home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Sunny 1,000 Collection / SUNNY1000.iso / Files / Dos / Boardak / INETPUZ.ZIP / COMPETIT.TXT < prev    next >
Text File  |  1995-02-05  |  252KB  |  6,178 lines
  1. Archive-name: puzzles/archive/competition/part1
  2. Last-modified: 17 Aug 1993
  3. Version: 4
  4.  
  5.  
  6. ==> competition/contests/games.magazine.p <==
  7. What are the best answers to various contests run by _Games_ magazine?
  8.  
  9. ==> competition/contests/games.magazine.s <==
  10. Contest                 Date            Archive Entry
  11. ----------------------  --------------  -----------------------------
  12. Equations               ? 1981          equations
  13. National Puzzle 1993    1993            npc.1993
  14. Nots and Crosses        ? 1992          nots.and.crosses
  15. Perfect Ladder          July 1993       perfect.ladder
  16. Telegrams               ?               telegrams
  17.  
  18. ==> competition/contests/national.puzzle/npc.1993.p <==
  19. What are the solutions to the Games magazine 1993 National Puzzle Contest?
  20.  
  21. ==> competition/contests/national.puzzle/npc.1993.s <==
  22. 1. 6, 10, 11, and 12 are in one group, and everything else is in the other.
  23. 2. 20
  24. 3. The upper-right segment of the first 8.
  25. 4. 6
  26. 5. d (ball point pen, analog watch, mattress, pogo stick): springs
  27. 6. a (Fire Engine, strawberry, lobster, lips): red
  28. 7. h (Icicle, paint, nose, faucet): drip
  29. 8. f (piggy bank, basketball, jack o' lantern, drum): hollow
  30. 9. g (horseshoe, goal post, stethoscope, fish hook): shaped like letters
  31. 10. e (flying bat, Xmas tree ornament, framed picture, trapeze artist): hang
  32. 11. b (candle, owl, vampire, pajamas): all associated with night
  33. 12. 4, 7, 2, 10, 5, 8, 1, 9, 6, 3
  34. 13. 152954
  35. 14. LIMA PERU
  36. 15. 44
  37. 16. 160
  38. 17. A
  39. 18. Flo Lisa Amy Joyce Kim.
  40. 19. Top: AJKQ, 2nd Row: JKAQ, 3rd Row: KQAJ, 4th Row: JQAK
  41. 20. Joan Miro, Paavo Nurmi, Blaise Pascal
  42. 21. Top: 1, 8, 4  Middle: 6, 9, 3  Bottom: 2, 7, 5
  43. 22. d and g
  44. 23. Brenda: 87, Carrie: 85, Dick: 86, Harry: 84, Laura: 88, Tom: 83
  45. 24. If you number the columns 1-6 and letter the rows a-f, the first group
  46.     consists of 1a, 2a, 3a, 4a, 1b, 2b, 2c, 3c, 2d.  Other groups are
  47.     similarly shaped, rotated around the center point of the grid.
  48. 25. 2, 6, 5
  49. 26. Top: R O M  Middle: Q T A   Bottom: U E D S
  50. 27. 3 X 58 = 174 = 6 X 29
  51. 28. 5 (the number of enclosed areas in the letters of each month name)
  52. 29. too hard to describe -- easier than it looked
  53. 30. 80
  54. 31. 16
  55. 32. 4 (ADBECF ADBFCE ADFCBE BFDCAE)
  56. 33. 8 (delete 3,5,7,9,12,14,17,18)
  57. 34.  CONKP VALEY GSRCW TUIBI LANZS
  58.  
  59.  
  60. ==> competition/games/bridge.p <==
  61. Are there any programs for solving double-dummy Bridge?
  62.  
  63.  
  64. ==> competition/games/bridge.s <==
  65. I'll enclose my Double-Dummy solver for bridge.  I like this program
  66. because it contains a wildly unstructured "goto" -- which I claim is the
  67. most readable way to write the program.
  68.         Included are two test problems for the bridge-solver: a 6-card
  69. ending and a complete 13-card position.  The former should be very fast;
  70. the latter about 20 minutes on Sparcstation-2.  Each is *very*
  71. challenging for humans.
  72.  
  73. Regards, James
  74.  
  75. =============== clip; chmod +x; execute =============
  76. #!/bin/sh
  77. cat > bridge.c << 'EOF'
  78. /*
  79.  * DOUBLE_DUMMY
  80.  * Copyright (c) 1990 by
  81.  *      James D. Allen
  82.  *      19785 Stanton Ave
  83.  *      Castro Valley, CA
  84.  * Permission granted to use for any non-commercial purpose
  85.  *      as long as this notice is not removed.
  86.  *
  87.  * This program will solve double-dummy bridge problems.
  88.  * The algorithm is trivial: brute-force alpha-beta search (also known
  89.  *      as "backtracking").  The alpha-beta is trivial since we do not
  90.  *      consider overtricks or extra undertricks.
  91.  * The control flow is neat; this is a rare exception where software is
  92.  *      more readable with a "goto".  (Although I've tersified this to
  93.  *      the point where it is perhaps unreadable anyway :-)
  94.  */
  95.  
  96. #define NUMP    4       /* The Players:  N, E, S, W */
  97. #define         NORTH   0
  98. #define         IS_CONT(x)      (!((x) & 1))    /* Is x on N/S team? */
  99. #define         LHO(x)          (((x) + 1) % NUMP)
  100. #define         RHO(x)          (((x) + NUMP - 1) % NUMP)
  101. char    *Playername[] = { "North", "East", "South", "West" };
  102.  
  103. #define NUMS    4       /* The Suits:   S, H, D, C */
  104. char    Suitname[] = "SHDC";
  105. char    *Fullname[] = { "Spades\t", "Hearts\t", "Diamonds", "Clubs\t" };
  106.  
  107. /*
  108.  * Rank indices are 2 (Ace), 3 (King), ... 14 (Deuce)
  109.  * There is also a CARD Index which can be converted to from Rank and Suit.
  110.  */
  111. #define CARD(Suit, Rank)        (((Suit) << 4) | (Rank))
  112. #define SUIT(Card)              ((Card) >> 4)
  113. #define RANK(Card)              ((Card) & 0xf)
  114. char    Rankname[] = "??AKQJT98765432";
  115. #define INDEX(s, c)     ((char *)index(s, c) - (s))
  116.  
  117. /* A "SuitSet" is used to cope with more than one card at once: */
  118. typedef unsigned short SuitSet;
  119. #define MASK(Card)              (1 << RANK(Card))
  120. #define REMOVE(Set, Card)       ((Set) &= ~(MASK(Card)))
  121.  
  122. /* And a CardSet copes with one SuitSet for each suit: */
  123. typedef struct cards {
  124.         SuitSet cc[NUMS];
  125. } CardSet;
  126.  
  127. /* Everything we wish to remember about a trick: */
  128. struct status {
  129.         CardSet st_hold[NUMP];  /* The players' holdings */
  130.         CardSet st_lgl[NUMP];   /* The players' remaining legal plays */
  131.         short   st_play[NUMP];  /* What the players played */
  132.         SuitSet st_trick;       /* Led-suit Cards eligible to win trick */
  133.         SuitSet st_trump;       /* Trump Cards eligible to win trick */
  134.         short   st_leader;      /* Who led to the trick */
  135.         short   st_suitled;     /* Which suit was led */
  136. }
  137. Status[14]; /* Status of 13 tricks and a red zone" */
  138. #define Hold    Statp->st_hold
  139. #define Resid   (Statp+1)->st_hold
  140. #define Lgl     Statp->st_lgl
  141. #define Play    Statp->st_play
  142. #define Trick   Statp->st_trick
  143. #define Trtrick Statp->st_trump
  144. #define Leader  Statp->st_leader
  145. #define Suitled Statp->st_suitled
  146.  
  147. /* Pick a card from the set and return its index */
  148. pick(set)
  149.         SuitSet set;
  150. {
  151.         return set & 0xff ? set &  1 ? 0 : set &  2 ? 1 : set &  4 ? 2
  152.                           : set &  8 ? 3 : set & 16 ? 4 : set & 32 ? 5
  153.                           : set & 64 ? 6 : 7 : pick(set >> 8) + 8;
  154. }
  155.  
  156. #define highcard(set)   pick(set) /* Pick happens to return the best card */
  157.  
  158. main()
  159. {
  160.         register struct status *Statp = Status; /* Point to current status */
  161.         int     tnum;   /* trick number */
  162.         int     won;    /* Total tricks won by North/South */
  163.         int     nc;     /* cards on trick */
  164.         int     ohsize; /* original size of hands */
  165.         int     mask;
  166.         int     trump;
  167.         int     player; /* player */
  168.         int     pwin;   /* player who won trick */
  169.         int     suit;   /* suit to play */
  170.         int     wincard; /* card which won the trick */
  171.         int     need;   /* Total tricks needed by North/South */
  172.         int     cardx;  /* Index of a card under consideration */
  173.         int     success; /* Was the trick or contract won by North/South ? */
  174.         int     last_t; /* Decisive trick number */
  175.         char    asciicard[60];
  176.         SuitSet inplay; /* cards still in play for suit */
  177.         SuitSet pr_set; /* Temp for printing */
  178.  
  179.         /* Read in the problem */
  180.         printf("Enter trump suit (0-S,1-H,2-D,3-C,4-NT): ");
  181.         scanf("%d", &trump);
  182.         printf("Enter how many tricks remain to be played: ");
  183.         scanf("%d", &ohsize);
  184.         printf("Enter how many tricks North/South need to win: ");
  185.         scanf("%d", &need);
  186.         printf("Enter who is on lead now (0=North,etc.): ");
  187.         scanf("%d", &pwin);
  188.         printf("Enter the %d cards beginning with North:\n", NUMP * ohsize);
  189.         for (player = NORTH; player < NUMP; player++) {
  190.                 for (tnum = 0; tnum < ohsize; tnum++) {
  191.                         scanf("%s", asciicard);
  192.                         cardx = CARD(INDEX(Suitname, asciicard[1]),
  193.                                         INDEX(Rankname, asciicard[0]));
  194.                         Hold[player].cc[SUIT(cardx)] |= MASK(cardx);
  195.                 }
  196.         }
  197.  
  198.         /* Handle the opening lead */
  199.         printf("Enter the directed opening lead or XX if none:\n");
  200.         Lgl[pwin] = Hold[pwin];
  201.         scanf("%s", asciicard);
  202.         if (asciicard[0] == 'X') {
  203.                 strcpy(asciicard, "anything");
  204.         } else {
  205.                 cardx = CARD(INDEX(Suitname, asciicard[1]),
  206.                                 INDEX(Rankname, asciicard[0]));
  207.                 for (suit = 0; suit < NUMS; suit++)
  208.                         if (suit != SUIT(cardx))
  209.                                 Lgl[pwin].cc[suit] = 0;
  210.                         else if (!(Lgl[pwin].cc[suit] &= MASK(cardx))) {
  211.                                 printf("He can't lead card he doesn't
  212. have\n");
  213.                                 exit(1);
  214.                         }
  215.         }
  216.  
  217.         /* Print the problem */
  218.         for (player = NORTH; player < NUMP; player++) {
  219.                 printf("\n---- %s Hand ----:\n", Playername[player]);
  220.                 for (suit = 0; suit < NUMS; suit++) {
  221.                         printf("\t%s\t", Fullname[suit]);
  222.                         for (pr_set = Hold[player].cc[suit]; pr_set;
  223.                                         REMOVE(pr_set, pick(pr_set)))
  224.                                 printf("%c ", Rankname[RANK(pick(pr_set))]);
  225.                         printf("\n");
  226.                 }
  227.         }
  228.         printf("\n%s%s Trumps; %s leads %s; N-S want %d tricks; E-W want
  229. %d\n",
  230.                 trump < NUMS ? Fullname[trump] : "",
  231.                 trump < NUMS ? " are" : "No",
  232.                 Playername[pwin], asciicard, need, ohsize + 1 - need);
  233.  
  234.       /* Loop to play tricks forward until the outcome is conclusive */
  235.         for (tnum = won = success = 0;
  236.                         success ? ++won < need : won + ohsize >= need + tnum;
  237.                         tnum++, Statp++, success = IS_CONT(pwin)) {
  238.                 for (nc = 0, player = Leader = pwin; nc < NUMP;
  239.                                         nc++, player = LHO(player)) {
  240.                       /* Generate legal plays except opening lead */
  241.                         if (nc || tnum)
  242.                                 Lgl[player] = Hold[player];
  243.                       /* Must follow suit unless void */
  244.                         if (nc && Lgl[player].cc[Suitled])
  245.                                 for (suit = 0; suit < NUMS; suit++)
  246.                                         if (suit != Suitled)
  247.                                                 Lgl[player].cc[suit] = 0;
  248.                         goto choose_suit; /* this goto is easily eliminated */
  249.                       /* Comes back right away after choosing "suit"  */
  250.                         make_play:
  251.                         Play[player] = cardx =
  252.                                 CARD(suit, pick(Lgl[player].cc[suit]));
  253.                         if (nc == 0) {
  254.                                 Suitled = suit;
  255.                                 Trick = Trtrick = 0;
  256.                         }
  257.                       /* Set the play into "Trick" if it is win-eligible */
  258.                         if (suit == Suitled)
  259.                                 Trick |= MASK(cardx);
  260.                         if (suit == trump)
  261.                                 Trtrick |= MASK(cardx);
  262.  
  263.                       /* Remove card played from player's holding */
  264.                         Resid[player] = Hold[player];
  265.                         REMOVE(Resid[player].cc[suit], cardx);
  266.                 }
  267.  
  268.               /* Finish processing the trick ... who won? */
  269.                 if (Trtrick)
  270.                         wincard = CARD(trump, highcard(Trtrick));
  271.                 else
  272.                         wincard = CARD(Suitled, highcard(Trick));
  273.                 for (pwin = 0; Play[pwin] != wincard; pwin++)
  274.                         ;
  275.         }
  276.  
  277.       /* Loop to back up and let the players try alternatives */
  278.         for (last_t = tnum--, Statp--; tnum >= 0; tnum--, Statp--) {
  279.                 won -= IS_CONT(pwin);
  280.                 pwin = Leader;
  281.                 for (player = RHO(Leader), nc = NUMP-1; nc >= 0;
  282.                                         player = RHO(player), nc--) {
  283.                       /* What was the play? */
  284.                         cardx = Play[player];
  285.                         suit = SUIT(cardx);
  286.                       /* Retract the played card */
  287.                         if (suit == Suitled)
  288.                                 REMOVE(Trick, cardx);
  289.                         if (suit == trump)
  290.                                 REMOVE(Trtrick, cardx);
  291.                       /* We also want to remove any redundant adjacent plays
  292. */
  293.                         inplay =  Hold[0].cc[suit] | Hold[1].cc[suit]
  294.                                 | Hold[2].cc[suit] | Hold[3].cc[suit];
  295.                         for (mask = MASK(cardx); mask <= 0x8000; mask <<= 1)
  296.                                 if (Lgl[player].cc[suit] & mask)
  297.                                         Lgl[player].cc[suit] &= ~mask;
  298.                                 else if (inplay & mask)
  299.                                         break;
  300.                       /* If the card was played by a loser, try again */
  301.                         if (success ? !(IS_CONT(player)) : IS_CONT(player)) {
  302.                                 choose_suit:
  303.                               /* Pick a suit if any untried plays remain */
  304.                                 for (suit = 0; suit < NUMS; suit++)
  305.                                         if (Lgl[player].cc[suit])
  306.                                                 /* This goto is really nice!!
  307. *
  308. /
  309.                                                 goto make_play;
  310.                         }
  311.                 }
  312.         }
  313.  
  314.         /*
  315.          * We're done.  We know the answer.
  316.          * We can't remember all the variations; fortunately the
  317.          *  succeeders played correctly in the last variation examined,
  318.          * so we'll just print it.
  319.          */
  320.         printf("Contract %s, for example:\n",
  321.                         success ? "made" : "defeated");
  322.         for (tnum = 0, Statp = Status; tnum < last_t; tnum++, Statp++) {
  323.                 printf("Trick %d:", tnum + 1);
  324.                 for (player = 0; player < Leader; player++)
  325.                         printf("\t");
  326.                 for (nc = 0; nc < NUMP; nc++, player = LHO(player))
  327.                         printf("\t%c of %c",
  328.                                 Rankname[RANK(Play[player])],
  329.                                 Suitname[SUIT(Play[player])]);
  330.                 printf("\n");
  331.         }
  332.         return 0;
  333. }
  334. EOF
  335. cc -O -o bridge bridge.c
  336. bridge << EOF
  337. 4 6 5 2
  338. AS JS 4S QD 8D 2C
  339. KS QS 9H 8H AD 2D
  340. AH 2H KD 9D 7D AC
  341. TS 3S 2S TH TD TC
  342. XX
  343. EOF
  344. bridge << EOF
  345. 1 13 13 3
  346. 3C                3H 2H                   AD KD 2D      AS KS 7S 6S 5S 4S 3S
  347. 8C 7C 6C 5C 4C    QH TH 8H 7H             8D 7D 6D      2S
  348. AC QC JC 9C       AH KH JH 9H 6H 5H       5D 4D 3D
  349. KC TC 2C          4H                      QD JD TD 9D   QS JS TS 9S 8S
  350. QS
  351. EOF
  352.  
  353.  
  354.  
  355. ==> competition/games/chess/knight.control.p <==
  356. How many knights does it take to attack or control the board?
  357.  
  358. ==> competition/games/chess/knight.control.s <==
  359. Fourteen knights are required to attack every square:
  360.  
  361.     1   2   3   4   5   6   7   8
  362.    ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
  363. h |   |   |   |   |   |   |   |   |
  364.    --- --- --- --- --- --- --- ---
  365. g |   |   | N | N | N | N |   |   |
  366.    --- --- --- --- --- --- --- ---
  367. f |   |   |   |   |   |   |   |   |
  368.    --- --- --- --- --- --- --- ---
  369. e |   | N | N |   |   | N | N |   |
  370.    --- --- --- --- --- --- --- ---
  371. d |   |   |   |   |   |   |   |   |
  372.    --- --- --- --- --- --- --- ---
  373. c |   | N | N | N | N | N | N |   |
  374.    --- --- --- --- --- --- --- ---
  375. b |   |   |   |   |   |   |   |   |
  376.    --- --- --- --- --- --- --- ---
  377. a |   |   |   |   |   |   |   |   |
  378.    --- --- --- --- --- --- --- ---
  379.  
