvun  r(n)
kohdalla konstruoitu luku r olla kuitenkin jo seuraava,  mutta  seuraavan  luvun
kohdalla jatketaan luvun r konstruointia siten, että se eroaa kaikista  jo  lue-
telluista luvuista. Kuinka tämä eroaisi siitä, että todistettaisiin, ettei  edes
luonnollisia lukuja voida luetella missään järjestyksessä  vastaavalla  tavalla?
Oletetaan, että luonnolliset luvut voitaisiin luetella jossakin järjestyksessä.

f(0)=0
f(1)=5453533
f(2)=5367568797
f(3)=1

Yleensähän luonnolliset luvut luetellaan suuruusjärjestyksessä  0,1,2,...  mutta
tässä nyt oletetaan, että ne olisi voitu edes jossakin järjestyksessä  luetella.
Konstruoidaan nyt luku i siten, että aina luvun f(n)  kohdalla  siihen  lisätään
f(n)+1. Aluksi i on siis 0 ja siihen lisätään f(0):n kohdalla f(0)+1. Saadaan
f(0)=0           i=0+1=1
f(1)=5453533     i=1+5453533+1=5453535
f(2)=5367568797  i=5453535+5367568797+1=5373022332
f(3)=1           i=5373022332+1=5373022333

Luku i eroaa varmasti kaikista jo luetelluista luvuista, onhan se niitä  kaikkia
suurempi. Siis luonnollisia lukuja ei voida luetella? Samoin kuin ei reaaliluku-
ja. Vai miten tämä eroaa todistuksesta, jossa todistettiin että reaalilukuja  ei
voida luetella? Jos yrität selittää jotain, että reaalilukuja koskevassa  todis-
tuksessa ollaan jo etukäteen varmoja, että konstruoitua lukua  ei  tule  olemaan
luettelossa, kun taas esimerkiksi lueteltaessa luonnollisia lukuja ihan tavalli-
sessa suuruusjärjestyksessä, ollaan varmoja, että mille tahansa luvulle n löytyy
siitä paikka - se on nimittäin n:ntenä luettelossa - niin se ei päde. Sillä voi-
daanhan reaalilukuja yrittää luetella toisella tavalla: aina luvun r(n) kohdalla
konstruoitu luku r  siirretään  seuraavaksi  ja  sitä  seuraavia  yhden  pykälän
eteenpäin.

Siis edellisen yrityksen I tapa luetella reaalilukuja muutetaan seuraavanlaisek-
si:

II:

r(0)=0,89737775667080080857467873875759757587462856567674...
r(1)=0,9
r(2)=0,5767747387376876764474874476086083348685378588860868...
r(3)=0,98
r(4)=0,567800000000000000000000000000000000000000000000000000
r(5)=0,988
r(6)=0,45466745453679885796799779767766796708204820099599496...
r(7)=0,9887
Tässä luettelossa on nyt tilanne jokaisen luvun kohdalla sellainen, että  vaikka
kuinka yritetään konstruoida desimaalilukua, jota ei  voida  luetella,  niin  se
änkeää itsensä heti seuraavaksi. Ihan sama kuin jos luonnollisia lukuja  luetel-
taessa konstruoitaisiin jokaisen luvun kohdalla n luku n+1 ja todistetaan, ettei
luonnollisia lukuja voida luetella, koska jokaisen luvun kohdalla on  konstruoi-
tavissa luku, joka ei ole esiintynyt listassa. Tällä asialla on nyt  artikkelis-
sani sellainen painoarvo, että jos matemaatikot eivät tähän  reagoi  ja  vastaa,
missä teen päättelyssäni virheen, niin samoin kuin  katson  edellisessä  Sakussa
kumonneeni suhteellisuusteorian, niin nyt katson kumonneeni matematiikan  perus-
teet, ellei tähän vastata (koska ei voida vastata muuta kuin väärin  perustein).
Luonnollisia lukuja lueteltaessa ovat täsmälleen samat ehdot voimassa  kuin  ta-
vassa yrittää luetella desimaalilukuja väliltä 0...1 todistettaessa  ettei  niin
voi tehdä.

1) Jokaisen luvun kohdalla konstruoidaan luku, jota ei ole ollut listassa.
2) Siis, pääteltiin, että on olemassa luku, joka ei ole listassa.
3) Luetteloa muodostettaessa siitä ei kuitenkaan tiedetä muuta kuin että  se  ei
   ole esiintynyt vielä (ja yllä olevassa tavassa II sehän aina esiintyy jo seu-
   raavana myös desimaaliluvuilla).

