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Text File  |  1995-11-27  |  7KB  |  196 lines
  1.                     *** TIME RESPONSE  ***
  2.  
  3. We calculate the system time response. For analog systems the
  4. calculation occurs with the Laplace transform, for discrete systems
  5. the Z-transform is used.
  6. The input signal must be the Laplace transform or the Z-transform.
  7. The input data are the poles, the zeros and the gain of the signal.
  8. If no input signal is specified, the input signal is the unit
  9. step function.
  10. The Z-transform of a sampled analog system with zero-order hold may
  11. also be calculated.
  12.  
  13.  
  14.  
  15. 
  16. Input signal
  17. ────────────
  18. An analog input signal is the poles, zeros and gain of the Laplace
  19. transform. Since we work with the Laplace transform, The signal = 0
  20. for t < 0.
  21.  
  22. Example : Input signal 5 cos wt.ε(t)
  23.  
  24.                         s       5          s
  25. Laplace transform : 5 ─────── = ── ─────────────────────
  26.                       s² + w²   w² (1 - s/jw)(1 - s/-jw)
  27.  
  28. Here we must input:
  29. 2 poles   : 0 + jw and 0 - jw
  30. 1 zero    : 0
  31. gain    K = 5/w²
  32. If no input signal is given, the input signal is a unit step, being
  33. a signal with a pole in the origin, no zero and a gain of 1.
  34. The total number of poles of input signal and system should not 
  35. exceed 9.
  36. In discrete systems we work similarly with the Z-transform. The 
  37. specified gain is the DC gain, i.e. the gain with z = 1.
  38.  
  39.  
  40.  
  41.  
  42.  
  43.  
  44.  
  45. 
  46. Laplace - partial fractions or Z-transform - partial fractions
  47. ──────────────────────────────────────────────────────────────
  48. We work with real numbers only. The system output signal is expanded
  49. in a sum of 1st and 2nd degree fractions. The 2nd degree fractions
  50. cannot be split and are connected with complex poles. In case of the
  51. Z-transform also a separate z-fraction is split off.
  52. The expansion algorithm can handle multiple real poles up to a
  53. multiplicity of 4. Multiple complex poles cannot be handled. Poles,
  54. whose absolute values differ less than 0.1 % are considered equal.
  55.  
  56. │Caution:
  57. │ Poles, resulting from calculations in other parts of this program,
  58. │ may differ a little more than 0.1 %. Calculation tolerances may
  59. │ cause this problem, although multiple poles were foreseen. These
  60. │ poles are then slightly different and not multiple. Each of the
  61. │ resulting fractions will cause a large output signal with opposite
  62. │ sign. These large output signals determine the scale of the time
  63. │ response graphic presentation. It is recommended to apply a small
  64. │ correction (with F6) to the poles, so that they become multiple
  65. │ poles.
  66.  
  67.  
  68.  
  69.  
  70.  
  71.  
  72.  
  73.  
  74.  
  75. 
  76. Time response - Expression
  77. ──────────────────────────
  78. This is the inverse Laplace transform or the inverse Z-transform of
  79. the previous part. These inverse transforms use the same rules as
  80. the textbook tables.
  81. The inverse Z-transform is only meaningful on the sampling points in
  82. time. To be able to present oscillating outputs (pole in the left
  83. half plane of the z-plane) a cosine time function was chosen.
  84.  
  85.  
  86.  
  87.  
  88.  
  89.  
  90. 
  91. Time response - Table
  92. ─────────────────────
  93. This program part presents a table of the output signal as a 
  94. function of time. Therefore, the given time span is divided in 
  95. 20 equal intervals. Since discrete signals only have a meaning at 
  96. sampling times, discrete outputs are only presented for sampling 
  97. times in the given time span. Besides this, one can calculate the 
  98. output signal at any point in time (or in the discrete case at the 
  99. nearest sampling point in time).
  100.  
  101.  
  102.  
  103.  
  104.  
  105. 
  106. Time response - Plot
  107. ────────────────────
  108. In this program part the output signal is graphically presented as 
  109. a function of time. The scale is determined automatically and 
  110. cannot be influenced. In the analog case 100 points are calculated 
  111. over the given time span and are connected with straight lines. In 
  112. the discrete case the amplitude is calculated at the sampling 
  113. times. The points are not interconnected, but connected to vertical 
  114. lines. These vertical lines can be eliminated in the companion 
  115. options menu.
  116. The plot can be saved for later comparisons. Therefore, you must
  117. choose the option 'Store plot' after the plot presentation. To show
  118. the stored plot you must choose the option 'Fetch plot' before the
  119. presentation of the time response plot you want to compare with. Be
  120. aware that the presentation of the old plot occurs in the coor-
  121. dinates of the new plot (see also Plot Options).
  122.  
  123.  
  124.  
  125.  
  126.  
  127.  
  128.  
  129.  
  130.  
  131.  
  132.  
  133.  
  134.  
  135. 
  136. Plot Options
  137. ────────────
  138. With these options two time responses can be shown in one graphical
  139. presentation. With this option it is possible to show the effect of
  140. changes in the system configuration or to compare the responses of 
  141. a sampled system with its analog counterpart.
  142.  
  143. Store plot
  144.      This option must be chosen after the plot presentation. Only 
  145.      one plot can be stored. Plots that were stored before are 
  146.      automatically discarded.
  147. Fetch plot
  148.      This option must be chosen before the plot presentation. The
  149.      stored plot will be shown in the coordinates of the active
  150.      plot. To obtain a correct presentation you should use equal
  151.      time scales. Since the amplitude scale is automatic, it is
  152.      sometimes necessary to exchange the sequence of stored plot and
  153.      active plot.
  154. Vertical lines - discrete graph
  155.      Discrete time responses are shown only at the sample points in
  156.      time. Default, all the plot points are connected with vertical
  157.      lines to the horizontal time axis. With this option these
  158.      vertical lines can be switched off.
  159. Change main menu options
  160.      With these options the menu bars in the graphic presentations
  161.      can be switched off. You can then give these presentations a
  162.      name of your own choice. Also grids in graphical presentations
  163.      can be activated or deactivated. The size of hardcopies from
  164.      graphics can be changed from A4 to A5 and vice versa. The
  165.      changes introduced with these options are permanent. They can 
  166.      only be altered by options menus in other parts of the program.
  167.  
  168.  
  169.  
  170.  
  171.  
  172.  
  173.  
  174.  
  175.  
  176.  
  177.  
  178.  
  179.  
  180. 
  181. Z - transform
  182. ─────────────
  183. The program calculates the Z-transform of sampled analog systems
  184. with a zero-order hold. The step response of the analog system is
  185. calculated, the output signal is sampled and the Z-transform is
  186. performed. This Z-transform is shown first. If you choose to con-
  187. tinue, the fraction z/z-1 is removed from the Z-transform, which
  188. results in the discrete transfer function. You then may give a name
  189. to this system. After that the discrete system is made active and
  190. the original analog system is written to the scratch pad.
  191.  
  192.  
  193.  
  194.  
  195.  
  196.