  380. Three knights are needed to attack h1, g2, and a8; two more for b1, a2,
  381. and b3, and another two for h7, g8, and f7.
  382.  
  383. The only alternative pattern is:
  384.  
  385.     1   2   3   4   5   6   7   8
  386.    ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
  387. h |   |   |   |   |   |   |   |   |
  388.    --- --- --- --- --- --- --- ---
  389. g |   |   | N |   |   | N |   |   |
  390.    --- --- --- --- --- --- --- ---
  391. f |   |   | N | N | N | N |   |   |
  392.    --- --- --- --- --- --- --- ---
  393. e |   |   |   |   |   |   |   |   |
  394.    --- --- --- --- --- --- --- ---
  395. d |   |   | N | N | N | N |   |   |
  396.    --- --- --- --- --- --- --- ---
  397. c |   | N | N |   |   | N | N |   |
  398.    --- --- --- --- --- --- --- ---
  399. b |   |   |   |   |   |   |   |   |
  400.    --- --- --- --- --- --- --- ---
  401. a |   |   |   |   |   |   |   |   |
  402.    --- --- --- --- --- --- --- ---
  403.  
  404. Twelve knights are needed to control (attack or occupy) the board:
  405.  
  406.     1   2   3   4   5   6   7   8
  407.    ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
  408. a |   |   |   |   |   |   |   |   |
  409.    --- --- --- --- --- --- --- ---
  410. b |   |   | N |   |   |   |   |   |
  411.    --- --- --- --- --- --- --- ---
  412. c |   |   | N | N |   | N | N |   |
  413.    --- --- --- --- --- --- --- ---
  414. d |   |   |   |   |   | N |   |   |
  415.    --- --- --- --- --- --- --- ---
  416. e |   |   | N |   |   |   |   |   |
  417.    --- --- --- --- --- --- --- ---
  418. f |   | N | N |   | N | N |   |   |
  419.    --- --- --- --- --- --- --- ---
  420. g |   |   |   |   |   | N |   |   |
  421.    --- --- --- --- --- --- --- ---
  422. h |   |   |   |   |   |   |   |   |
  423.    --- --- --- --- --- --- --- ---
  424.  
  425. Each knight can control at most one of the twelve squares a1, b1, b2,
  426. h1, g1, g2, a8, b8, b7, h8, g8, g7.  This position is unique up to
  427. reflection.
  428.  
  429. References
  430.     Martin Gardner, _Mathematical Magic Show_.
  431.  
  432. ==> competition/games/chess/knight.most.p <==
  433. What is the maximum number of knights that can be put on n x n chessboard
  434. without threatening each other?
  435.  
  436. ==> competition/games/chess/knight.most.s <==
  437. n^2/2 for n even >= 4.
  438.  
  439. Divide the board in parts of 2x4 squares. The squares within
  440. each part are paired as follows:
  441.  
  442. -----
  443. |A|B|
  444. -----
  445. |C|D|
  446. -----
  447. |B|A|
  448. -----
  449. |D|C|
  450. -----
  451.  
  452. Clearly, not more than one square per pair can be occupied by a knight.
  453.  
  454. ==> competition/games/chess/knight.tour.p <==
  455. For what size boards are knight tours possible?
  456.  
  457. ==> competition/games/chess/knight.tour.s <==
  458. A tour exists for boards of size 1x1, 3x4, 3xN with N >= 7, 4xN with N >= 5,
  459. and MxN with N >= M >= 5.  In other words, for all rectangles except 1xN
  460. (excluding the trivial 1x1), 2xN, 3x3, 3x5, 3x6, 4x4.
  461.  
  462. With the exception of 3x8 and 4xN, any even-sized board which allows a tour
  463. will also allow a closed (reentrant) tour.
  464.  
  465. On an odd-sided board, there is one more square of one color than
  466. of the other.  Every time a knight moves, it moves to a square of
  467. the other color than the one it is on.  Therefore, on an odd-sided
  468. board, it must end the last move but one of the complete, reentrant
  469. tour on a square of the same color as that on which it started.
  470. It is then impossible to make the last move, for that move would end
  471. on a square of the same color as it begins on.
  472.  
  473. Here is a solution for the 7x7 board (which is not reentrant).
  474.      ------------------------------------
  475.      | 17 |  6 | 33 | 42 | 15 |  4 | 25 |
  476.      ------------------------------------
  477.      | 32 | 47 | 16 |  5 | 26 | 35 | 14 |
  478.      ------------------------------------
  479.      |  7 | 18 | 43 | 34 | 41 | 24 |  3 |
  480.      ------------------------------------
  481.      | 46 | 31 | 48 | 27 | 44 | 13 | 36 |
  482.      ------------------------------------
  483.      | 19 |  8 | 45 | 40 | 49 |  2 | 23 |
  484.      ------------------------------------
  485.      | 30 | 39 | 10 | 21 | 28 | 37 | 12 |
  486.      ------------------------------------
  487.      |  9 | 20 | 29 | 38 | 11 | 22 |  1 |
  488.      ------------------------------------
  489.  
  490. Here is a solution for the 5x5 board (which is not reentrant).
  491.      --------------------------
  492.      |  5 | 10 | 15 | 20 |  3 |
  493.      --------------------------
  494.      | 16 | 21 |  4 |  9 | 14 |
  495.      --------------------------
  496.      | 11 |  6 | 25 |  2 | 19 |
  497.      --------------------------
  498.      | 22 | 17 |  8 | 13 | 24 |
  499.      --------------------------
  500.      |  7 | 12 | 23 | 18 |  1 |
  501.      --------------------------
  502.  
  503. Here is a reentrant 2x4x4 tour:
  504.          0 11 16  3    15  4  1 22
  505.         19 26  9 24     8 23 14 27
  506.         10  5 30 17    31 12 21  2
  507.         29 18 25  6    20  7 28 13
  508. A reentrant 4x4x4 tour can be constructed by splicing two copies.
  509.  
  510. It shouldn't be much more work now to completely solve the problem of which 3D
  511. rectangular boards allow tours.
  512.  
  513. Warnsdorff's rule: at each stage of the knight's tour, choose the
  514. square with the fewest remaining exits:
  515.  
  516.  1 12 23 44  3 14 25
  517. 22 43  2 13 24 35  4
  518. 11 28 45 40 47 26 15
  519. 42 21 48 27 34  5 36
  520. 29 10 41 46 39 16 33
  521. 20 49  8 31 18 37  6
  522.  9 30 19 38  7 32 17
  523.  
  524. Mr. Beverley published in the Philosophical Magazine in 1848 this
  525. knight's tour that is also a magic square:
  526.  
  527.  1 30 47 52  5 28 43 54
  528. 48 51  2 29 44 53  6 27
  529. 31 46 49  4 25  8 55 42
  530. 50  3 32 45 56 41 26  7
  531. 33 62 15 20  9 24 39 58
  532. 16 19 34 61 40 57 10 23
  533. 63 14 17 36 21 12 59 38
  534. 18 35 64 13 60 37 22 11
  535.  
  536. ~References:
  537. ``The Construction of Magic Knight Tours,'' by T. H. Willcocks,
  538. J. Rec. Math. 1:225-233 (1968).
  539.  
  540. "Games Ancient and Oriental and How to Play Them"
  541. by Edward Falkener published by Dover in 1961 (first published 1892)
  542.  
  543. "Mathematical Magic Show", Martin Gardner, ch. 14
  544.  
  545. ==> competition/games/chess/mutual.stalemate.p <==
  546. What's the minimal number of pieces in a legal mutual stalemate?
  547.  
  548. ==> competition/games/chess/mutual.stalemate.s <==
  549. 6.  Here are three mutual stalemate positions.  Black is lower case
  550. in the diagrams.
  551.  
  552. W Kh8 e6 f7 h7  B Kf8 e7
  553.  
  554.         --+--+--+--+--+
  555.           |  | k|  | K|
  556.         --+--+--+--+--+
  557.           | p| P|  | P|
  558.         --+--+--+--+--+
  559.           | P|  |  |  |
  560.         --+--+--+--+--+
  561.           |  |  |  |  |
  562.  
  563. W Kb1  B Ka3 b2 b3 b4 a4
  564.  
  565.         |  |  |
  566.         +--+--+--
  567.         | p| p|
  568.         +--+--+--
  569.         | k| p|
  570.         +--+--+--
  571.         |  | p|
  572.         +--+--+--
  573.         |  | K|
  574.         +--+--+--
  575.  
  576. W Kf1  B Kh1 Bg1 f2 f3 h2
  577.  
  578.           |  |  |  |
  579.         --+--+--+--+
  580.           | p|  |  |
  581.         --+--+--+--+
  582.           | p|  | p|
  583.         --+--+--+--+
  584.           | K| b| k|
  585.         --+--+--+--+
  586.  
  587.  
  588. ==> competition/games/chess/queen.control.p <==
  589. How many queens does it take to attack or control the board?
  590.  
  591.  
  592. ==> competition/games/chess/queen.control.s <==
  593. Five queens are required to attack every square:
  594.  
  595.     1   2   3   4   5   6   7   8
  596.    ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
  597. h |   |   |   |   |   |   |   |   |
  598.    --- --- --- --- --- --- --- ---
  599. g |   |   |   | Q |   |   |   |   |
  600.    --- --- --- --- --- --- --- ---
  601. f |   |   |   | Q |   |   |   |   |
  602.    --- --- --- --- --- --- --- ---
  603. e |   |   |   | Q |   |   |   |   |
  604.    --- --- --- --- --- --- --- ---
  605. d |   |   |   | Q |   |   |   |   |
  606.    --- --- --- --- --- --- --- ---
  607. c |   |   |   |   |   |   |   |   |
  608.    --- --- --- --- --- --- --- ---
  609. b |   |   |   |   |   |   |   |   |
  610.    --- --- --- --- --- --- --- ---
  611. a |   |   |   | Q |   |   |   |   |
  612.    --- --- --- --- --- --- --- ---
  613.  
  614. There are other positions with five queens.
  615.  
  616. ==> competition/games/chess/queen.most.p <==
  617. How many non-mutually-attacking queens can be placed on various sized boards?
  618.  
  619. ==> competition/games/chess/queen.most.s <==
  620. On an regular chess board, at most eight queens of one color can be
  621. placed so that there are no mutual attacks.
  622.  
  623. Here is one configuration:
  624. -----------------
  625. |Q| | | | | | | |
  626. -----------------
  627. | | |Q| | | | | |
  628. -----------------
  629. | | | | |Q| | | |
  630. -----------------
  631. | | | | | | |Q| |
  632. -----------------
  633. | |Q| | | | | | |
  634. -----------------
  635. | | | | | | | |Q|
  636. -----------------
  637. | | | | | |Q| | |
  638. -----------------
  639. | | | |Q| | | | |
  640. -----------------
  641.  
  642. On an nxn board, if n is not divisible by 2 or 3, n^2 queens can be placed
  643. such that no two queens of the same color attack each other.
  644.  
  645. The proof is via a straightforward construction.  For n=1, the result
  646. is obviously true, so assume n>1 and n is not divisible by 2 or 3 (thus n>=5).
  647. Assume we are given n queens in each of these n "colors" (numbers):
  648.         0 1 2 ... n-1
  649.  
  650. The proof is by construction.  The construction is easier to see then to
  651. describe, we do both.  Here is what it looks like:
  652.  
  653.         0       1       2       3       4       ...     n-2     n-1
  654.         n-2     n-1     0       1       2       ...     n-4     n-3
  655.         n-4     n-3     n-2     n-1     0       ...     n-6     n-5
  656.         ...(move one row down => sub 2 (mod n); one col right => add 1 (mod
  657. n))
  658.         2       3       4       5       6       ...     0       1
  659.  
  660. People who know how a knight moves in chess will note the repetitive knight
  661. move theme connecting queens of the same color (especially after joining
  662. opposite edges of the board).
  663.  
  664. Now to describe this: place in each cell a queen whose "color" (number) is:
  665.         j - 2*i + 1 (mod n),
  666.         where i is the # of the row, and j is the # of the column.
  667.  
  668. Then no 2 queens of the same color are in the same:
  669.         row, column, or diagonal.
  670.  
  671. Actually, we will prove something stronger, namely that no 2 queens of the
  672. same color are on the same row, column, or "hyperdiagonal".  (The concept, if
  673. not the term, hyperdiagonal, goes back to 19th century.)  There are n
  674. hyperdiagonals of negative slope (one of them being a main diagonal) and n
  675. hyperdiagonals of positive slope (one of them being the other main diagonal).
  676. Definition:  for k in 0..n-1:
  677.         the k-th negative hyperdiagonal consists of cells (i,j),
  678.                 where i-j=k (mod n)
  679.         the k-th positive hyperdiagonal consists of cells (i,j),
  680.                 where i+j=k (mod n)
  681.         Then 0-th negative hyperdiagonal is simply the NW-SE main diagonal.
  682.         Then "1-th" positive hyperdiagonal is simply the SW-NE main diagonal.
  683.  
  684.         The other 2*(n-1) hyperdiagonals appear as 2 disconnected diagonal
  685.                 fragments of cells, but if you join opposite edges of an nxn
  686.                 board to each other, forming a sphere, these 2 fragments
  687.                 become linearly connected forming a great circle.
  688.  
  689. Now to the proof:
  690.   1) First note that the above color assignment does indeed uniquely define
  691. the
  692.         color of a queen in each of the n^2 cells.
  693.  
  694.   2) no row contains 2 queens of the same color:
  695.         cells (i, a) and (i, b) contain queens of the same color =>
  696.                 a-2i-1 = b-2i-1 (mod n) =>
  697.                 a      = b (mod n) =>
  698.                 a = b (since a,b are within 1..n)
  699.  
  700.   3) no column contains 2 queens of the same color:
  701.         cells (a, j) and (b, j) contain queens of the same color =>
  702.                 j-2a-1 = j-2b-1 (mod n) =>
  703.                 2a     = 2b (mod n) =>
  704.                 a      = b  (mod n)  (since n and 2 have no common factor) =>
  705.                 a = b (since a,b are within 1..n)
  706.  
  707.   4) no negative hyperdiagonal contains 2 queens of the same color:
  708.         cells (a, j) and (b, k) on the same negative hyperdiagonal contain
  709.             queens of the same color =>
  710.                 a-j    = b-k   (mod n) AND j-2a-1 = k-2b-1 (mod n) =>
  711.                 2a-2j  = 2b-2k (mod n) AND j-2a = k-2b (mod n) =>
  712.                 (adding corresponding sides:)
  713.                 -j     = -k (mod n) =>
  714.                 j = k.
  715.             And thus a = b, as well (see first equality, 5th line up)
  716.  
  717.   5) no positive hyperdiagonal contains 2 queens of the same color:
  718.         cells (a, j) and (b, k) on the same positive hyperdiagonal contain
  719.             queens of the same color =>
  720.                 a+j    = b+k   (mod n) AND j-2a-1 = k-2b-1 (mod n) =>
  721.                 2a+2j  = 2b+2k (mod n) AND j-2a = k-2b (mod n) =>
  722.                 (adding corresponding sides:)
  723.                 3j     = 3k (mod n) =>
  724.                 j      = k (mod n)  (since n and 3 have no common factor) =>
  725.                 j = k.  Likewise a = b.
  726.  
  727. As special cases with the 0th negative hyperdiagonal and 1st positive
  728. hyperdiagonal, no 2 queens on the same main diagonal are colored the same.
  729.  
  730. Now is this condition, than n be not divisible by 2 and 3 also *necessary*?
  731.  
  732. Mike Konrad
  733. mdk@sei.cmu.edu
  734.  
  735. ******
  736.  
  737.  . . . o .  This is a solution for the 5-queen problem
  738.  o . . . .  at the torus. It has the 90 degree rotation symmetry.
  739.  . . o . .
  740.  . . . . o
  741.  . o . . .
  742.  
  743.  According to T. Klove, The modular n-queen problem II,
  744.               Discrete Math. 36 (1981) 33
  745.  it is unknown how to construct symmetric (90 rot) solutions for
  746.  n = 1 or 5 (mod 12) and n has prime factors = 3 (mod 4).
  747.  He solved the smallest cases 49 and 77.
  748.  Try the next cases 121 and 133 or find a general solution.
  749.  
  750. A further reference for modular or reflected queen problems is:
  751. Martin Gardner, Fractal Music, Hypercards and More ..., Freeman (1991)
  752.  
  753. ********
  754.  
  755. For the 3-D N-queens problem the answer is four, at (1,1,2), (1,3,3),
  756. (2,3,1), and (3,2,3).
  757.  
  758. You can't have more because with four, you must have at least two in
  759. at least one of the three horizontal slices of the cube.  For the
  760. two-or-more-queen slice you must solve the n-queens problem for a 3x3
  761. planar board, which allows you to place at most 2 queens, and one must
  762. be in a corner.  The two queens cover all but one spot in the adjacent
  763. slice, so if the two-queen slice is the middle one we're already
  764. limited to no more than 4 queens.  But if we put the 2-queen slice at
  765. the bottom or top, then the corner queen has line of sight to all
  766. corners of the opposite slice, so it can contain at most one queen,
  767. and so can the middle slice.
  768.  
  769. If they sit in a 4x4x4 cube, the maximum is 7.  Here is a sample.
  770.  
  771. 1. 4 4 3
  772. 2. 2 3 4
  773. 3. 1 2 2
  774. 4. 2 4 2
  775. 5. 3 2 1
  776. 6. 1 1 4
  777. 7. 3 1 3
  778.  
  779. If they sit in a 5x5x5 cube, the maximum is 13.  Here is a sample.
  780.  
  781. 1. 4 5 4
  782. 2. 3 5 1
  783. 3. 5 4 2
  784. 4. 3 1 2
  785. 5. 2 1 4
  786. 6. 2 5 5
  787. 7. 4 1 5
  788. 8. 1 5 2
  789. 9. 5 2 1
  790. 10. 2 3 1
  791. 11. 1 3 5
  792. 12. 1 1 1
  793. 13. 5 1 3
  794.  
  795. ==> competition/games/chess/queens.p <==
  796. How many ways can eight queens be placed so that they control the board?
  797.  
  798. ==> competition/games/chess/queens.s <==
  799. 92.  The following program uses a backtracking algorithm to count positions:
  800.  
  801. #include <stdio.h>
  802.  
  803. static int count = 0;
  804.  