Mikä on se matemaattisen tarkasti ilmaistavissa oleva ero?  Matemaatikoilta  ha-
luaisin kysyä tätä. Tosin matemaatikot eivät ikävä kyllä lue Sakua, kuten  eivät
ilmeisesti fyysikotkaan, sillä muutenhan he olisivat jo  teilanneet  edellisessä
Sakussa olleen artikkelini?

Matematiikanhan väitetään olevan tarkkaa ja eksaktia, eikä siinä saisi  pitäytyä
mihinkään "musta tuntuu" -todistuksiin. Kyllä minustakin tuntuu, ettei reaalilu-
kuja voida luetella, mutta minusta tuntuu  myös,  ettei  rationaalilukuja  voida
liittää yksikäsitteisesti luonnollisiin lukuihin. Ja itse asiassa  minusta  tun-
tuu, ettei edes luonnollisia lukuja voida luetella - tai ainakaan niitä ei voida
luetella samasta syystä ja samanlaisen todistuksen perusteella kuin desimaalilu-
kuja.

Palataan rationaalilukujen luettelointiyritykseen taulukkotempulla, josta muuten
voidaan todeta, että käsittääkseni mitään suoraa lauseketta ei ole olemassa mur-
toluvun liittämiseen luonnolliseen, vaan se täytyy aina algoritmillisesti konst-
ruoida. Jos ei tarvitsisi pyyhkiä yli supistetussa muodossaan olevan luvun usei-
ta esiintymisiä, niin sitten lukuun n/m liitetty järjestysnumero i olisi helpos-
ti laskettavissa: i=(n-1)(n/2)+(n-1)(m-1)+m(m-1)/2. Tosin  tämä  lauseke  pätee,
jos lukuja luetellaan aina oikealta ylhäältä vasemmalle alaspäin eikä  vuorotel-
len, mutta vastaavanlainen lauseke jossa esiintyisi tekijänä  mod(2)  saataisiin
tässä käytetylle siksak-luetteloinnille.

Mutta koska näin ei voida tehdä, ja eri murtolukujen samat supistetut esitysmuo-
dot samaistetaan, ei ole olemassa lausekkeellista bijektiivistä  kuvausta  N->Q.
Meillä on siis vain käytäntö ja äärelliset tietokoneet murtolukujen liittämiseen
luonnollisiin lukuihin.

Seuraavalla sivulla olevan kuvan soluissa alkioina olevat luvut ovat:

1) ylimpänä rivi- ja sarakenumeroa vastaava i/j

2) sen suora järjestysnumero

3) ylipyyhittyjen perusteella saatu uusi järjestysnumero

4) suurimman yhteisen tekijän supistuksen jälkeen saatu (i/j) supistettuna
   syt:llä






















                 Mitä kauemmaksi luettelossa  mennään, sitä  suu-
                 remmaksi tulee ylipyyhittyjen  murtolukujen mää-
                 rä suhteessa  kaikkiin  osamääriin.  Ensimmäinen
                 ylipyyhitty on siis 2/2, joka on viides lueteltu
                 luku. Miljoonannen luvun kohdalla  ylipyyhittyjä
                 on 39,1196 %.



{F                                                                     ---------->
 ruudun suora  sieven-   rivi/   sieven- sievennetyt 1000:n
 järjestys-    nettyjä  sarake   netty   /kaikki     otanta
 numero
         1        0      1/1      1/1    0,000000
         2        0      1/2      1/2    0,000000
         3        0      2/1      2/1    0,000000
         4        0      3/1      3/1    0,000000
         5        1      2/2      1/1    0,200000
         6        1      1/3      1/3    0,166667
         7        1      1/4      1/4    0,142857
         8        1      2/3      2/3    0,125000
         9        1      3/2      3/2    0,111111
        10        1      4/1      4/1    0,100000
        11        1      5/1      5/1    0,090909
        12        2      4/2      2/1    0,166667
        13        3      3/3      1/1    0,230769
        14        4      2/4      1/2    0,285714
        15        4      1/5      1/5    0,266667
        16        4      1/6      1/6    0,250000
        17        4      2/5      2/5    0,235294
        18        4      3/4      3/4    0,222222
        19        4      4/3      4/3    0,210526
       100       32      9/6      3/2    0,320000
      1000      368     36/10    18/5    0,368000 0,382000 (1000-2000)
     10000     3845     12/130    6/65   0,384500 0,365000
    100000    38990    129/319  129/319  0,389900 0,383000
   1000000   391196   1009/406 1009/406  0,391196 0,481000
  10000000  3918075   2844/1629 316/181  0,391808 0,437000
 100000000 39196810  8989/5154 8989/5154 0,391968