  805. void try(int row, int left, int right) {
  806.    int poss, place;
  807.    if (row == 0xFF) ++count;
  808.    else {
  809.       poss = ~(row|left|right) & 0xFF;
  810.       while (poss != 0) {
  811.          place = poss & -poss;
  812.          try(row|place, (left|place)<<1, (right|place)>>1);
  813.          poss &= ~place;
  814.          }
  815.       }
  816.    }
  817.  
  818. void main() {
  819.    try(0,0,0);
  820.    printf("There are %d solutions.\n", count);
  821.    }
  822. --
  823. Tony Lezard IS tony@mantis.co.uk OR tony%mantis.co.uk@uknet.ac.uk
  824. OR EVEN arl10@phx.cam.ac.uk if all else fails.
  825.  
  826. ==> competition/games/chess/rook.paths.p <==
  827. How many non-overlapping paths can a rook take from one corner to the opposite
  828. on an MxN chess board?
  829.  
  830. ==> competition/games/chess/rook.paths.s <==
  831. For a 1 x 1 chessboard, there are 1 unique paths.
  832. For a 1 x 2 chessboard, there are 1 unique paths.
  833. For a 1 x 3 chessboard, there are 1 unique paths.
  834. For a 1 x 4 chessboard, there are 1 unique paths.
  835. For a 1 x 5 chessboard, there are 1 unique paths.
  836. For a 1 x 6 chessboard, there are 1 unique paths.
  837. For a 1 x 7 chessboard, there are 1 unique paths.
  838. For a 1 x 8 chessboard, there are 1 unique paths.
  839. For a 2 x 2 chessboard, there are 2 unique paths.
  840. For a 2 x 3 chessboard, there are 4 unique paths.
  841. For a 2 x 4 chessboard, there are 8 unique paths.
  842. For a 2 x 5 chessboard, there are 16 unique paths.
  843. For a 2 x 6 chessboard, there are 32 unique paths.
  844. For a 2 x 7 chessboard, there are 64 unique paths.
  845. For a 2 x 8 chessboard, there are 128 unique paths.
  846. For a 3 x 3 chessboard, there are 12 unique paths.
  847. For a 3 x 4 chessboard, there are 38 unique paths.
  848. For a 3 x 5 chessboard, there are 125 unique paths.
  849. For a 3 x 6 chessboard, there are 414 unique paths.
  850. For a 3 x 7 chessboard, there are 1369 unique paths.
  851. For a 3 x 8 chessboard, there are 4522 unique paths.
  852. For a 4 x 4 chessboard, there are 184 unique paths.
  853. For a 4 x 5 chessboard, there are 976 unique paths.
  854. For a 4 x 6 chessboard, there are 5382 unique paths.
  855. For a 4 x 7 chessboard, there are 29739 unique paths.
  856. For a 4 x 8 chessboard, there are 163496 unique paths.
  857. For a 5 x 5 chessboard, there are 8512 unique paths.
  858. For a 5 x 6 chessboard, there are 79384 unique paths.
  859. For a 5 x 7 chessboard, there are 752061 unique paths.
  860.  
  861. /***********************
  862.  * RookPaths.c
  863.  * By: David Blume
  864.  * dcb@wdl1.wdl.loral.com (Predecrement David)
  865.  *
  866.  * How many unique ways can a rook move from the bottom left corner
  867.  * of a m * n chess board to the top right right?
  868.  *
  869.  * Contraints: The rook may not passover a square it has already visited.
  870.  *             What if we don't allow Down & Left moves? (much easier)
  871.  *
  872.  * This software is provided *as is.*  It is not guaranteed to work on
  873.  * any platform at any time anywhere. :-)  Enjoy.
  874.  ***********************/
  875.  
  876. #include <stdio.h>
  877.  
  878. #define kColumns 8                      /* The maximum number of columns */
  879. #define kRows    8                      /* The maximum number of rows */
  880.  
  881. /* The following rule is for you to play with. */
  882. #define kAllowDownLeft          /* Whether or not to allow the rook to move D
  883. o
  884. r L */
  885.  
  886. /* Visual feedback defines... */
  887. #undef kShowTraversals          /* Whether or nor to show each successful
  888. graph
  889.  */
  890. #define kListResults            /* Whether or not to list each n * m result */
  891. #define kShowMatrix                     /* Display the final results in a
  892. matri
  893. x? */
  894.  
  895. char gmatrix[kColumns][kRows];                          /* the working matrix
  896. *
  897. /
  898. long result[kColumns][kRows];                           /* the result array */
  899.  
  900. /*********************
  901.  * traverse
  902.  *
  903.  * This is the recursive function
  904.  *********************/
  905. traverse (short c, short r, short i, short j )
  906. {
  907.  
  908.         /* made it to the top left! increase result, retract move, and return
  909. *
  910. /
  911.         if (i == c && j == r) {
  912.  
  913. #ifdef kShowTraversals
  914.                 short ti, tj;
  915.                 gmatrix[i][j] = 5;
  916.                 for (ti = c; ti >= 0; ti--) {
  917.                         for (tj = 0; tj <= r; tj++) {
  918.                                 if (gmatrix[ti][tj] == 0)
  919.                                         printf(". ");
  920.                                 else if (gmatrix[ti][tj] == 1)
  921.                                         printf("D ");
  922.                                 else if (gmatrix[ti][tj] == 2)
  923.                                         printf("R ");
  924.                                 else if (gmatrix[ti][tj] == 3)
  925.                                         printf("L ");
  926.                                 else if (gmatrix[ti][tj] == 4)
  927.                                         printf("U ");
  928.                                 else if (gmatrix[ti][tj] == 5)
  929.                                         printf("* ");
  930.                                 }
  931.                         printf("\n");
  932.                         }
  933.                 printf("\n");
  934. #endif
  935.  
  936.                 result[i][j] = result[i][j] + 1;
  937.                 gmatrix[i][j] = 0;
  938.                 return;
  939.                 }
  940.  
  941.         /* try to move, left up down right */
  942. #ifdef kAllowDownLeft
  943.         if (i != 0 && gmatrix[i-1][j] == 0) {           /* left turn */
  944.                 gmatrix[i][j] = 1;
  945.                 traverse(c, r, i-1, j);
  946.                 }
  947. #endif
  948.         if (j != r && gmatrix[i][j+1] == 0) {           /* turn up */
  949.                 gmatrix[i][j] = 2;
  950.                 traverse(c, r, i, j+1);
  951.                 }
  952. #ifdef kAllowDownLeft
  953.         if (j != 0 && gmatrix[i][j-1] == 0) {           /* turn down */
  954.                 gmatrix[i][j] = 3;
  955.                 traverse(c, r, i, j-1);
  956.                 }
  957. #endif
  958.         if (i != c && gmatrix[i+1][j] == 0) {           /* turn right */
  959.                 gmatrix[i][j] = 4;
  960.                 traverse(c, r, i+1, j);
  961.                 }
  962.  
  963.         /* remove the marking on this square */
  964.         gmatrix[i][j] = 0;
  965.  
  966. }
  967.  
  968. main()
  969. {
  970.         short i, j;
  971.  
  972.         /* initialize the matrix to 0 */
  973.         for (i = 0; i < kColumns; i++) {
  974.                 for (j = 0; j < kRows; j++) {
  975.                         gmatrix[i][j] = 0;
  976.                         }
  977.                 }
  978.  
  979.         /* call the recursive function */
  980.         for (i = 0; i < kColumns; i++) {
  981.                 for (j = 0; j < kRows; j++) {
  982.                         if (j >= i) {
  983.                                 result[i][j] = 0;
  984.                                 traverse (i, j, 0, 0);
  985. #ifdef kListResults
  986.                                 printf("For a %d x %d chessboard, there are %d
  987.  
  988. unique paths.\n",
  989.                                                 i+1, j+1, result[i][j]);
  990. fflush
  991. (stdout);
  992. #endif
  993.                                 }
  994.                         }
  995.                 }
  996.         /* print out the results */
  997. #ifdef kShowMatrix
  998.         printf("\n");
  999.         for (i = 0; i < kColumns; i++) {
  1000.                 for (j = 0; j < kRows; j++) {
  1001.                         short min = (i < j) ? i : j ;
  1002.                         short max = (i < j) ? j : i ;
  1003.                         printf("%6d", result[min][max]);
  1004.                         }
  1005.                 printf("\n");
  1006.                 }
  1007. #endif
  1008. }
  1009.  
  1010. ==> competition/games/chess/size.of.game.tree.p <==
  1011. How many different positions are there in the game tree of chess?
  1012.  
  1013. ==> competition/games/chess/size.of.game.tree.s <==
  1014. Consider the following assignment of bit strings to square states:
  1015.  
  1016.         Square State            Bit String
  1017.         ------ -----            --- ------
  1018.  
  1019.         Empty                   0
  1020.         White Pawn              100
  1021.         Black Pawn              101
  1022.         White Rook              11111
  1023.         Black Rook              11110
  1024.         White Knight            11101
  1025.         Black Knight            11100
  1026.         White Bishop            11011
  1027.         Black Bishop            11010
  1028.         White Queen             110011
  1029.         Black Queen             110010
  1030.         White King              110001
  1031.         Black King              110000
  1032.  
  1033. Record a position by listing the bit string for each of the 64 squares.
  1034. For a position with all the pieces still on the board, this will take
  1035. 164 bits.  As pieces are captured, the number of bits needed goes down.
  1036. As pawns promote, the number of bits go up.  For positions where a King
  1037. and Rook are in position to castle if castling is legal, we will need
  1038. a bit to indicate if in fact castling is legal.  Same for positions
  1039. where an en-passant capture may be possible.  I'm going to ignore these
  1040. on the grounds that a more clever encoding of a position than the one
  1041. that I am proposing could probably save as many bits as I need for these
  1042. considerations, and thus conjecture that 164 bits is enough to encode a
  1043. chess position.
  1044.  
  1045. This gives an upper bound of 2^164 positions, or 2.3x10^49 positions.
  1046.  
  1047. Jurg Nievergelt, of ETH Zurich, quoted the number 2^70 (or about 10^21) in
  1048. e-mail, and referred to his paper "Information content of chess positions",
  1049. ACM SIGART Newsletter 62, 13-14, April 1977, to be reprinted in "Machine
  1050. Intelligence" (ed Michie), to appear 1990.
  1051.  
  1052. Note that this latest estimate, 10^21, is not too intractable:
  1053. 10^7 computers running at 10^7 positions per second could scan those
  1054. in 10^7 seconds, which is less than 6 months.
  1055.  
  1056. In fact, suppose there is a winning strategy in chess for white.
  1057. Suppose further that the strategy starts from a strong book opening,
  1058. proceeds through middle game with only moves that Deep Thought (DT)
  1059. would pick using the singular extension technique, and finally ends in
  1060. an endgame that DT can analyze completely.  The book opening might take
  1061. you ten moves into the game and DT has demonstrated its ability to
  1062. analyze mates-in-20, so how many nodes would DT really have to visit?
  1063. I suggest that by using external storage such a optical WORM memory,
  1064. you could easily build up a transposition table for such a midgame.  If
  1065. DT did not find a mate, you could progressively expand the width of the
  1066. search window and add to the table until it did.  Of course there would
  1067. be no guarantee of success, but the table built would be useful
  1068. regardless.  Also, you could change the book opening and add to the
  1069. table.  This project could continue indefinitely until finally it must
  1070. solve the game (possibly using denser and denser storage media as
  1071. technology advances).
  1072.  
  1073. What do you think?
  1074.  
  1075. -------
  1076.  
  1077. I think you are a little bit too optimistic about the feasibility.  Solving
  1078. mate-in-19 when the moves are forcing is one thing, but solving mate-in-19
  1079. when the moves are not forcing is another.  Of course, human beings are no
  1080. better at the latter task.  But to solve the game in the way you described
  1081. would seem to require the ability to handle the latter task.  Anyway, we
  1082. cannot really think about doing the sort of thing you described; DT is just a
  1083. poor man's chess machine project (relatively speaking).
  1084.                                                 --Hsu
  1085.  
  1086. i dont think that you understand the numbers involved.
  1087. the size of the tree is still VERY large compared to all
  1088. the advances that you cite. (speed of DT, size of worms,
  1089. endgame projects, etc) even starting a project will probably
  1090. be a waste of time since the next advance will overtake it
  1091. rather than augment it. (if you start on a journey to the
  1092. stars today, you will be met there by humans)
  1093. ken
  1094.  
  1095. ==> competition/games/cigarettes.p <==
  1096. The game of cigarettes is played as follows:
  1097. Two players take turns placing a cigarette on a circular table.  The
  1098. cigarettes
  1099. can be placed upright (on end) or lying flat, but not so that it touches any
  1100. other cigarette on the table.  This continues until one person loses by not
  1101. having a valid position on the table to place a cigarette.
  1102.  
  1103. Is there a way for either of the players to guarantee a win?
  1104.  
  1105. ==> competition/games/cigarettes.s <==
  1106. The first person wins by placing a cigarette at the center of the table,
  1107. and then placing each of his cigarettes in a position symmetric (with
  1108. respect to the center) to the place the second player just moved.  If the
  1109. second player could move, then symmetrically, so can the first player.
  1110.  
  1111. ==> competition/games/connect.four.p <==
  1112. Is there a winning strategy for Connect Four?
  1113.  
  1114. ==> competition/games/connect.four.s <==
  1115. An AI program has solved Connect Four for the standard 7 x 6 board.
  1116. The conclusion: White wins, was confirmed by the brute force check made by
  1117. James D. Allen, which has been published in rec.games.programmer.
  1118.  
  1119. The program called VICTOR consists of a pure knowledge-based evaluation
  1120. function which can give three values to a position:
  1121.  1 won by white,
  1122.  0 still unclear.
  1123. -1 at least a draw for Black,
  1124.  
  1125. This evaluation function is based on 9 strategic rules concerning the game,
  1126. which all nine have been (mathematically) proven to be correct.
  1127. This means that a claim made about the game-theoretical value of a position
  1128. by VICTOR, is correct, although no search tree is built.
  1129. If the result 1 or -1 is given, the program outputs a set of rules applied,
  1130. indicating the way the result can be achieved.
  1131. This way one evaluation can be used to play the game to the end without any
  1132. extra calculation (unless the position was still unclear, of course).
  1133.  
  1134. Using the evaluation function alone, it has been shown that Black can at least
  1135. draw the game on any 6 x (2n) board. VICTOR found an easy strategy for
  1136. these boardsizes, which can be taught to anyone within 5 minutes.
  1137. Nevertheless,
  1138. this strategy had not been encountered before by any humans, as far as I know.
  1139.  
  1140. For 7 x (2n) boards a similar strategy was found, in case White does not
  1141. start the game in the middle column. In these cases Black can therefore at
  1142. least draw the game.
  1143.  
  1144. Furthermore, VICTOR needed only to check a few dozen positions to show
  1145. that Black can at least draw the game on the 7 x 4 board.
  1146.  
  1147. Evaluation of a position on a 7 x 4 or 7 x 6 board costs between 0.01 and 10
  1148. CPU seconds on a Sun4.
  1149.  
  1150. For the 7 x 6 board too many positions were unclear. For that reason a
  1151. combination of Conspiracy-Number Search and Depth First Search was used
  1152. to determine the game-theoretical value. This took several hundreds of hours
  1153. on a Sun4.
  1154.  
  1155. The main reason for the large amount of search needed, was the fact that in
  1156. many variations, the win for White was very difficult to achieve.
  1157. This caused many positions to be unclear for the evaluation function.
  1158.  
  1159. Using the results of the search, a database will be constructed
  1160. of roughly 500.000 positions with their game-theoretical value.
  1161. Using this datebase, VICTOR can play against humans or other programs,
  1162. winning all the time (playing White).  The average move takes less
  1163. than a second of calculation (search in the database or evaluation
  1164. of the position by the evaluation function).
  1165.  
  1166. Some variations are given below (columns and rows are numbered as is customary
  1167. in chess):
  1168.  
  1169. 1. d1, ..  The only winning move.
  1170.  
  1171. After 1. .., a1 wins 2. e1. Other second moves for White has not been
  1172. checked yet.
  1173. After 1. .., b1 wins 2. f1. Other second moves for White has not been
  1174. checked yet.
  1175. After 1. .., c1 wins 2. f1. Only 2 g1 has not been checked yet. All other
  1176. second moves for White give Black at least a draw.
  1177. After 1. .., d2 wins 2. d3. All other second moves for White give black
  1178. at least a draw.
  1179.  
  1180. A nice example of the difficulty White has to win:
  1181.  
  1182. 1. d1, d2
  1183. 2. d3, d4
  1184. 3. d5, b1
  1185. 4. b2!
  1186.  
  1187. The first three moves for White are forced, while alternatives at the
  1188. fourth moves of White are not checked yet.
  1189.  
  1190. A variation which took much time to check and eventually turned out
  1191. to be at least a draw for Black, was:
  1192.  
  1193. 1. d1, c1
  1194. 2. c2?, .. f1 wins, while c2 does not.
  1195. 2. .., c3 Only move which gives Black the draw.
  1196. 3. c4, .. White's best chance.
  1197. 3. .., g1!! Only 3 .., d2 has not been checked completely, while all
  1198.             other third moves for Black have been shown to lose.
  1199.  
  1200. The project has been described in my 'doctoraalscriptie' (Master thesis)
  1201. which has been supervised by Prof.Dr H.J. van den Herik of the
  1202. Rijksuniversiteit Limburg (The Netherlands).
  1203.  
  1204. I will give more details if requested.
  1205.  
  1206. Victor Allis.
  1207. Vrije Universiteit van Amsterdam.
  1208. The Netherlands.
  1209. victor@cs.vu.nl
  1210.  
  1211. ==> competition/games/craps.p <==
  1212. What are the odds in craps?
  1213.  
  1214. ==> competition/games/craps.s <==
  1215. The game of craps:
  1216. There is a person who rolls the two dice, and then there is the house.
  1217. 1) On the first roll, if a 7 or 11 comes up, the roller wins.
  1218.    If a 2, 3, or 12 comes up the house wins.
  1219.    Anything else is a POINT, and more rolling is necessary, as per rule 2.
  1220. 2) If a POINT appears on the first roll, keep rolling the dice.
  1221.    At each roll, if the POINT appears again, the roller wins.
  1222.    At each roll, if a 7 comes up, the house wins.
  1223.    Keep rolling until the POINT or a 7 comes up.
  1224.  
  1225. Then there are the players, and they are allowed to place their bets with
  1226. either the roller or with the house.
  1227.  
  1228. -----
  1229. My computations:
  1230.  
  1231.  
  1232.  
  1233.  
  1234.  
  1235. On the first roll, P.roller.trial(1) = 2/9, and P.house.trial(1) = 1/9.
  1236. Let  P(x) stand for the probability of a 4,5,6,8,9,10 appearing.
  1237. Then on the second and onwards rolls, the probability is:
  1238.  
  1239. Roller:
  1240.                          ---                        (i - 2)
  1241. P.roller.trial(i) =      \   P(x)   *   ((5/6 - P(x))         *   P(x)
  1242. (i > 1)                  /
  1243.                          ---
  1244.                          x = 4,5,6,8,9,10
  1245.  
  1246. House:
  1247.                         ---                        (i - 2)
  1248. P.house.trial(i) =      \   P(x)   *   ((5/6 - P(x))         *   1/6
  1249. (i > 1)                 /
  1250.                         ---
  1251.                         x = 4,5,6,8,9,10
  1252.  
  1253. Reasoning (roller): For the roller to win on the ith trial, a POINT
  1254. should have appeared on the first trial (the first P(x) term), and the
  1255. same POINT should appear on the ith trial (the last P(x) term). All the in
  1256. between trials should come up with a number other than 7 or the POINT
  1257. (hence the (5/6 - P(x)) term).
  1258. Similar reasoning holds for the house.
  1259.  
  1260. The numbers are:
  1261. P.roller.trial(i) (i > 1) =
  1262.  
  1263.                 (i-1)                 (i-1)                     (i-1)
  1264.  1/72 * (27/36)      + 2/81 * (26/36)        + 25/648 * (25/36)
  1265.  
  1266.  
  1267. P.house.trial(i) (i > 1) =
  1268.  
  1269.                 (i-1)                 (i-1)                     (i-1)
  1270.  2/72 * (27/36)      + 3/81 * (26/36)        + 30/648 * (25/36)
  1271.  
  1272.  
  1273. -------------------------------------------------
  1274. The total probability comes to:
  1275. P.roller = 2/9   +   (1/18 + 4/45 + 25/198)  = 0.4929292929292929..
  1276. P.house  = 1/9   +   (1/9  + 2/15 + 15/99)  =  0.5070707070707070..
  1277.  
  1278. which is not even.
  1279. ===========================================================================
  1280.  
  1281. ==
  1282. Avinash Chopde                           (with standard disclaimer)
  1283. abc@unhcs.unh.edu, abc@unh.unh.edu            {.....}!uunet!unh!abc
  1284.  
  1285. ==> competition/games/crosswords.p <==
  1286. Are there programs to make crosswords?  What are the rules for cluing cryptic
  1287. crosswords?  Is there an on-line competition for cryptic cluers?
  1288.  
  1289. ==> competition/games/crosswords.s <==
  1290. You need to read the rec.puzzles.crosswords FAQL.
  1291.  
  1292. ==> competition/games/cube.p <==
  1293. What are some games involving cubes?
  1294.  
  1295. ==> competition/games/cube.s <==
  1296. Johan Myrberger's list of 3x3x3 cube puzzles (version 930222)
  1297.  
  1298. Comments, corrections and contributions are welcome!
  1299.  
  1300. MAIL: myrberger@e.kth.se
  1301.  
  1302. Snailmail: Johan Myrberger
  1303.            Hokens gata 8 B
  1304.            S-116 46 STOCKHOLM
  1305.            SWEDEN
  1306.  
  1307. A: Block puzzles
  1308.  
  1309.  
  1310. A.1 The Soma Cube
  1311.  
  1312.  
  1313.  ______                   ______       ______               ______
  1314. |\     \                 |\     \     |\     \             |\     \
  1315. | \_____\                | \_____\    | \_____\            | \_____\
  1316. | |     |____       _____| |     |    | |     |____        | |     |____
  1317. |\|     |    \     |\     \|     |    |\|     |    \       |\|     |    \
  1318. | *_____|_____\    | \_____*_____|    | *_____|_____\      | *_____|_____\
  1319. | |\     \    |    | |\     \    |    | |     |\     \     | |     |     |
  1320.  \| \_____\   |     \| \_____\   |     \|     | \_____\     \|     |     |
  1321.   * |     |___|      * |     |___|      *_____| |     |      *_____|_____|
  1322.    \|     |           \|     |                 \|     |
  1323.     *_____|            *_____|                  *_____|
  1324.  
  1325.  ______                             ______                      ____________
  1326. |\     \                           |\     \                    |\     \     \
  1327. | \_____\                          | \_____\                   | \_____\_____\
  1328. | |     |__________           _____| |     |____          _____| |     |     |
  1329. |\|     |    \     \         |\     \|     |    \        |\     \|     |     |
  1330. | *_____|_____\_____\        | \_____*_____|_____\       | \_____*_____|_____|
  1331. | |     |     |     |        | |     |     |     |       | |     |     |
  1332.  \|     |     |     |         \|     |     |     |        \|     |     |
  1333.   *_____|_____|_____|          *_____|_____|_____|         *_____|_____|
  1334.  
  1335.  
  1336. A.2 Half Hour Puzzle
  1337.  
  1338.  
  1339.  ______                        ______            ______
  1340. |\     \                      |\     \          |\     \
  1341. | \_____\                     | \_____\         | \_____\
  1342. | |     |__________      _____| |     |____     | |     |__________
  1343. |\|     |    \     \    |\     \|     |    \    |\|     |    \     \
  1344. | *_____|_____\_____\   | \_____*_____|_____\   | *_____|_____\_____\
  1345. | |     |     |     |   | |     |     |     |   | |     |\     \    |
  1346.  \|     |     |     |    \|     |     |     |    \|     | \_____\   |
  1347.   *_____|_____|_____|     *_____|_____|_____|     *_____| |     |___|
  1348.                                                          \|     |
  1349.                                                           *_____|
  1350.  
  1351.        ______            ______                    ______
  1352.       |\     \          |\     \                  |\     \
  1353.       | \_____\         | \_____\                 | \_____\
  1354.  _____| |     |    _____| |     |                 | |     |
  1355. |\     \|     |   |\     \|     |                 |\|     |
  1356. | \_____*_____|   | \_____*_____|______        ___|_*_____|______
  1357. | |\     \    |   | |     |\     \     \      |\     \     \     \
  1358.  \| \_____\   |    \|     | \_____\_____\     | \_____\_____\_____\
  1359.   * |     |___|     *_____| |     |     |     | |     |     |     |
  1360.    \|     |                \|     |     |      \|     |     |     |
  1361.     *_____|                 *_____|_____|       *_____|_____|_____|
  1362.  
  1363.  
  1364. A.3 Steinhaus's dissected cube
  1365.  
  1366.  
  1367.  ______                            ______          ______
  1368. |\     \                          |\     \        |\     \
  1369. | \_____\                         | \_____\       | \_____\
  1370. | |     |__________          _____| |     |       | |     |____
  1371. |\|     |    \     \        |\     \|     |       |\|     |    \
  1372. | *_____|_____\_____\       | \_____*_____|       | *_____|_____\
  1373. | |     |     |     |       | |\     \    |       | |     |\     \
  1374.  \|     |     |     |        \| \_____\   |        \|     | \_____\
  1375.   *_____|_____|_____|         * |     |___|         *_____| |     |
  1376.                                \|     |                    \|     |
  1377.                                 *_____|                     *_____|
  1378.  
  1379.  ____________                          ______                    ______
  1380. |\     \     \                        |\     \                  |\     \
  1381. | \_____\_____\                       | \_____\                 | \_____\
  1382. | |     |     |                       | |     |      ___________| |     |
  1383.  \|     |     |                       |\|     |     |\     \     \|     |
  1384.   *_____|_____|______        _________|_*_____|     | \_____\_____*_____|
  1385.       \ |\     \     \      |\     \     \     \    | |     |\     \    |
  1386.        \| \_____\_____\     | \_____\_____\_____\    \|     | \_____\   |
  1387.         * |     |     |     | |     |     |     |     *_____| |     |___|
  1388.          \|     |     |      \|     |     |     |            \|     |
  1389.           *_____|_____|       *_____|_____|_____|             *_____|
  1390.  
  1391.  
  1392. A.4
  1393.  
  1394.  
  1395.  ______
  1396. |\     \
  1397. | \_____\
  1398. | |     |____              Nine of these make a 3x3x3 cube.
  1399. |\|     |    \
  1400. | *_____|_____\
  1401. | |     |     |
  1402.  \|     |     |
  1403.   *_____|_____|
  1404.  
  1405.  
  1406. A.5
  1407.  
  1408.  
  1409.                            ______                    ____________
  1410.                           |\     \                  |\     \     \
  1411.                           | \_____\                 | \_____\_____\
  1412.  ____________             | |     |____             | |     |     |
  1413. |\     \     \            |\|     |    \            |\|     |     |
  1414. | \_____\_____\           | *_____|_____\           | *_____|_____|
  1415. | |     |     |           | |     |     |           | |     |     |
  1416.  \|     |     |            \|     |     |            \|     |     |
  1417.   *_____|_____|             *_____|_____|             *_____|_____|
  1418.  
  1419.                            ______                    ______
  1420.                           |\     \                  |\     \
  1421.                           | \_____\                 | \_____\
  1422.  ______      ______       | |     |____             | |     |__________
  1423. |\     \    |\     \      |\|     |    \            |\|     |    \     \
  1424. | \_____\   | \_____\     | *_____|_____\           | *_____|_____\_____\
  1425. | |     |___| |     |     | |     |     |____       | |     |     |     |
  1426. |\|     |    \|     |     |\|     |     |    \      |\|     |     |     |
  1427. | *_____|_____*_____|     | *_____|_____|_____\     | *_____|_____|_____|
  1428. | |     |     |     |     | |     |     |     |     | |     |     |     |
  1429.  \|     |     |     |      \|     |     |     |      \|     |     |     |
  1430.   *_____|_____|_____|       *_____|_____|_____|       *_____|_____|_____|
  1431.  
  1432.  
  1433. A.6
  1434.  
  1435.  
  1436.  ______                   ______       ______               ______
  1437. |\     \                 |\     \     |\     \             |\     \
  1438. | \_____\                | \_____\    | \_____\            | \_____\
  1439. | |     |____       _____| |     |    | |     |____        | |     |____
  1440. |\|     |    \     |\     \|     |    |\|     |    \       |\|     |    \
  1441. | *_____|_____\    | \_____*_____|    | *_____|_____\      | *_____|_____\
  1442. | |\     \    |    | |\     \    |    | |     |\     \     | |     |     |
  1443.  \| \_____\   |     \| \_____\   |     \|     | \_____\     \|     |     |
  1444.   * |     |___|      * |     |___|      *_____| |     |      *_____|_____|
  1445.    \|     |           \|     |                 \|     |
  1446.     *_____|            *_____|                  *_____|
  1447.  
  1448.        ______                      ____________               ____________
  1449.       |\     \                    |\     \     \             |\     \     \
  1450.       | \_____\                   | \_____\_____\            | \_____\_____\
  1451.  _____| |     |____          _____| |     |     |       _____| |     |     |
  1452. |\     \|     |    \        |\     \|     |     |      |\     \|     |     |
  1453. | \_____*_____|_____\       | \_____*_____|_____|      | \_____*_____|_____|
  1454. | |     |     |     |       | |     |     |            | |     |     |
  1455.  \|     |     |     |        \|     |     |             \|     |     |
  1456.   *_____|_____|_____|         *_____|_____|              *_____|_____|
  1457.  
  1458.  
  1459. A.7
  1460.  
  1461.  
  1462.  ____________
  1463. |\     \     \
  1464. | \_____\_____\
  1465. | |     |     |
  1466. |\|     |     |  Six of these and three unit cubes make a 3x3x3 cube.
  1467. | *_____|_____|
  1468. | |     |     |
  1469.  \|     |     |
  1470.   *_____|_____|
  1471.  
  1472.  
  1473. A.8 Oskar's
  1474.  
  1475.  
  1476.        ____________            ______
  1477.       |\     \     \          |\     \
  1478.       | \_____\_____\         | \_____\
  1479.  _____| |     |     |         | |     |__________         __________________
  1480. |\     \|     |     |         |\|     |    \     \       |\     \     \     \
  1481. | \_____*_____|_____|  x 5    | *_____|_____\_____\      | *_____\_____\_____\
  1482. | |     |     |               | |     |     |     |      | |     |     |     |
  1483.  \|     |     |                \|     |     |     |       \|     |     |     |
  1484.   *_____|_____|                 *_____|_____|_____|        *_____|_____|_____|
  1485.  
  1486.  
  1487. A.9 Trikub
  1488.  
  1489.  
  1490.  ____________         ______                           ______
  1491. |\     \     \       |\     \                         |\     \
  1492. | \_____\_____\      | \_____\                        | \_____\
  1493. | |     |     |      | |     |__________         _____| |     |____
  1494. |\|     |     |      |\|     |    \     \       |\     \|     |    \
  1495. | *_____|_____|      | *_____|_____\_____\      | \_____*_____|_____\
  1496. | |     |     |      | |     |     |     |      | |     |     |     |
  1497.  \|     |     |       \|     |     |     |       \|     |     |     |
  1498.   *_____|_____|        *_____|_____|_____|        *_____|_____|_____|
  1499.  
  1500.  ______               ______                       ____________
  1501. |\     \             |\     \                     |\     \     \
  1502. | \_____\            | \_____\                    | \_____\_____\
  1503. | |     |____        | |     |____           _____| |     |     |
  1504. |\|     |    \       |\|     |    \         |\     \|     |     |
  1505. | *_____|_____\      | *_____|_____\        | \_____*_____|_____|
  1506. | |\     \    |      | |     |\     \       | |     |     |
  1507.  \| \_____\   |       \|     | \_____\       \|     |     |
  1508.   * |     |___|        *_____| |     |        *_____|_____|
  1509.    \|     |                   \|     |
  1510.     *_____|                    *_____|
  1511.  
  1512. and three single cubes in a different colour.
  1513.  
  1514. The object is to build 3x3x3 cubes with the three single cubes in various
  1515. positions.
  1516.  
  1517. E.g: * * *  as center    * * *  as edge    * *(3)  as          * *(2) as
  1518.      * S *               * * *             *(2)*   space       *(2)*  center
  1519.      * * *               * * S            (1)* *   diagonal   (2)* *  diagonal
  1520.  
  1521. (The other two variations with the single cubes in a row are impossible)
  1522.  
  1523.  
  1524. A.10
  1525.  
  1526.  
  1527.        ______         ______                     ______
  1528.       |\     \       |\     \                   |\     \
  1529.       | \_____\      | \_____\                  | \_____\
  1530.  _____| |     |      | |     |____              | |     |____
  1531. |\     \|     |      |\|     |    \             |\|     |    \
  1532. | \_____*_____|      | *_____|_____\         ___|_*_____|_____\
  1533. | |\     \    |      | |     |\     \       |\     \     \    |
  1534.  \| \_____\   |       \|     | \_____\      | \_____\_____\   |
  1535.   * |     |___|        *_____| |     |      | |     |     |___|
  1536.    \|     |                   \|     |       \|     |     |
  1537.     *_____|                    *_____|        *_____|_____|
  1538.  
  1539.  
  1540.  ______                           ______               ______
  1541. |\     \                         |\     \             |\     \
  1542. | \_____\                        | \_____\            | \_____\
  1543. | |     |__________         _____| |     |____        | |     |____
  1544. |\|     |    \     \       |\     \|     |    \       |\|     |    \
  1545. | *_____|_____\_____\      | \_____*_____|_____\      | *_____|_____\______
  1546. | |\     \    |     |      | |     |     |     |      | |     |\     \     \
  1547.  \| \_____\   |     |       \|     |     |     |       \|     | \_____\_____\
  1548.   * |     |___|_____|        *_____|_____|_____|        *_____| |     |     |
  1549.    \|     |                                                    \|     |     |
  1550.     *_____|                                                     *_____|_____|
  1551.  
  1552.  
  1553. B: Coloured blocks puzzles
  1554.  
  1555.  
  1556. B.1 Kolor Kraze
  1557.  
  1558. Thirteen pieces.
  1559. Each subcube is coloured with one of nine colours as shown below.
  1560.  
  1561. The object is to form a cube with nine colours on each face.
  1562.  
  1563.  
  1564.  ______
  1565. |\     \
  1566. | \_____\
  1567. | |     |   ______     ______     ______     ______     ______     ______
  1568. |\|  1  |  |\     \   |\     \   |\     \   |\     \   |\     \   |\     \
  1569. | *_____|  | \_____\  | \_____\  | \_____\  | \_____\  | \_____\  | \_____\
  1570. | |     |  | |     |  | |     |  | |     |  | |     |  | |     |  | |     |
  1571. |\|  2  |  |\|  2  |  |\|  2  |  |\|  4  |  |\|  4  |  |\|  7  |  |\|  9  |
  1572. | *_____|  | *_____|  | *_____|  | *_____|  | *_____|  | *_____|  | *_____|
  1573. | |     |  | |     |  | |     |  | |     |  | |     |  | |     |  | |     |
  1574.  \|  3  |   \|  3  |   \|  1  |   \|  1  |   \|  5  |   \|  5  |   \|  5  |
  1575.   *_____|    *_____|    *_____|    *_____|    *_____|    *_____|    *_____|
  1576.  
  1577.  
  1578.  ______     ______     ______     ______     ______     ______
  1579. |\     \   |\     \   |\     \   |\     \   |\     \   |\     \
  1580. | \_____\  | \_____\  | \_____\  | \_____\  | \_____\  | \_____\
  1581. | |     |  | |     |  | |     |  | |     |  | |     |  | |     |
  1582. |\|  9  |  |\|  9  |  |\|  3  |  |\|  6  |  |\|  6  |  |\|  6  |
  1583. | *_____|  | *_____|  | *_____|  | *_____|  | *_____|  | *_____|
  1584. | |     |  | |     |  | |     |  | |     |  | |     |  | |     |
  1585.  \|  7  |   \|  8  |   \|  8  |   \|  8  |   \|  7  |   \|  4  |
  1586.   *_____|    *_____|    *_____|    *_____|    *_____|    *_____|
  1587.  
  1588.  
  1589. B.2
  1590.  
  1591. Given nine red, nine blue and nine yellow cubes.
  1592.  