Lukujen luettelointijärjestyksestä johtuu, että  jos  luku  yleensäkään  voidaan
sieventää, sen sievennetty versio on jo lueteltu, sillä luku i/j esiintyy  luet-
telossa aina ennen lukua n*i/n*j. Tämä ylipyyhittyjen määrän kasvu ei  ole  niin
oleellista, mutta onpahan vain artikkelissa mukana, kun tietokoneella ja luvuil-
la leikkiminen on niin hauskaa. Mutta seuraava asia on (oleellinen):

Kun tarkastellaan murtolukuun n/m liitettyä järjestyslukua (suoraa tai  supiste-
tut huomioiden) ja verrataan sitä suurimpaan taulukossa esiintyneeseen  murtolu-
kuun n/m listaamalla niitä alusta hieman...:

suora       oikea      suurin  suhde
järjestys-  järjestys- arvo
luku        luku

       1        1        1     1,000000
       2        2        1     0,500000
       3        3        2     0,666667
       4        4        3     0,750000
       5        4        3     0,750000
       6        5        3     0,600000
       7        6        3     0,500000
       8        7        3     0,428571
       9        8        3     0,375000
      10        9        4     0,444444
      20       16        5     0,312500
      30       23        7     0,304348
     100       68       13     0,191176
     200      133       19     0,142857
     300      199       24     0,120603
    1000      632       45     0,071203
    2000     1251       63     0,050360
    3000     1854       77     0,041532
   10000     6155      141     0,022908
   20000    12297      199     0,016183
   30000    18379      245     0,013330
  100000    61010      447     0,007327
  200000   122030      631     0,005171
  300000   182973      775     0,004236
 1000000   608804     1413     0,002321
 2000000  1217203     1999     0,001642
 3000000  1825275     2449     0,001342
10000000  6081925     4471     0,000735
20000000 12162604     6325     0,000520
30000000 18242397     7745     0,000425

...havaitaan, että järjestysluku kasvaa huomattavan nopeasti  ja  on  jokaisella
vinorivillä suurempi kuin mikään sillä esiintyvä murtoluku, johon se on  liitet-
ty. Suurin murtoluku joka sijaitsee vinorivillä (ks. seuraava kuva alla),  jolla
sijaitsee luku n/m on ensimmäisellä sarakkeella sijaitseva  (n+m-1),  ja  suurin
suorista järjestysluvuista, jotka ylipäätänsä voidaan laskea, on (n+m-1)*(n+m)/2
ja näiden suhde 2/(n+m) lähestyy nollaa kun n+m kasvaa.

Luonnollisten lukujen joukko on kuitenkin murtolukujen aito osajoukko ja kaikil-
le luonnollisillekin luvuille löytyy järjestysnumero. Varmasti jokaisella  luon-
nollisella luvulla n on paikkansa taulukossa, onhan se n/1 ja esiintyy siis  n:n
rivin ensimmäisessä sarakkeessa. Mutta tästä huolimatta jokaisen vinorivin  koh-
dalla voidaan konstruoida n kappaletta lukuja - nimittäin kaikki  järjestysluvut
- jotka eivät ole esiintyneet vielä  listassa.  Siis  järjestysluvuille  ei  ole
vielä löytynyt järjestyslukua.

Eikö tilanne muistuta taas samaa tapaa, jolla Cantor todisti, ettei reaalilukuja
voida luetella? Varsinkin kun korostetaan sitä, ettei ole olemassa matemaattista
lauseketta lukuun n/m liitetylle järjestysluvulle, koska ei tiedetä, kuinka mon-
ta sitä ennen on pyyhitty yli. Tai jos ylipyyhityt jätetään  vain  noteeraamatta
eli luonnollisia lukuja "tuhlataan" ylimääräisten luettelointiin, niin sitten on
lauseke (n-1)(n/2)+(n-1)(m-1)+m(m-1)/2, joka liittää murtolukuun n/m sen järjes-
tysluvun.

