  1593. Form a 3x3x3 cube in which all three colours appears in each of the 27
  1594. orthogonal rows.
  1595.  
  1596.  
  1597. B.3
  1598.  
  1599. Given nine red, nine blue and nine yellow cubes.
  1600.  
  1601. Form a 3x3x3 cube so that every row of three (the 27 orthogonal rows, the 18
  1602. diagonal rows on the nine square cross-sections and the 4 space diagonals)
  1603. contains neither three cubes of like colour nor three of three different
  1604. colours.
  1605.  
  1606.  
  1607. B.4
  1608.  
  1609. Nine pieces, three of each type.
  1610. Each subcube is coloured with one of three colours as shown below.
  1611.  
  1612. The object is to build a 3x3x3 cube in which all three colours appears in each
  1613. of the 27 orthogonal rows. (As in B.2)
  1614.  
  1615.  
  1616.  ______                     ______                     ______
  1617. |\     \                   |\     \                   |\     \
  1618. | \_____\                  | \_____\                  | \_____\
  1619. | |     |____              | |     |____              | |     |____
  1620. |\|  A  |    \   x 3       |\|  B  |    \   x 3       |\|  A  |    \   x 3
  1621. | *_____|_____\            | *_____|_____\            | *_____|_____\
  1622. | |     |     |            | |     |     |            | |     |     |
  1623.  \|  B  |  C  |             \|  A  |  C  |             \|  C  |  B  |
  1624.   *_____|_____|              *_____|_____|              *_____|_____|
  1625.  
  1626.  
  1627. C: Strings of cubes
  1628.  
  1629.  
  1630. C.1 Pululahua's dice
  1631.  
  1632. 27 cubes are joined by an elastic thread through the centers of the cubes
  1633. as shown below.
  1634.  
  1635. The object is to fold the structure to a 3x3x3 cube.
  1636.  
  1637.  
  1638.  ____________________________________
  1639. |\     \     \     \     \     \     \
  1640. | \_____\_____\_____\_____\_____\_____\
  1641. | |     |     |     |     |     |     |
  1642. |\|  :77|77777|77:  |  :77|77777|77:  |
  1643. | *__:__|_____|__:__|__:__|_____|__:__|
  1644. | |  :  |___| |  :  |  :  |___| |  :  |
  1645. |\|  :  |    \|  777|777  |    \|  :  |
  1646. | *__:__|_____*_____|_____|_____*__:__|
  1647. | |  :  |     |     |___| |     |  :  |____
  1648.  \|  777|77777|77:  |    \|  :77|777  |    \
  1649.   *_____|_____|__:__|_____*__:__|_____|_____\
  1650.             | |  :  |     |  :  |     |     |
  1651.             |\|  :  |  +  |  777|77777|77:  |
  1652.             | *__:__|__:__|_____|_____|__:__|
  1653.             | |  :  |  :  |     |     |  :  |
  1654.              \|  +  |  :  |  :77|77777|777  |
  1655.               *_____|__:__|__:__|_____|_____|
  1656.                   | |  :  |  :  |
  1657.                    \|  777|777  |
  1658.                     *_____|_____|
  1659.  
  1660.  
  1661. C.1.X The C.1 puzzle type exploited by Glenn A. Iba (quoted)
  1662.  
  1663. INTRODUCTION
  1664.  
  1665. "Chain Cube" Puzzles consist of 27 unit cubies
  1666. with a string running sequentially through them.  The
  1667. string always enters and exits a cubie through the center
  1668. of a face.  The typical cubie has one entry and one exit
  1669. (the ends of the chain only have 1, since the string terminates
  1670. there).  There are two ways for the string to pass through
  1671. any single cubie:
  1672.         1. The string enters and exits non-adjacent faces
  1673.                 (i.e. passes straight through the cubie)
  1674.         2. It enters and exits through adjacent faces
  1675.                 (i.e. makes a "right angle" turn through
  1676.                  the cubie)
  1677. Thus a chain is defined by its sequence of straight steps and
  1678. right angle turns.  Reversing the sequence (of course) specifies
  1679. the same chain since the chain can be "read" starting from either
  1680. end. Before making a turn, it is possible to "pivot" the next
  1681. cubie to be placed, so there are (in general) 4 choices of
  1682. how to make a "Turn" in 3-space.
  1683.  
  1684. The object is to fold the chain into a 3x3x3 cube.
  1685.  
  1686. It is possible to prove that any solvable sequence must
  1687. have at least 2 straight steps.  [The smallest odd-dimensioned
  1688. box that can be packed by a chain of all Turns and no Straights
  1689. is 3x5x7. Not a 3x3x3 puzzle, but an interesting challenge.
  1690. The 5x5x5 can be done too, but its not the smallest in volume].
  1691. With the aid of a computer search program I've produced
  1692. a catalog of the number of solutions for all (solvable) sequences.
  1693.  
  1694. Here is an example sequence that has a unique solution (up to reflections
  1695. and rotations):
  1696.         (2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1)
  1697.     the notation is a kind of "run length" coding,
  1698.     where the chain takes the given number of steps in a straight line,
  1699.     then make a right-angle turn. Equivalently, replace
  1700.         1 by Turn,
  1701.         2 by Straight followed by a Turn.
  1702. The above sequence was actually a physical puzzle I saw at
  1703. Roy's house, so I recorded the sequence, and verified (by hand and computer)
  1704. that the solution is unique.
  1705.  
  1706. There are always 26 steps in a chain, so the "sum" of the
  1707. 1's and 2's in a pattern will always be 26.  For purposes
  1708. of taxonomizing, the "level" of a string pattern is taken
  1709. to be the number of 2's occuring in its specification.
  1710.  
  1711.  
  1712.  
  1713. COUNTS OF SOLVABLE AND UNIQUELY SOLVABLE STRING PATTERNS
  1714.  
  1715.  (recall that Level refers to the number of 2's in the chain spec)
  1716.  
  1717.         Level           Solvable        Uniquely
  1718.                         Patterns        Solvable
  1719.  
  1720.           0                 0               0
  1721.           1                 0               0
  1722.           2                24               0
  1723.           3               235              15
  1724.           4              1037             144
  1725.           5              2563             589
  1726.           6              3444            1053
  1727.           7              2674            1078
  1728.           8              1159             556
  1729.           9               303             187
  1730.          10                46              34
  1731.          11                 2               2
  1732.          12                 0               0
  1733.          13                 0               0
  1734.                        _______          ______
  1735.  
  1736.       Total Patterns:   11487            3658
  1737.  
  1738.  
  1739. SOME SAMPLE UNIQUELY SOLVABLE CHAINS
  1740.  
  1741.   In the following the format is:
  1742.  
  1743.   ( #solutions  palindrome? #solutions-by-start-type  chain-pattern-as string
  1744. )
  1745.  
  1746.   where
  1747.  
  1748. #solutions is the total number of solutions up to reflections and rotations
  1749.  
  1750. palindrome? is T or NIL according to whether or not the chain is a palindrome
  1751.  
  1752. #solutions by-start-type lists the 3 separate counts for the number of
  1753. solutions starting the chain of in the 3 distinct possible ways.
  1754.  
  1755. chain-pattern-as-string is simply the chain sequence
  1756.  
  1757.   My intuition is that the lower level chains are harder to solve,
  1758.   because there are fewer straight steps, and staight steps are generally
  1759.   more constraining.  Another way to view this, is that there are more
  1760.   choices of pivoting for turns because there are more turns in the chains
  1761.   at lower levels.
  1762.  
  1763.   Here are the uniquely solvable chains for level 3:
  1764.  
  1765.      (note that non-palindrome chains only appear once --
  1766.         I picked a "canonical" ordering)
  1767.  
  1768. ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
  1769. ;;; Level 3 ( 3 straight steps) -- 15 uniquely solvable patterns
  1770. ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
  1771.  
  1772. (1 NIL (1 0 0) "21121111112111111111111")
  1773. (1 NIL (1 0 0) "21121111111111111121111")
  1774. (1 NIL (1 0 0) "21111112112111111111111")
  1775. (1 NIL (1 0 0) "21111111211111111111112")
  1776. (1 NIL (1 0 0) "12121111111111112111111")
  1777. (1 NIL (1 0 0) "11211211112111111111111")
  1778. (1 NIL (1 0 0) "11112121111111211111111")
  1779. (1 NIL (1 0 0) "11112112112111111111111")
  1780. (1 NIL (1 0 0) "11112112111111211111111")
  1781. (1 NIL (1 0 0) "11112111121121111111111")
  1782. (1 NIL (1 0 0) "11112111111211211111111")
  1783. (1 NIL (1 0 0) "11112111111112121111111")
  1784. (1 NIL (1 0 0) "11111121122111111111111")
  1785. (1 NIL (1 0 0) "11111112122111111111111")
  1786. (1 NIL (1 0 0) "11111111221121111111111")
  1787.  
  1788.  
  1789. C.2 Magic Interlocking Cube
  1790.  
  1791. (Glenn A. Iba quoted)
  1792.  
  1793. This chain problem is marketed as "Magic Interlocking Cube --
  1794. the Ultimate Cube Puzzle".  It has colored cubies, each cubie having
  1795. 6 distinctly colored faces (Red, Orange, Yellow, Green, Blue, and White).
  1796. The object is to fold the chain into a 3x3x3 cube with each face
  1797. being all one color (like a solved Rubik's cube).  The string for
  1798. the chain is actually a flexible rubber band, and enters a cubie
  1799. through a (straight) slot that cuts across 3 faces, and exits
  1800. through another slot that cuts the other 3 faces.  Here is a rough
  1801. attempt to picture a cubie:
  1802.  
  1803.    (the x's mark the slots cut for the rubber band to enter/exit)
  1804.  
  1805.                        __________
  1806.                       /         /|
  1807.                     xxxxxxxxxxx  |
  1808.                   /         / x  |
  1809.                 /_________/   x  |
  1810.                |          |   x  |
  1811.                |          |      |
  1812.                |          |      /
  1813.                |    x     |    /
  1814.                |    x     |  /
  1815.                |    x     |/
  1816.                -----x-----
  1817.  
  1818.  
  1819. Laid out flat the cubie faces would look like this:
  1820.  
  1821.                  _________
  1822.                 |         |
  1823.                 |         |
  1824.                 |    x    |
  1825.                 |    x    |
  1826.                 |____x____|_________ _________ _________
  1827.                 |    x    |         |         |         |
  1828.                 |    x    |         |         |         |
  1829.                 |    x    |    x x x x x x x x x x x    |
  1830.                 |    x    |         |         |         |
  1831.                 |____x____|_________|_________|_________|
  1832.                 |    x    |
  1833.                 |    x    |
  1834.                 |    x    |
  1835.                 |         |
  1836.                 |_________|
  1837.  
  1838. The structure of the slots gives 3 choices of entry face, and 3 choices
  1839. of exit face for each cube.
  1840.  
  1841. It's complicated to specify the topology and coloring but here goes:
  1842.  
  1843.   Imagine the chain stretched out in a straight line from left to right.
  1844.   Let the rubber band go straight through each cubie, entering and
  1845.   exiting in the "middle" of each slot.
  1846.  
  1847.   It turns out that the cubies are colored so that opposite faces are
  1848.   always colored by the following pairs:
  1849.         Red-Orange
  1850.         Yellow-White
  1851.         Green-Blue
  1852.   So I will specify only the Top, Front, and Left colors of each
  1853.   cubie in the chain. Then I'll specify the slot structure.
  1854.  
  1855.         Color sequences from left to right (colors are R,O,Y,G,B,and W):
  1856.            Top:      RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR
  1857.            Front:    YYYYYYYYYYYYWWWYYYYYYYYYYYY
  1858.            Left:     BBBBBGBBBGGGGGGGGGBBGGGGBBB
  1859.  
  1860.         For the slots, all the full cuts are hidden, so only
  1861.         the "half-slots" appear.
  1862.         Here is the sequence of "half slots" for the Top (Red) faces:
  1863.                 (again left to right)
  1864.  
  1865.            Slots:    ><><><><<><><<<><><>>>>><>>
  1866.                 Where
  1867.                         > = slot goes to left
  1868.                         < = slot goes to right
  1869.                 To be clearer,
  1870.                         > (Left):
  1871.                                  _______
  1872.                                 |       |
  1873.                                 |       |
  1874.                                 xxxxx   |
  1875.                                 |       |
  1876.                                 |_______|
  1877.  
  1878.                         < (Right):
  1879.                                  _______
  1880.                                 |       |
  1881.                                 |       |
  1882.                                 |   xxxxx
  1883.                                 |       |
  1884.                                 |_______|
  1885.  
  1886.                 Knowing one slot of a cubie determines all the other slots.
  1887.  
  1888. I don't remember whether the solution is unique.  In fact I'm not
  1889. certain whether I actually ever solved it.  I think I did, but I don't
  1890. have a clear recollection.
  1891.  
  1892.  
  1893. D: Blocks with pins
  1894.  
  1895.  
  1896. D.1 Holzwurm (Torsten Sillke quoted)
  1897.  
  1898.    Inventer: Dieter Matthes
  1899.    Distribution:
  1900.     Pyramo-Spiele-Puzzle
  1901.     Silvia Heinz
  1902.     Sendbuehl 1
  1903.     D-8351 Bernried
  1904.     tel: +49-9905-1613
  1905.  
  1906.    Pieces:  9 tricubes
  1907.       Each piece has one hole (H) which goes through the entire cube.
  1908.       The following puctures show the tricubes from above. The faces
  1909.       where you see a hole are marked with 'H'. If you see a hole at
  1910.       the top then there is a hole at the bottom too. Each peace has
  1911.       a worm (W) one one face. You have to match the holes and the
  1912.       worms. As a worm fills a hole completely, you can not put two
  1913.       worms at both ends of the hole of the same cube.
  1914.  
  1915.         __H__               _____               _____
  1916.        |     |             |     |             |     |
  1917.        |     |             |     |W            |     |
  1918.        |_____|_____        |_____|_____        |_____|_____
  1919.        |     |     |       |     |     |       |     |     |
  1920.        |     |     |W      |     |     |H      |  H  |     |W
  1921.        |_____|_____|       |_____|_____|       |_____|_____|
  1922.  
  1923.         __H__               _____               _____
  1924.        |     |             |     |             |     |
  1925.        |     |             |     |             |  W  |
  1926.        |_____|_____        |_____|_____        |_____|_____
  1927.        |     |     |       |     |     |       |     |     |
  1928.        |     |     |       |  W  |  H  |       |     |  H  |
  1929.        |_____|_____|       |_____|_____|       |_____|_____|
  1930.           W
  1931.  
  1932.         __W__               _____               _____
  1933.        |     |             |     |             |     |
  1934.        |     |            H|     |H            |     |
  1935.        |_____|_____        |_____|_____        |_____|_____
  1936.        |     |     |       |     |     |       |     |     |
  1937.        |     |  H  |       |     |     |      H|     |  W  |
  1938.        |_____|_____|       |_____|_____|       |_____|_____|
  1939.                               W
  1940.  
  1941.    Aim: build a 3*3*3 cube without a worm looking outside.
  1942.         take note, it is no matching problem, as
  1943.                  |     |
  1944.           worm> H|     |H <worm
  1945.                  |     |
  1946.         is not allowed.
  1947.  
  1948.  
  1949. E: Other
  1950.  
  1951.  
  1952. E.1 Rubik's cube
  1953.  
  1954.  
  1955. E.2 Magic cube
  1956.  
  1957. Make a magic cube with the numbers 1 - 27.
  1958.  
  1959.  
  1960. E.3 ==> geometry/coloring/cheese.cube.p <==
  1961.  
  1962. A cube of cheese is divided into 27 subcubes.  A mouse starts at one
  1963. corner and eats through every subcube.  Can it finish in the middle?
  1964.  
  1965. ==> geometry/coloring/cheese.cube.s <==
  1966. Give the subcubes a checkerboard-like coloring so that no two adjacent
  1967. subcubes have the same color.  If the corner subcubes are black, the
  1968. cube will have 14 black subcubes and 13 white ones.  The mouse always
  1969. alternates colors and so must end in a black subcube.  But the center
  1970. subcube is white, so the mouse can't end there.
  1971.  
  1972.  
  1973. E.4
  1974.  
  1975. Cut the 3*3*3 cube into single cubes. At each slice you can
  1976. rearrange the blocks. Can you do it with fewer than 6 cuts?
  1977.  
  1978. ==> competition/games/go-moku.p <==
  1979. For a game of k in a row on an n x n board,  for what values of k and n is
  1980. there a win?  Is (the largest such) k eventually constant or does it increase
  1981. with n?
  1982.  
  1983. ==> competition/games/go-moku.s <==
  1984. Berlekamp, Conway, and Guy's _Winning_Ways_ reports proof that the
  1985. maximum k is between 4 and 7 inclusive, and it appears to be 5 or 6.
  1986. They report:
  1987.  
  1988. . 4-in-a-row is a draw on a 5x5 board (C. Y. Lee), but not on a 4x30
  1989.     board (C. Lustenberger).
  1990.  
  1991. . N-in-a-row is shown to be a draw on a NxN board for N>4, using a
  1992.     general pairing technique devised by A. W. Hales and R. I. Jewett.
  1993.  
  1994. . 9-in-a-row is a draw even on an infinite board, a 1954 result of H. O.
  1995.     Pollak and C. E. Shannon.
  1996.  
  1997. . More recently, the pseudonymous group T. G. L. Zetters showed that
  1998.     8-in-a-row is a draw on an infinite board, and have made some
  1999.     progress on showing infinite 7-in-a-row to be a draw.
  2000.  
  2001. Go-moku is 5-in-a-row played on a 19x19 go board.  It is apparently a
  2002. win for the first player, and so the Japanese have introduced several
  2003. 'handicaps' for the first player (e.g., he must win with _exactly_
  2004. five: 6-in-a-row doesn't count), but apparently the game is still a win
  2005. for the first player.  None of these apparent results have been
  2006. proven.
  2007.  
  2008. ==> competition/games/hi-q.p <==
  2009. What is the quickest solution of the game Hi-Q (also called Solitaire)?
  2010.  
  2011. For those of you who aren't sure what the game looks like:
  2012.  
  2013. 32 movable pegs ("+") are arranged on the following board such that
  2014. only the middle position is empty ("-"). Just to be complete: the board
  2015. consists of only these 33 positions.
  2016.  
  2017.           1 2 3 4 5 6 7
  2018.         1     + + +
  2019.         2     + + +
  2020.         3 + + + + + + +
  2021.         4 + + + - + + +
  2022.         5 + + + + + + +
  2023.         6     + + +
  2024.         7     + + +
  2025.  
  2026. A piece moves on this board by jumping over one of its immediate
  2027. neighbor (horizontally or vertically) into an empty space opposite.
  2028. The peg that was jumped over, is hit and removed from the board.  A
  2029. move can contain multiple hits if you use the same peg to make the
  2030. hits.
  2031.  
  2032. You have to end with one peg exactly in the middle position (44).
  2033.  
  2034. ==> competition/games/hi-q.s <==
  2035. 1:      46*44
  2036. 2:      65*45
  2037. 3:      57*55
  2038. 4:      54*56
  2039. 5:      52*54
  2040. 6:      73*53
  2041. 7:      43*63
  2042. 8:      75*73*53
  2043. 9:      35*55
  2044. 10:     15*35
  2045. 11:     23*43*63*65*45*25
  2046. 12:     37*57*55*53
  2047. 13:     31*33
  2048. 14:     34*32
  2049. 15:     51*31*33
  2050. 16:     13*15*35
  2051. 17:     36*34*32*52*54*34
  2052. 18:     24*44
  2053.  
  2054. Found by Ernest Bergholt in 1912 and was proved to be minimal by John Beasley
  2055. in 1964.
  2056.  
  2057. References
  2058.         The Ins and Outs of Peg Solitaire
  2059.         John D Beasley
  2060.         Oxford U press, 1985
  2061.         ISBN 0-19-853203-2
  2062.  
  2063.         Winning Ways, Vol. 2, Ch. 23
  2064.         Berlekamp, E.R.
  2065.         Academic Press, 1982
  2066.         ISBN 01-12-091102-7
  2067.  
  2068. ==> competition/games/jeopardy.p <==
  2069. What are the highest, lowest, and most different scores contestants
  2070. can achieve during a single game of Jeopardy?
  2071.  
  2072. ==> competition/games/jeopardy.s <==
  2073. highest: $283,200.00, lowest: -$29,000.00, biggest difference: $281,600.00
  2074.  
  2075. (1) Our theoretical contestant has an itchy trigger finger, and rings in with
  2076.     an answer before either of his/her opponents.
  2077.  
  2078. (2) The daily doubles (1 in the Jeopardy! round, 2 in the Double Jeopardy!
  2079.     round) all appear under an answer in the $100 or $200 rows.
  2080.  
  2081. (3) All answers given by our contestant are (will be?) correct.
  2082.  
  2083. Therefore:
  2084.  
  2085. Round 1 (Jeopardy!): Max. score per category: $1500.
  2086.                      For 6 categories - $100 for the DD, that's $8900.
  2087.                      Our hero bets the farm and wins - score: $17,800.
  2088.  
  2089. Round 2 (Double Jeopardy!):
  2090.                      Max. score per category: $3000.
  2091.                      Assume that the DDs are found last, in order.
  2092.                      For 6 categories - $400 for both DDs, that's $17,600.
  2093.                      Added to his/her winnings in Round 1, that's $35,400.
  2094.                      After the 1st DD, where the whole thing is wagered,
  2095.                      the contestant's score is $70,800.  Then the whole
  2096.                      amount is wagered again, yielding a total of $141,600.
  2097.  
  2098. Round 3 (Final Jeopardy!):
  2099.                      Our (very greedy! :) hero now bets the whole thing, to
  2100.                      see just how much s/he can actually win.  Assuming that
  2101.                      his/her answer is right, the final amount would be
  2102.                      $283,200.
  2103.  
  2104. But the contestant can only take home $100,000; the rest is donated to
  2105. charity.
  2106.  
  2107. To calculate the lowest possible socre:
  2108.  
  2109. -1500 x 6 = -9000 + 100 = -8900.
  2110.  
  2111. On the Daily Double that appears in the 100 slot, you bet the maximum
  2112. allowed, 500, and lose. So after the first round, you are at -9400.
  2113.  
  2114. -3000 x 6 = -18000 + 400 = -17600
  2115.  
  2116. On the two Daily Doubles in the 200 slots, bet the maximum allowed, 1000. So
  2117. after the second round you are at -9400 + -19600 = -29000. This is the
  2118. lowest score you can achieve in Jeopardy before the Final Jeopardy round.
  2119.  
  2120. The caveat here is that you *must* be the person sitting in the left-most
  2121. seat (either a returning champion or the luckiest of the three people who
  2122. come in after a five-time champion "retires") at the beginning of the game,
  2123. because otherwise you will not have control of the board when the first
  2124. Daily Double comes along.
  2125.  
  2126. The scenario for the maximum difference is the same as the highest
  2127. score, except that on every question that isn't a daily double, the
  2128. worst contestant rings in ahead of the best one, and makes a wrong
  2129. guess, after which the best contestant rings in and gets it right.
  2130. However, since contestants with negative scores are disqualified before
  2131. Final Jeopardy!, it is arguable that the negative score ceases to exist
  2132. at that point.  This also applies to zero scores.  In that case,
  2133. someone else would have to qualify for Final Jeopardy! for the maximum
  2134. difference to exist, taking one $100 or $200 question away from the
  2135. best player.  In that case the best player would score 8*$200 lower, so
  2136. the maximum difference would be $281,600.00.
  2137.  
  2138.  
  2139. ==> competition/games/nim.p <==
  2140. Place 10 piles of 10 $1 bills in a row.  A valid move is to reduce
  2141. the last i>0 piles by the same amount j>0 for some i and j; a pile
  2142. reduced to nothing is considered to have been removed.  The loser
  2143. is the player who picks up the last dollar, and they must forfeit
  2144. half of what they picked up to the winner.
  2145.  
  2146. 1)  Who is the winner in Waldo Nim, the first or the second player?
  2147.  
  2148. 2)  How much more money than the loser can the winner obtain with best
  2149.     play on both parties?
  2150.  
  2151. ==> competition/games/nim.s <==
  2152. For the particular game described we only need to consider positions for
  2153. which the following condition holds for each pile:
  2154.  
  2155.         (number of bills in pile k) + k >= (number of piles) + 1
  2156.  
  2157. A GOOD position is defined as one in which this condition holds,
  2158. with equality applying only to one pile P, and all piles following P
  2159. having the same number of bills as P.
  2160. ( So the initial position is GOOD, the special pile being the first. )
  2161. I now claim that if I leave you a GOOD position, and you make any move,
  2162. I can move back to a GOOD position.
  2163.  
  2164. Suppose there are n piles and the special pile is numbered (n-p+1)
  2165. (so that the last p piles each contain p bills).
  2166. (1) You take p bills from p or more piles;
  2167.   (a) If p = n, you have just taken the last bill and lost.
  2168.   (b) Otherwise I reduce pile (n-p) (which is now the last) to 1 bill.
  2169. (2) You take p bills from r(<p) piles;
  2170.     I take r bills from (p-r) piles.
  2171. (3) You take q(<p) bills from p or more piles;
  2172.     I take (p-q) bills from q piles.
  2173. (4) You take q(<p) bills from r(<p) piles;
  2174.   (a) q+r>p; I take (p-q) bills from (q+r-p) piles
  2175.   (b) q+r<=p; I take (p-q) bills from (q+r) piles
  2176.  
  2177. Verifying that each of the resulting positions is GOOD is tedious
  2178. but straightforward.  It is left as an exercise for the reader.
  2179.  
  2180.     -- RobH
  2181.  
  2182. ==> competition/games/online/online.scrabble.p <==
  2183. How can I play Scrabble online on the Internet?
  2184.  
  2185. ==> competition/games/online/online.scrabble.s <==
  2186. Announcing ScrabbleMOO, a server running at 134.53.14.110, port 7777
  2187. (nextsrv.cas.muohio.edu 7777).  The server software is version 1.7.0
  2188. of the LambdaMOO server code.
  2189.  
  2190. To reach it, you can use "telnet 134.53.14.110 7777", and sign on.  You
  2191. will have a unique name and password on the server, and directions are
  2192. provided in the opening screen on how to accomplish signing on.  The
  2193. first time, you will need to type "create YourName YourPassword", and
  2194. each time thereafter, "connect YourName YourPassword".
  2195.  
  2196. There are currently 5 Scrabble boards set up, with global individual
  2197. high score and game-cumulative high score lists.  Games can be saved,
  2198. and restored at a later time.  There are complete command instructions
  2199. at each board (via the command "instructions"); usage is simple and
  2200. intuitive.  There are commands to undo turns, exchange tiles, and pass,
  2201. and there are a variety of options available to change the way the
  2202. board and rack are displayed.
  2203.  
  2204. We do not yet have a dictionary for challenges installed on-line, and
  2205. that is coming very soon.  I am seriously contemplating using the
  2206. OSPD.shar wordlist that Ross Beresford listed in a recent Usenet
  2207. article.  It seems to have the full wordlist from the 1st edition
  2208. of the OSPD, plus longer words from some other source.  I have
  2209. personal wordlists updating the OSPD to the 2nd edition, for words
  2210. up to 4 letters long, and will have the longer words in the near
  2211. future.
  2212.  
  2213. Usage of a certain dictionary for challenges is not enforced, and
  2214. really can't be.  Many of the regular players there have their
  2215. personal copy of the OSPD.  It's all informal, and for fun.  Players
  2216. agree what dictionary to use on a game-by-game basis, though the
  2217. OSPD is encouraged.  There are even commands to enable kibitzing,
  2218. if watching rather than playing is what you're into.
  2219.  
  2220. Come by and try it out.  We have all skill levels of players, and
  2221. we welcome more!
  2222.  
  2223. ==> competition/games/online/unlimited.adventures.p <==
  2224. Where can I find information about unlimited adventures?
  2225.  
  2226. ==> competition/games/online/unlimited.adventures.s <==
  2227. ccosun.caltech.edu  -- pub/adnd/inbound/UA
  2228. wuarchive.wustl.edu -- pub/msdos_uploads/games/UA
  2229.  
  2230. ==> competition/games/othello.p <==
  2231. How good are computers at Othello?
  2232.  
  2233. ==> competition/games/othello.s <==
  2234. ("Othello" is a registered trademark of the Anjar Company Inc.)
  2235.  
  2236. As of 1992, the best Othello programs may have reached or surpassed the
  2237. best human players [2][3].  As early as 1980 Jonathon Cerf, then World
  2238. Othello Champion, remarked:
  2239.     "In my opinion the top programs [...] are now equal (if not superior)
  2240.      to the best human players." [1]
  2241.  
  2242. However, Othello's game theoretic value, unlike checkers, will likely
  2243. remain unknown for quite some time.  Barring some unforeseen shortcut or
  2244. bankroll, a perfect Othello playing program would need to search in the
  2245. neighborhood of 50 plies.  Today, even a general 30 ply search to end the
  2246. game, i.e. 30 remaining empty squares, is beyond reach.
  2247.  
  2248. Furthermore, the game of Othello does not lend itself to endgame database
  2249. techniques that have proven so effective in checkers, and in certain chess
  2250. endgames.
  2251.  
  2252.  
  2253. Progress of the best Othello computer programs:
  2254.  
  2255. 1980
  2256.      "Iago" (by Rosenbloom) [2]
  2257.  
  2258. 1990
  2259.     "Bill 3.0" (by Lee and Mahajan) [3] uses:
  2260.        1. sophisticated searching and timing algorithms, e.g. iterative
  2261.           deepening, hash/killer tables, zero-window search.
  2262.        2. lookup tables to encode positional evaluation knowledge.
  2263.        3. Bayesian learning for the evaluation function.
  2264.     The average middle game search depth is 8 plies.
  2265.     Exhaustive endgame search within tournament-play time constraints, is
  2266.         usually possible with 13 to 15 empty squares remaining.
  2267.     "Bill 3.0" defeated Brian Rose, the highest rated American Othello
  2268.         player, by a score of 56-8.
  2269.  
  2270. 1992
  2271.     At the 4th AST Computer Olympiad [4][5], the top three programs were:
  2272.         Othel du Nord (France)
  2273.         Aida          (The Netherlands)
  2274.         Jacp'Oth      (France)
  2275.  
  2276. References
  2277. ----------
  2278. [1] Othello Quarterly 3(1) (1981) 12-16
  2279. [2] P.S. Rosenbloom, A World Championship-Level Othello Program,
  2280.     "Artificial Intelligence" 19 (1982) 279-320
  2281. [3] Kai-Fu Lee and Sanjoy Mahajan, The Development of a World Class
  2282.     Othello Program, "Artificial Intelligence" 43 (1990) 21-36
  2283. [4] D.M. Breuker and J. Gnodde, The AST 4th Computer Olympiad,
  2284.     "International Computer Chess Association Journal 15-3 (1992) 152-153
  2285. [5] Jos Uiterwijk, The AST 4th Conference on Computer Games,
  2286.     "International Computer Chess Association Journal 15-3 (1992) 158-161
  2287.  
  2288.  
  2289. Myron P. Souris
  2290. EDS/Unigraphics
  2291. St. Louis, Missouri
  2292. souris@ug.eds.com
  2293.  
  2294. ==> competition/games/pc/best.p <==
  2295. What are the best PC games?
  2296.  
  2297. ==> competition/games/pc/best.s <==
  2298. Read "net pc games top 100" in newsgroup comp.sys.ibm.pc.games.announce.
  2299.  
  2300. ==> competition/games/pc/reviews.p <==
  2301. Are reviews of PC games available online?
  2302.  
  2303. ==> competition/games/pc/reviews.s <==
  2304. Presenting... the Game Bytes Issues Index!   (Issues 1-8)
  2305.  
  2306. Game Bytes has covered well over 100 games in the past several issues.
  2307. Using this index, you can look up the particular games you're interested
  2308. in, find out what issues of Game Bytes cover them, and download those
  2309. issues.  Also included is a list of the interviews GB has done to date -
  2310. - the interviews from several issues ago still contain a lot of current
  2311. material.
  2312.  
  2313. The easiest way to use the games index is to employ the search command
  2314. of your favorite word processor to find a distinctive string, such as
  2315. "Ultima","Perfect", or "Lemmings".  The list is alphabetized; series
  2316. have been listed together rather than by individual subtitle.
  2317.  
  2318. All issues of Game Bytes to date are available by anonymous FTP at
  2319. ftp.ulowell.edu in the /msdos/Games/GameByte directory and are
  2320. mirrored on other FTP sites as well.  Contact Ross Erickson,
  2321. ross@kaos.b11.ingr.com, if you need assistance acquiring Game
  2322. Bytes or have other questions.
  2323.  
  2324.  
  2325. Game Bytes Interview List, Issues 1 - 7, Chronological Order
  2326. -----------------------------------------------------------------
  2327. Issue     Person(s)           Company   Sample Games
  2328. -----     ---------           -------   ------------
  2329. 2         Richard Garriott    Origin    Ultima series
  2330. 3         Chris Roberts       Origin    Wing Commander, Strike C.
  2331. 4         ID Software team    Apogee*   Wolfenstein 3D, Commander Keen
  2332. 5         Damon Slye          Dynamix   Red Baron, Aces of the Pacific
  2333. 5         Scott Miller        Apogee    Wolf3D, C. Keen, Duke Nukem
  2334. 6         Bob Bates (Part 1)  Legend    Spellcasting 101
  2335. 7         Bob Bates (Part 2)  ""        ""
  2336. 8         Looking Glass Tech  Origin    Underworld 1 and 2
  2337.  
  2338. * distributing/producing company
  2339.  
  2340.  