Järjestysluku voidaan muuten päätellä  pinta-aloja  tarkastelemalla.  Päätellään
yllä olevasta kuvasta esim. ruudun 7/6 suora järjestysnumero. Koko eri  väreillä
väritetyn neliöosan pinta-ala on 12*12=(7+6-1)*(7+6-1). Siitä vähennetään  alem-
man puolikkaan pinta-ala (12*11)/2 - joka voidaan päätellä  siitä,  että  sarjan
1+2+...+n summa on (n+1)*(n/2) (Gaussin summa: ensimmäinen +  viimeinen,  toinen
plus tokavika,.. niiden kaikkien arvo on n+1 ja niitä on n/2  kappaletta)  -  ja
lisätään joko 7 tai 6 riippuen siitä, kumpaan suuntaan ollaan luettelemassa  vi-
noriviä, jolla 7/6 sijaitsee. Ilmeisesti 7, koska (7+6) mod 2 =  1.  Siis  n/m:n
suora järjestysnumeron on päätelty olevan (n+m-1)(n+m-1)-(n+m-2)(n+m-1)/2  johon
lisätään joko n tai m riippuen siitä kumpaan suuntaan ollaan kuljettu  eli  lau-
sekkeena   esim.:((n+m)   mod    2)(n+m)-m    ja    lauseke    olisi    muodossa
(n+m-1)(n+m-1)-(n+m-2)(n+m-1)/2+n,  jos  vinorivejä  kuljettaisiin  aina  samaan
suuntaan, ja sieventyisi yllä antamaani muotoon.

Mitä haluan tarkasteluillani sanoa? Väittääkö,  että  taulukosta  puuttuu  jokin
murtoluku n/m? Ei, sitä en halua sanoa ainakaan jos minun pitäisi  kertoa,  mikä
luku siitä puuttuu, mutta ei siitä seuraa,  että  numeroitavuuden  käsite  olisi
järkevä tai että Cantorin todistukset olisivat sitä  tai  että  koko  äärettömän
käsitteessä olisi mieltä. Jos N:ään kelpuutetaan kaikki luvut n+1 jos  n  kuuluu
N:ään, niin samoin kaikki murtoluvut muotoa a+1/n kelpuutetaan Q:hun jos a  kuu-
luu Q:hun. Tästä seuraisikin, että reaaliluvut kuuluisivat Q:hun,  sillä  ne  on
määritelty rationaalilukujen päättymättöminä sarjoina. Esim. pii voidaan esittää
muodossa pii=1-1/3+1/5-1/7+..., joka kuuluisi murtolukuihin  samoin  kun  kaikki
luvut n+1 kuuluvat aina N:ään jos n kuuluu N:ään.

Äärettömän käsitteeseen on matematiikassa törmätty raja-arvoja  määrittelemällä.
En tiedä, kuinka matemaatikot suhtautuvat esim. luvun  33333.../111111...  raja-
arvoon. Sehän on ilmiselvästi kolme. Tässä vain käytetään äärettömän pitkiä  lu-
kuja. Kuuluvatko ne N:ään? Jos eivät, niin millä perusteella? N:äänhän  kuuluvat
kaikki muotoa n+1 olevat luvut, jos n kuuluu N:ään. Ja  luku  333333...  voidaan
määritellä äärettömänä summana 3+30+300+3000+... joka kuuluu N:ään, vaikka  ter-
mejä olisi - ja kun niitä on - äärettömän monta.  Tätä  kautta  N  saataisiinkin
yhtä mahtavaksi kuin R, jos luvuiksi kelpuutetaan äärettömän pitkät. Jos ei kel-
puuteta, niin miksi muuten  ylipäätänsä  leikitään  äärettömillä  luvuilla,  kun
kaikki reaalinen on äärellistä (paitsi ehkä aika - paitsi ihmiselämälle)?

Rationaalilukujen luettelotempusta totean vielä:  Esitin  jo  taulukkoluetteloon
liittyen funktion F(n,m), jolla liitettiin rationaalilukuun (n/m) sen luonnolli-
nen "luetteloluku" i = (n+1)(n/2) + (n-1)(m-1) + m(m-1)/2. Löytyykö  tälle  sel-
keää käänteiskuvausta ts. kahta lauseketta f(i) ja g(i),  joilla  luonnollisesta
luvusta i saataisiin selville sitä vastaava murtoluku f(i) / g(i) = n / m, ilman
että se täytyy laskea tietokoneella? Totesin, että siinä tapauksessa, että  yli-
pyyhityt luvut huomioidaan, sitä ei voida laskea suoraan vaan se täytyy algorit-
millisesti tutkia. Sinänsähän se on yksikäsitteisesti määrätty. Mutta  jos  yli-
pyyhittyjä ei huomioida - tai siis ei  poisteta  ollenkaan,  niin  suora  yhtälö
järjestyslukua i vastaavalle murtoluvulle löytyy.