  2341. Game Bytes Reviews Index, Issues 1 - 8, Alphabetical by Title
  2342. ---------------------------------------------------------------------
  2343. Title                                        Review    Preview   Tips
  2344. -----                                        ------    -------   ----
  2345. A-Train                                      3
  2346. A.T.A.C.                                               5
  2347. Aces of the Pacific                          3         1          8
  2348. Action Stations!                             8
  2349. Air Combat                                   5
  2350. Air Force Commander                          8
  2351. Alien 3 (Sega Genesis)                       7
  2352. Amazon                                       8         6
  2353. Axelay (Super Nintendo)                      8
  2354. B-17 Flying Fortress                         6         4
  2355. B.A.T. II:  The Koshan Conspiracy                      7
  2356. Battlecruiser 3000 A.D.                                8
  2357. Birds of Prey                                7         4
  2358. Carrier Strike                               6
  2359. Carriers at War                              6
  2360. Castle Wolfenstein 3-D                       2
  2361. Challenge of the Five Realms                           4
  2362. Chessmaster 3000                             2
  2363. Civilization                                 5
  2364. Comanche:  Maximum Overkill                            6
  2365. Conflict: Korea                              6
  2366. Conquered Kingdoms                                     7
  2367. Conquests of the Longbow                     3
  2368. Contra 3:  The Alien Wars (Super Nintendo)   5
  2369. Crisis in the Kremlin                        6
  2370. D/Generation                                 2
  2371. Dark Sun:  Shattered Lands                             6
  2372. Darklands                                    7         3         7
  2373. Darkseed                                     5
  2374. Dune                                         3
  2375. Dungeon Master                               7
  2376. Dynamix Football                                       3
  2377. Earl Weaver Baseball 2                       4
  2378. Ecoquest:  The Search for Cetus              2                   5
  2379. Eric the Unready                                       8
  2380. Eye of the Beholder 2                        1
  2381. Eye of the Beholder 3                                  8
  2382. F-117A Stealth Fighter                       3
  2383. F-15 Strike Eagle III                                  5
  2384. Falcon 3.0                                   1                   5,8
  2385. Falcon 3.0:  Operation Flying Tiger          6
  2386. Flight Simulator 4.0 Scenery                 8
  2387. Front Page Sports:  Football                 8         6
  2388. Galactix                                     6
  2389. Gateway                                      4
  2390. Global Conquest                              3
  2391. Gods                                         6
  2392. Gravis Gamepad                               4
  2393. Great Naval Battles                          8
  2394. Greens!                                                2
  2395. Gunship 2000                                 2
  2396. Hardball 3                                   4,5
  2397. Hardball 3 Statistical Utilities             7
  2398. Harpoon 1.3 Designer Series / IOPG           6
  2399. Heaven and Earth                                       4
  2400. Heimdall                                     7
  2401. Hong Kong Mahjong                                      3
  2402. Indiana Jones and the Fate of Atlantis       5
  2403. Jack Nicklaus Golf:  Signature Edition       2
  2404. Joe and Mac (SNES)                           2
  2405. Johnny Castaway                              8
  2406. King's Quest VI:  Heir Today, Gone Tomorrow            6
  2407. Laura Bow 2:  The Dagger of Amon Ra          4         3
  2408. Legends of Valor                                       8
  2409. Les Manley:  Lost in L.A.                    1
  2410. Links 386 Pro                                5         1
  2411. Links Courses:  Troon North                            2
  2412. Loom -- CD-ROM version                       5
  2413. Lord of the Rings II:  The Two Towers        7         3
  2414. Lost Treasures of Infocom                    5
  2415. Lure of the Temptress                        8
  2416. Mantis:  XF5700 Experimental Space Fighter   7         4
  2417. Martian Memorandum                           5
  2418. Micro League Baseball 4                      6
  2419. Might and Magic: Clouds of Xeen              8
  2420. Mike Ditka's Ultimate Football               6
  2421. Monkey Island 2:  LeChuck's Revenge          5
  2422. NCAA Basketball (Super Nintendo)             8
  2423. NCAA:  The Road to the Final Four            3
  2424. NFL Pro League                               7
  2425. NHLPA Hockey '93 (Sega Genesis)              7
  2426. Nova 9                                       2
  2427. Oh No!  More Lemmings                        3
  2428. Out of This World                            6
  2429. Pirates! Gold                                          2
  2430. Planet's Edge                                3
  2431. Pools of Darkness                            2
  2432. Powermonger                                  5
  2433. Prince of Persia                             4
  2434. Prophecy of the Shadow                       7
  2435. Pursue the Pennant 4.0                       4
  2436. Quest for Glory I (VGA edition)              7
  2437. Quest for Glory III:  The Wages of War       7
  2438. Rampart                                      4
  2439. Rampart (SNES)                               7
  2440. RBI Baseball 4 (Sega Genesis)                7
  2441. Red Baron Mission Builder                    8         4
  2442. Rex Nebular and the Cosmic Gender Bender     8         5
  2443. Risk for Windows                             1
  2444. Robosport for Windows                        8
  2445. Rules of Engagement                          7
  2446. Secret Weapons of the Luftwaffe              4
  2447. Sega CD-ROM (Sega Genesis)                   8
  2448. Sherlock Holmes, Consulting Detective Vol.I  7
  2449. Shining in the Darkness (Sega Genesis)       4
  2450. Siege                                        6
  2451. SimAnt                                       4
  2452. Solitaire's Journey                          5
  2453. Sonic the Hedgehog 2                         8
  2454. Space Megaforce (SNES)                       7
  2455. Space Quest V:  The Next Mutation                      3
  2456. Speedball 2                                  5
  2457. Spellcasting 301: Spring Break               8                   8
  2458. Spellcraft:  Aspects of Valor                          3
  2459. Splatterhouse 2 (Sega Genesis)               5
  2460. S.S.I. Goldbox summary                       8
  2461. Star Control 2                               8
  2462. Star Legions                                           6
  2463. Star Trek:  25th Anniversary                 1
  2464. Street Fighter 2                             8
  2465. Strike Commander                                       3
  2466. Stunt Island                                 8         7
  2467. Summer Challenge                             8         5
  2468. Super Hi-Impact Football (Sega Genesis)      8
  2469. Super Star Wars (SNES)                       7
  2470. Super Tetris                                 3
  2471. Take-a-Break Pinball                                   6
  2472. Tegel's Mercenaries                                    6
  2473. Terminator 2029:  Cybergen                             5
  2474. The 7th Guest                                          5
  2475. The Castle of Dr. Brain                      5
  2476. The Incredible Machine                                 7
  2477. The Legend of Kyrandia                       7
  2478. The Lost Admiral                             6
  2479. The Magic Candle II:  The Four and Forty     5
  2480. The Miracle                                  3
  2481. The Mystical Quest (SNES)                    7
  2482. The Perfect General                          3
  2483. Theatre of War                               6
  2484. Thrustmaster                                 4
  2485. Thunderhawk                                  2
  2486. TimeQuest                                    2
  2487. Tony La Russa's Ultimate Baseball II                   8
  2488. Turbo Science                                          7
  2489. Ultima 1, 2, and 3 (First Trilogy)           7
  2490. Ultima 7:  Forge of Virtue                   6         4
  2491. Ultima 7:  The Black Gate                    3         1         5,6
  2492. Ultima Underworld:  The Stygian Abyss        3                   7
  2493. Ultima Underworld 2: Labyrinth of Worlds               8
  2494. V for Victory:  Utah Beach                   7
  2495. Veil of Darkness                                       8
  2496. WaxWorks                                               7
  2497. Wayne Gretzky Hockey III                               5
  2498. Wing Commander 2                             1
  2499. Wing Commander 2:  Special Operations 2      4
  2500. Winter Challenge                             5
  2501. Wizardry 6:  Bane of the Cosmic Forge        1
  2502. Wizardry 7:  Crusaders of the Dark Savant    8         5
  2503. Wordtris                                     4
  2504. World Circuit                                          7
  2505. X-Wing:  Star Wars Space Combat Simulator              7
  2506.  
  2507. ==> competition/games/pc/solutions.p <==
  2508. What are the solutions to various popular PC games?
  2509.  
  2510. ==> competition/games/pc/solutions.s <==
  2511. Solutions, hints, etc. for many games exist at:
  2512. pub/game_solutions directory on sun0.urz.uni-heidelberg.de
  2513. pub/games/solutions directory on risc.ua.edu (130.160.4.7)
  2514. pub/msdos/romulus directory on ftp.uwp.edu (131.210.1.4)
  2515.  
  2516. ==> competition/games/poker.face.up.p <==
  2517. In Face-Up Poker, two players each select five cards from a face-up deck,
  2518. bet, discard and draw.  Is there a winning strategy for this game?  What if
  2519. the players select cards alternately?
  2520.  
  2521. ==> competition/games/poker.face.up.s <==
  2522. If the first player draws four aces, the second player draws four
  2523. kings. If the first player keeps the four aces on the draw, the second
  2524. player draws a king-high straight flush, and if the first player
  2525. pitches the aces to draw a straight flush, the second player can always
  2526. make a higher straight flush.
  2527.  
  2528. Instead, the winning strategy is for the first player to draw four
  2529. tens.  The second player cannot draw a royal flush, and in order to
  2530. prevent the first player from getting one, the second player must draw
  2531. at least one card higher than the ten from each suit, which means he
  2532. can't do better than four-of-a-kind.  Then the first player wins by
  2533. drawing a straight flush from any suit.
  2534.  
  2535. If the cards are dealt alternately as in real poker, the second player
  2536. can always tie with proper strategy.  The second player mirrors the
  2537. first player's selections in rank and color.  For example, if the first
  2538. player picks up a red queen, the second player picks up a red queen.
  2539. When they are done playing, their hands will be identical except one
  2540. will have spades and hearts where the other has clubs and diamonds, and
  2541. vice versa.  Since suits aren't ranked in poker, the hands are tied.
  2542.  
  2543. It is unknown if there is a winning strategy if the replacement cards
  2544. are dealt together as in real poker, as opposed to alternately.
  2545.  
  2546. ==> competition/games/risk.p <==
  2547. What are the odds when tossing dice in Risk?
  2548.  
  2549. ==> competition/games/risk.s <==
  2550. Odds calculated with program by David Karr (karr@cs.cornell.edu):
  2551.  
  2552. Attacker rolls 3 dice, defender rolls 2 dice:
  2553.  
  2554. Attacker   Defender   Probability
  2555.   loses      loses
  2556.     0          2       2890/7776  =  0.3716563786
  2557.     1          1       2611/7776  =  0.3357767490
  2558.     2          0       2275/7776  =  0.2925668724
  2559.  
  2560.  
  2561. Attacker rolls 3 dice, defender rolls 1 dice:
  2562.  
  2563. Attacker   Defender   Probability
  2564.   loses      loses
  2565.     0          1        855/1296  =  0.6597222222
  2566.     1          0        441/1296  =  0.3402777778
  2567.  
  2568.  
  2569. Attacker rolls 2 dice, defender rolls 2 dice:
  2570.  
  2571. Attacker   Defender   Probability
  2572.   loses      loses
  2573.     0          2        295/1296  =  0.2276234568
  2574.     1          1        420/1296  =  0.3240740741
  2575.     2          0        581/1296  =  0.4483024691
  2576.  
  2577.  
  2578. Attacker rolls 2 dice, defender rolls 1 dice:
  2579.  
  2580. Attacker   Defender   Probability
  2581.   loses      loses
  2582.     0          1        125/216  =  0.5787037037
  2583.     1          0         91/216  =  0.4212962963
  2584.  
  2585.  
  2586. Attacker rolls 1 dice, defender rolls 2 dice:
  2587.  
  2588. Attacker   Defender   Probability
  2589.   loses      loses
  2590.     0          1         55/216  =  0.2546296296
  2591.     1          0        161/216  =  0.7453703704
  2592.  
  2593.  
  2594. Attacker rolls 1 dice, defender rolls 1 dice:
  2595.  
  2596. Attacker   Defender   Probability
  2597.   loses      loses
  2598.     0          1         15/36  =  0.4166666667
  2599.     1          0         21/36  =  0.5833333333
  2600.  
  2601.  
  2602. ---------------------8<------snip here--------8<--------------------
  2603. /*
  2604.  * riskdice.c  --  prints Risk dice odds
  2605.  *
  2606.  * This program calculates probabilities for one roll of the dice in Risk.
  2607.  * For each possible number of dice that the attacker might roll, for each
  2608.  * possible number of dice that the defender might roll, this program
  2609.  * lists all the possible outcomes (number of armies lost by attacker
  2610.  * and defender) and the probability of each outcome.
  2611.  *
  2612.  * Copyright 1993 by David A. Karr.
  2613.  */
  2614.  
  2615. #define MAX_ATTACK      3       /* max # of dice attacker may roll */
  2616. #define MAX_DEFEND      2       /* max # of dice defender may roll */
  2617. #define MAX_DICE        MAX_ATTACK + MAX_DEFEND
  2618.  
  2619. void main()
  2620. {
  2621.     int a;      /* number of dice rolled by attacker */
  2622.     int d;      /* number of dice rolled by defender */
  2623.     void calc();
  2624.  
  2625.     for (a = MAX_ATTACK; a > 0; --a) {
  2626.         for (d = MAX_DEFEND; d > 0; --d) {
  2627.             calc( a, d );
  2628.         }
  2629.     }
  2630. }
  2631.  
  2632. void calc( a_dice, d_dice )
  2633. /*
  2634.  * Purpose:  Print odds for the given numbers of dice rolled
  2635.  */
  2636. int a_dice;     /* number of dice rolled by attacker */
  2637. int d_dice;     /* number of dice rolled by defender */
  2638. {
  2639.     int num_dice;       /* total number of dice rolled */
  2640.     int num_armies;     /* # armies that will be lost by both sides, total */
  2641.     int kill_count[MAX_DEFEND + 1];
  2642.                 /* entry [i] counts # of times attacker loses i armies */
  2643.     int roll[MAX_DICE + 1];     /* holds one roll of the dice */
  2644.     int a_roll[MAX_ATTACK];     /* holds attacker's dice */
  2645.     int d_roll[MAX_DEFEND];     /* holds defender's dice */
  2646.     int n;              /* cursor into the arrays */
  2647.     int num_lost;       /* # of armies lost by the attacker */
  2648.     int cases;          /* total # of events counted */
  2649.     void dsort();
  2650.  
  2651.     /*
  2652.      * The method is pure brute force.  roll[] is set successively to
  2653.      * all possible rolls of the total number of dice; for each roll
  2654.      * the number of armies lost by the attacker (the outcome) is
  2655.      * computed and the event is counted.
  2656.      * Since all the counted events are equiprobable, the count of each
  2657.      * outcome merely needs to be scaled down by the total count to
  2658.      * obtain the probability of that outcome.
  2659.      */
  2660.     /* The number of armies at stake is  min(a_dice, d_dice) */
  2661.     num_armies = a_dice < d_dice ? a_dice : d_dice;
  2662.     /* initialize event counters */
  2663.     for (n = 0; n <= num_armies; ++n)
  2664.         kill_count[n] = 0;
  2665.     /*
  2666.      * The roll[] array is treated as a funny odometer whose wheels each
  2667.      * go from 1 to 6.  Each roll of the dice appears in roll[0] through
  2668.      * roll[num_dice - 1], starting with all 1s and counting up to all 6s.
  2669.      * roll[num_dice] is used to detect when the other digits have
  2670.      * finished a complete cycle (it is tripped when they go back to 1s).
  2671.      */
  2672.     num_dice = a_dice + d_dice;
  2673.     for (n = 0; n <= num_dice; ++n)
  2674.         roll[n] = 1;
  2675.     while (roll[num_dice] == 1) {
  2676.         /* examine a new possible roll of the dice */
  2677.         /*
  2678.          * copy attacker's and defender's dice so as not to disturb
  2679.          * the "odometer" reading.
  2680.          */
  2681.         for (n = 0; n < a_dice; ++n)
  2682.             a_roll[n] = roll[n];
  2683.         for (n = 0; n < d_dice; ++n)
  2684.             d_roll[n] = roll[n + a_dice];
  2685.         /*
  2686.          * sort attacker's and defender's dice, highest first.
  2687.          */
  2688.         dsort(a_roll, a_dice);
  2689.         dsort(d_roll, d_dice);
  2690.         /*
  2691.          * compare attacker's and defender's dice, count attacker's loss
  2692.          */
  2693.         num_lost = 0;
  2694.         for (n = 0; n < num_armies; ++n)
  2695.             if (d_roll[n] >= a_roll[n])
  2696.                 ++num_lost;
  2697.         ++kill_count[num_lost];
  2698.         /*
  2699.          * Find next roll values (bump the "odometer" up one tick).
  2700.          */
  2701.         n = 0;
  2702.         roll[0] += 1;
  2703.         while (roll[n] > 6) {
  2704.             /* place [n] rolled over */
  2705.             roll[n] = 1;
  2706.             /* Carry 1 into the next place (which may in turn roll over) */
  2707.             ++n;
  2708.             roll[n] += 1;
  2709.         }
  2710.     }
  2711.     cases = 0;
  2712.     for (n = 0; n <= num_armies; ++n)
  2713.         cases += kill_count[n];
  2714.     printf( "Attacker rolls %d dice, defender rolls %d dice:\n\n",
  2715.                 a_dice, d_dice );
  2716.     printf( "Attacker   Defender   Probability\n" );
  2717.     printf( "  loses      loses\n" );
  2718.     for (n = 0; n <= num_armies; ++n)
  2719.         printf( "%5d      %5d      %5d/%d  =  %12.10lf\n",
  2720.                 n, num_armies - n, kill_count[n], cases,
  2721.                 ((double) kill_count[n]) / ((double) cases) );
  2722.     printf( "\n\n" );
  2723. }
  2724.  
  2725.  
  2726. void dsort( array, length )
  2727. /*
  2728.  * Sort the given array in descending order.
  2729.  */
  2730. int *array;
  2731. int length;     /* number of slots in the array */
  2732. {
  2733.     int level, n, tmp;
  2734.  
  2735.     /* Use bubble sort since the array will be tiny in this application */
  2736.     for (level = 0; level < length - 1; ++level) {
  2737.         /*
  2738.          * Slots [0] through [level - 1] are already "stable."
  2739.          * Bubble up the value that belongs in the [level] slot.
  2740.          */
  2741.         for (n = length - 1; n > level; --n) {
  2742.             if (array[n - 1] < array[n]) {
  2743.                 /* swap them */
  2744.                 tmp = array[n - 1];
  2745.                 array[n - 1] = array[n];
  2746.                 array[n] = tmp;
  2747.             }
  2748.         }
  2749.     }
  2750. }
  2751.  
  2752. ==> competition/games/rubiks/rubiks.clock.p <==
  2753. How do you quickly solve Rubik's clock?
  2754.  
  2755. ==> competition/games/rubiks/rubiks.clock.s <==
  2756.                           Solution to Rubik's Clock
  2757.  
  2758. The solution to Rubik's Clock is very simple and the clock can be
  2759. "worked" in 10-20 seconds once the solution is known.
  2760.  
  2761. In this description of how to solve the clock I will describe
  2762. the different clocks as if they were on a map (e.g. N,NE,E,SE,S,SW,W,NW);
  2763. this leaves the middle clock which I will just call M.
  2764. To work the Rubik's clock choose one side to start from; it does
  2765. not matter from which side you start.  Your initial goal
  2766. will be to align the N,S,E,W and M clocks.  Use the following algorithm
  2767. to do this:
  2768.  
  2769.         [1]  Start with all buttons in the OUT position.
  2770.  
  2771.         [2]  Choose a N,S,E,W clock that does not already have the
  2772.              same time as M (i.e. not aligned with M).
  2773.  
  2774.         [3]  Push in the closest two buttons to the clock you chose in [2].
  2775.  
  2776.         [4]  Using the knobs that are farest away from the clock you chose in
  2777.              [2] rotate the knob until M and the clock you chose are aligned.
  2778.              The time on the clocks at this point does not matter.
  2779.  
  2780.         [5]  Go back to [1] until N,S,E,W and M are in alignment.
  2781.  
  2782.         [6]  At this point N,S,E,W and M should all have the same time.
  2783.              Make sure all buttons are out and rotate any knob
  2784.              until N,S,E,W and M are pointing to 12 oclock.
  2785.  
  2786. Now turn the puzzle over and repeat steps [1]-[6] for this side.  DO NOT
  2787. turn any knobs other than the ones described in [1]-[6].  If you have
  2788. done this correctly then on both sides of the puzzle N,S,E,W and M will
  2789. all be pointing to 12.
  2790.  
  2791. Now to align NE,SE,SW,NW.  To finish the puzzle you only need to work from
  2792. one side.  Choose a side and use the following algorithm  to align the
  2793. corners:
  2794.  
  2795.         [1]  Start with all buttons OUT on the side you're working from.
  2796.  
  2797.         [2]  Choose a corner that is not aligned.
  2798.  
  2799.         [3]  Press the button closest to that corner in.
  2800.  
  2801.         [4]  Using any knob except for that corner's knob rotate all the
  2802.              clocks until they are in line with the corner clock.
  2803.              (Here "all the clocks" means N,S,E,W,M and any other clock
  2804.              that you have already aligned)
  2805.              There is no need at this point to return the clocks to 12
  2806.              although if it is less confusing you can.  Remember to
  2807.              return all buttons to their up position before you do so.