Siis meillä ovat voimassa yhtälöt:

1:  i = F(n,m) = (n-1)(n/2)+(n-1)(m-1)+m(m-1)/2
    (tämän yhtälön 1: siis johdimme jo ylempänä pinta-aloja tarkastelemalla)
2:  F(1,n+m-1) = m(m-1)/2 (vinorivin ensimmäinen alkio)
3:  F(n+m-1,1) = n(n-1)/2 (vinorivin viimeinen alkio)

Toisaalta kuviota tarkastelemalla voidaan todeta:
n = i-m(m-1)/2                    ja      m = n(n-1)/2 - i + 1

Josta m:lle toiseen asteen yhtälön ratk.:
m = 1/2+-sqrt(1/4+2(i-n))/(-i)    ja      m = n*n/2 - n/2 - i+1

Siis:
m = n*n/2 - n/2 - i+1 = 1/2+-sqrt(1/4+2(i-n))/(-i)

Tästä saadaan n:lle 4. asteen yhtälö, josta se voidaan ratkaista i:n suhteen  ja
sijoitetaan ratkaisu 1:een, josta ratkaistaan m i:n suhteen. Siis  m/n  on  rat-
kaistavissa lausekkeellisesti järjestysluvusta i.
Eli vaikka osittain saadaankin analyyttinen bijektio aikaiseksi myöskin N ->  Q,
(paitsi  että  tässä  nyt  taas  jätetään  huomioimatta  se  että   Q:ssa   luku
n/m=(i*n)/(i*m) ja siis ylipyyhintää  ei  tehdä)  mutta  silti,  yhtämahtavuuden
määrittelyssä, tai koko äärettömyyden käsitteessä ei ole mieltä.

Maalijoukko täytyy määritellä siten, että kaikkien niiden alkioiden, jotka  ovat
kuvattuja Q:sta N:ään, täytyy myös olla kuvauksen N -> Q lähtöjoukossa. Ja  tämä
on mahdotonta, sillä aina kun  otetaan  uusi  N:n  alkio  käyttöön,  niin  sekin
pitäisi pystyä kuvaamaan, mutta sille kuvausta  etsittäessä  joudutaan  ottamaan
yhä uudempia ja aina vain isompia N:n  alkiota  käyttöön.  Äärettömyyttä  täytyy
tarkastella siten, että mitä tapahtuu maali- ja kuvajoukoille siinä  tilanteessa
kun niitä alkioita "luetellaan".

Jos väitetään, että näin ei ole, niin sitten meidän täytyisi hyväksyä  myös  se,
että Q on yhtä mahtava kuin R. Koska reaaliluvut ovat määriteltyjä rationaalilu-
kujen päättymättöminä sarjojen summina. Jos tarkastellaan käsitettä kaikki reaa-
liluvut (johon siis kuuluvat rationaali- ja irrationaaliluvut) ja käsitettä koko
rationaalilukujen joukko, niin täytyyhän tähän hyväksyä myös kaikki siihen  kuu-
luvat vaikka äärettömän pitkätkin sarjat. Ja koska ne ovat sellaisiksi määritel-
tyjä (reaaliluvut), niin ne kuuluvat Q:hun. Koska jos luku a  on  rationaaliluku
niin luku a+b on rationaaliluku. Yhtä hyvin kuin jos  n  on  luonnollinen  luku,
niin n+1 on luonnollinen luku, aina.

Yhtä hyvin kuin hyväksymme kuinka suuren luvun tahansa äärettömän suureen  luon-
nollisten lukujen joukkoon N, niin meidän on hyväksyttävä äärettömän pitkät  ra-
tionaalilukujen summat (a+b+...) joukkoon Q. siis Q = R.

Artikkeliin kuuluvilla C-kielisillä  oheisohjelmilla  canttori1.exe  ja  cantto-
ri2.exe voidaan tuottaa artikkelissa käytettyjä kuvia. canttori2.exelle  voidaan
antaa parametriksi joko 1, 2 tai 3. Lisäksi pari muuta ohjelmaa,  joilla  lista-
taan lukuja. Kaikki löytyvät Ohjelmat-hakemistosta.

Kirjoittajan tavoittaa sähköpostitse osoitteesta [e-mail].