  2808.  
  2809.         [5]  Return to [1] until all clocks are aligned.
  2810.  
  2811.         [6]  With all buttons up rotate all the clocks to 12.
  2812.  
  2813. ==> competition/games/rubiks/rubiks.cube.p <==
  2814. What is known about bounds on solving Rubik's cube?
  2815.  
  2816. ==> competition/games/rubiks/rubiks.cube.s <==
  2817. The "official" world record was set by Minh Thai at the 1982 World
  2818. Championships in Budapest Hungary, with a time of 22.95 seconds.
  2819.  
  2820. Keep in mind mathematicians provided standardized dislocation patterns
  2821. for the cubes to be randomized as much as possible.
  2822.  
  2823. The fastest cube solvers from 19 different countries had 3 attempts each
  2824. to solve the cube as quickly as possible.   Minh and several others have
  2825. unofficially solved the cube in times between 16 and 19 seconds.
  2826. However, Minh averages around 25 to 26 seconds after 10 trials, and my
  2827. best average of ten trials is about 27 seconds (although it is usually
  2828. higher).
  2829.  
  2830. Consider that in the World Championships 19 of the world's fastest cube
  2831. solvers each solved the cube 3 times and no one solved the cube in less
  2832. than 20 seconds...
  2833.  
  2834. God's algorithm is the name given to an as yet (as far as I know)
  2835. undiscovered method to solve the rubik's cube in the least number of
  2836. moves; as opposed to using 'canned' moves.
  2837.  
  2838. The known lower bound is 18 moves. This is established by looking at
  2839. things backwards: suppose we can solve a position in N moves. Then by
  2840. running the solution backwards, we can also go from the solved position
  2841. to the position we started with in N moves. Now we count how many
  2842. sequences of N moves there are from the starting position, making
  2843. certain that we don't turn the same face twice in a row:
  2844.  
  2845.   N=0: 1 (empty) sequence;
  2846.   N=1: 18 sequences (6 faces can be turned, each in 3 different ways)
  2847.   N=2: 18*15 sequences (take any sequence of length 1, then turn any of the
  2848.        five faces which is not the last face turned, in any of 3
  2849.        different ways); N=3: 18*15*15 sequences (take any sequence of
  2850.        length 2, then turn any of the five faces which is not the last
  2851.        face turned, in any of 3 different ways); :  :  N=i: 18*15^(i-1)
  2852.        sequences.
  2853.  
  2854. So there are only 1 + 18 + 18*15 + 18*15^2 + ... + 18*15^(n-1)
  2855. sequences of moves of length n or less. This sequence sums to
  2856. (18/14)*(15^n - 1) + 1.  Trying particular values of n, we find that
  2857. there are about 8.4 * 10^18 sequences of length 16 or less, and about
  2858. 1.3 times 10^20 sequences of length 17 or less.
  2859.  
  2860. Since there are 2^10 * 3^7 * 8! * 12!, or about 4.3 * 10^19, possible
  2861. positions of the cube, we see that there simply aren't enough sequences
  2862. of length 16 or less to reach every position from the starting
  2863. position. So not every position can be solved in 16 or less moves -
  2864. i.e. some positions require at least 17 moves.
  2865.  
  2866. This can be improved to 18 moves by being a bit more careful about
  2867. counting sequences which produce the same position. To do this, note
  2868. that if you turn one face and then turn the opposite face, you get
  2869. exactly the same result as if you'd done the two moves in the opposite
  2870. order. When counting the number of essentially different sequences of N
  2871. moves, therefore, we can split into two cases:
  2872.  
  2873. (a) Last two moves were not of opposite faces. All such sequences can be
  2874.     obtained by taking a sequence of length N-1, choosing one of the 4 faces
  2875.     which is neither the face which was last turned nor the face opposite
  2876.     it, and choosing one of 3 possible ways to turn it. (If N=1, so that the
  2877.     sequence of length N-1 is empty and doesn't have a last move, we
  2878.     can choose any of the 6 faces.)
  2879.  
  2880. (b) Last two moves were of opposite faces. All such sequences can be
  2881.     obtained by taking a sequence of length N-2, choosing one of the 2
  2882.     opposite face pairs that doesn't include the last face turned, and
  2883.     turning each of the two faces in this pair (3*3 possibilities for how it
  2884.     was turned). (If N=2, so that the sequence of length N-2 is empty and
  2885.     doesn't have a last move, we can choose any of the 3 opposite face
  2886.     pairs.)
  2887.  
  2888. This gives us a recurrence relation for the number X_N of sequences of
  2889. length N:
  2890.  
  2891.   N=0: X_0                               = 1 (the empty sequence)
  2892.   N=1: X_1 = 18 * X_0                    = 18
  2893.   N=2: X_2 = 12 * X_1     + 27 * X_0     = 243
  2894.   N=3: X_3 = 12 * X_2     + 18 * X_1     = 3240
  2895.   :
  2896.   :
  2897.   N=i: X_i = 12 * X_(i-1) + 18 * X_(i-2)
  2898.  
  2899. If you do the calculations, you find that X_0 + X_1 + X_2 + ... + X_17 is
  2900. about 2.0 * 10^19. So there are fewer essentially different sequences of
  2901. moves of length 17 or less than there are positions of the cube, and so some
  2902. positions require at least 18 moves.
  2903.  
  2904. The upper bound of 50 moves is I believe due to Morwen Thistlethwaite, who
  2905. developed a technique to solve the cube in a maximum of 50 moves. It
  2906. involved a descent through a chain of subgroups of the full cube group,
  2907. starting with the full cube group and ending with the trivial subgroup
  2908. (i.e.  the one containing the solved position only). Each stage involves a
  2909. careful examination of the cube, essentially to work out which coset of the
  2910. target subgroup it is in, followed by a table look-up to find a sequence to
  2911. put
  2912. it into that subgroup. Needless to say, it was not a fast technique!
  2913.  
  2914. But it was fascinating to watch, because for the first three quarters or
  2915. so of the solution, you couldn't really see anything happening - i.e. the
  2916. position continued to appear random! If I remember correctly, one of the
  2917. final subgroups in the chain was the subgroup generated by all the double
  2918. twists of the faces - so near the end of the solution, you would suddenly
  2919. notice that each face only had two colours on it. A few moves more and the
  2920. solution was complete. Completely different from most cube solutions, in
  2921. which you gradually see order return to chaos: with Morwen's solution, the
  2922. order only re-appeared in the last 10-15 moves.
  2923.  
  2924. * Mark's Update/Comments ----------------------------------------------
  2925.  
  2926. * Despite some accounts of Thistlethwaite's method, it is possible to
  2927. * follow the progression of his algorithm. Clearly after Stage 2 is
  2928. * completed the L and R faces will have L and R colours on them only.
  2929. * After Stage 3 is complete the characteristics of the square's group
  2930. * is clearly visible on all 6 sides. It is harder to understand what
  2931. * is accomplished in Stage 1.
  2932. *
  2933. * ---------------------------------------------------------------------
  2934.  
  2935. With God's algorithm, of course, I would expect this effect to be even more
  2936. pronounced: someone solving the cube with God's algorithm would probably
  2937. look very much like a film of someone scrambling the cube, run in
  2938. reverse!
  2939.  
  2940. Finally, something I'd be curious to know in this context: consider the
  2941. position in which every cubelet is in the right position, all the corner
  2942. cubelets are in the correct orientation, and all the edge cubelets are
  2943. "flipped" (i.e. the only change from the solved position is that every edge
  2944. is flipped). What is the shortest sequence of moves known to get the cube
  2945. into this position, or equivalently to solve it from this position? (I know
  2946. of several sequences of 24 moves that do the trick.)
  2947.  
  2948. * Mark's Update/Comments ----------------------------------------------
  2949. *
  2950. *  This is from my file cmoves.txt which includes the best known
  2951. *   sequences for interesting patterns:
  2952. *
  2953. * p3  12 flip    R1 L1 D2 B3 L2 F2 R2 U3 D1 R3 D2 F3 B3 D3 F2 D3  (20)
  2954. *                   R2 U3 F2 D3
  2955. *
  2956. * ---------------------------------------------------------------------
  2957.  
  2958. The reason I'm interested in this particular position: it is the unique
  2959. element of the centre of the cube group. As a consequence, I vaguely suspect
  2960. (I'd hardly like to call it a conjecture :-) it may lie "opposite" the
  2961. solved position in the cube graph - i.e. the graph with a vertex for each
  2962. position of the cube and edges connecting positions that can be transformed
  2963. into each other with a single move. If this is the case, then it is a good
  2964. candidate to require the maximum possible number of moves in God's
  2965. algorithm.
  2966.  
  2967.     -- David Seal dseal@armltd.co.uk
  2968.  
  2969. To my knowledge, no one has ever demonstrated a specific cube position
  2970. that takes 15 moves to solve.  Furthermore, the lower bound is known to
  2971. be greater than 15, due to a simple proof.
  2972.  
  2973. * ---------------------------------------------------------------------
  2974. * Mark>  Definitely sequences exist in the square's group of length 15
  2975. *     >  e.g. Antipode 2   R2 B2 D2 F2 D2 F2 T2 L2 T2 D2 F2 T2 L2 T2 B2
  2976. * ---------------------------------------------------------------------
  2977.  
  2978. The way we know the lower bound is by working backwards counting how
  2979. many positions we can reach in a small number of moves from the solved
  2980. position.  If this is less than 43,252,003,274,489,856,000 (the total
  2981. number of positions of Rubik's cube) then you need more than that
  2982. number of moves to reach the other positions of the cube.  Therefore,
  2983. those positions will require more moves to solve.
  2984.  
  2985. The answer depends on what we consider a move.  There are three common
  2986. definitions.  The most restrictive is the QF metric, in which only a
  2987. quarter-turn of a face is allowed as a single move.  More common is
  2988. the HF metric, in which a half-turn of a face is also counted as a
  2989. single move.  The most generous is the HS metric, in which a quarter-
  2990. turn or half-turn of a central slice is also counted as a single move.
  2991. These metrics are sometimes called the 12-generator, 18-generator, and
  2992. 27-generator metrics, respectively, for the number of primitive moves.
  2993. The definition does not affect which positions you can get to, or even
  2994. how you get there, only how many moves we count for it.
  2995.  
  2996. The answer is that even in the HS metric, the lower bound is 16,
  2997. because at most 17,508,850,688,971,332,784 positions can be reached
  2998. within 15 HS moves.  In the HF metric, the lower bound is 18, because
  2999. at most 19,973,266,111,335,481,264 positions can be reached within 17
  3000. HF moves.  And in the QT metric, the lower bound is 21, because at
  3001. most 39,812,499,178,877,773,072 positions can be reached within 20 QT
  3002. moves.
  3003.  
  3004.  -- jjfink@skcla.monsanto.com writes:
  3005.  
  3006.  
  3007. Lately in this conference I've noted several messages related to Rubik's
  3008. Cube and Square 1. I've been an avid cube fanatic since 1981 and I've
  3009. been gathering cube information since.
  3010.  
  3011. Around Feb. 1990 I started to produce the Domain of the Cube Newsletter,
  3012. which focuses on Rubik's Cube and all the cube variants produced to
  3013. date. I include notes on unproduced prototype cubes which don't even
  3014. exist, patent information, cube history (and prehistory), computer
  3015. simulations of puzzles, etc. I'm up to the 4th issue.
  3016.  
  3017. Anyways, if you're interested in other puzzles of the scramble by
  3018. rotation type you may be interested in DOTC. It's available free to
  3019. anyone interested. I am especially interested in contributing articles
  3020. for the newsletter, e.g. ideas for new variants, God's Algorithm.
  3021.  
  3022. Anyone ever write a Magic Dodecahedron simulation for a computer?
  3023.  
  3024. Drop me a SASE (say empire size) if you're interested in DOTC or if you
  3025. would like to exchange notes on Rubik's Cube, Square 1 etc.
  3026.  
  3027. I'm also interested in exchanging puzzle simulations, e.g. Rubik's Cube,
  3028. Twisty Torus, NxNxN Simulations, etc, for Amiga and IBM computers. I've
  3029. written several Rubik's Cube solving programs, and I'm trying to make
  3030. the definitive puzzle solving engine. I'm also interested in AI programs
  3031. for Rubik's Cube and the like.
  3032.  
  3033. Ideal Toy put out the Rubik's Cube Newsletter, starting with
  3034. issue #1 on May 1982. There were 4 issues in all.
  3035.  
  3036. They are:  #1, May    1982
  3037.            #2, Aug    1982
  3038.            #3, Winter 1983
  3039.            #4, Aug    1983
  3040.  
  3041. There was another sort of magazine, published in several languages
  3042. called Rubik's Logic and Fantasy in space. I believe there were 8
  3043. issues in all. Unfortunately I don't have any of these! I'm willing
  3044. to buy these off anyone interesting in selling. I would like to get the
  3045. originals if at all possible...
  3046.  
  3047. I'm also interested in buying any books on the cube or related puzzles.
  3048. In particular I am _very_ interested in obtaining the following:
  3049.  
  3050. Cube Games                               Don Taylor, Leanne Rylands
  3051. Official Solution to Alexander's Star    Adam Alexander
  3052. The Amazing Pyraminx                     Dr. Ronald Turner-Smith
  3053. The Winning Solution                     Minh Thai
  3054. The Winning Solution to Rubik's Revenge  Minh Thai
  3055. Simple Solutions to Cubic Puzzles        James G. Nourse
  3056.  
  3057. I'm also interested in buying puzzles of the mechanical type.
  3058. I'm still missing the Pyraminx Star (basically a Pyraminx with more tips
  3059. on it), Pyraminx Ball, and the Puck.
  3060.  
  3061. If anyone out here is a fellow collector I'd like to hear from you.
  3062. If you have a cube variant which you think is rare, or an idea for a
  3063. cube variant we could swap notes.
  3064.  
  3065. I'm in the middle of compiling an exhaustive library for computer
  3066. simulations of puzzles. This includes simulations of all Uwe Meffert's
  3067. puzzles which he prototyped but _never_ produced. In fact, I'm in the
  3068. middle of working on a Pyraminx Hexagon solver. What? Never heard of it?
  3069. Meffert did a lot of other puzzles which never were made.
  3070.  
  3071. I invented some new "scramble by rotation" puzzles myself. My favourite
  3072. creation is the Twisty Torus. It is a torus puzzle with segments (which
  3073. slide around 360 degrees) with multiple rings around the circumference.
  3074.  
  3075. The computer puzzle simulation library I'm forming will be described
  3076. in depth in DOTC #4 (The Domain of the Cube Newsletter). So if you
  3077. have any interesting computer puzzle programs please email me and
  3078. tell me all about them!
  3079.  
  3080. Also to the people interested in obtaining a subscription to DOTC,
  3081. who are outside of Canada (which it seems is just about all of you!)
  3082. please don't send U.S. or non-Canadian stamps (yeah, I know I said
  3083. Self-Addressed Stamped Envelope before). Instead send me an
  3084. international money order in Canadian funds for $6. I'll send you
  3085. the first 4 issues (issue #4 is almost finished).
  3086.  
  3087. Mark Longridge
  3088. Address: 259 Thornton Rd N, Oshawa Ontario Canada, L1J 6T2
  3089. Email:   mark.longridge@canrem.com
  3090.  
  3091. One other thing, the six bucks is not for me to make any money. This
  3092. is only to cover the cost of producing it and mailing it. I'm
  3093. just trying to spread the word about DOTC and to encourage other
  3094. mechanical puzzle lovers to share their ideas, books, programs and
  3095. puzzles. Most of the programs I've written and/or collected are
  3096. shareware for C64, Amiga and IBM. I have source for all my programs
  3097. (all in C or Basic) and I am thinking of providing a disk with the
  3098. 4th issue of DOTC. If the response is favourable I will continue
  3099. to provide disks with DOTC.
  3100.  
  3101.     -- Mark Longridge <mark.longridge@canrem.com> writes:
  3102.  
  3103. It may interest people to know that in the latest issue of "Cubism For Fun" %
  3104. (# 28 that I just received yesterday) there is an article by Herbert Kociemba
  3105. from Darmstadt.  He describes a program that solves the cube.  He states that
  3106. until now he has found no configuration that required more than 21 turns to
  3107. solve.
  3108.  
  3109. He gives a 20 move manoeuvre to get at the "all edges flipped/
  3110. all corners twisted" position:
  3111.         DF^2U'B^2R^2B^2R^2LB'D'FD^2FB^2UF'RLU^2F'
  3112. or in Varga's parlance:
  3113.         dofitabiribirilobadafodifobitofarolotifa
  3114.  
  3115. Other things #28 contains are an analysis of Square 1, an article about
  3116. triangular tilings by Martin Gardner, and a number of articles about other
  3117. puzzles.
  3118. --
  3119. %  CFF is a newsletter published by the Dutch Cubusts Club NKC.
  3120. Secretary:
  3121.         Anneke Treep
  3122.         Postbus 8295
  3123.         6710 AG  Ede
  3124.         The Netherlands
  3125. Membership fee for 1992 is DFL 20 (about$ 11).
  3126. --
  3127.     -- dik t. winter <dik@cwi.nl>
  3128.  
  3129. ~References:
  3130.  
  3131. Mathematical Papers
  3132. -------------------
  3133.  
  3134. Rubik's Revenge: The Group Theoretical Solution
  3135. Mogens Esrom Larsen   A.M.M. Vol. 92 No. 6, June-July 1985, pages
  3136. 381-390
  3137.  
  3138. Rubik's Groups
  3139. E. C. Turner & K. F. Gold, American Mathematical Monthly,
  3140. vol. 92 No. 9 November 1985, pp. 617-629.
  3141.  
  3142. Cubelike Puzzles - What Are They and How Do You Solve Them?
  3143. J.A. Eidswick   A.M.M. Vol. 93 No. 3 March 1986, pp 157-176
  3144.  
  3145. The Slice Group in Rubik's Cube,  David Hecker, Ranan Banerji
  3146. Mathematics Magazine, Vol. 58 No. 4 Sept 1985
  3147.  
  3148. The Group of the Hungarian Magic Cube
  3149. Chris Rowley   Proceedings of the First Western Austrialian
  3150.                 Conference on Algebra, 1982
  3151.  
  3152. Books
  3153. -----
  3154.  
  3155. Rubik's Cubic Compendium
  3156. Erno Rubik, Tamas Varga, et al, Edited by David Singmaster
  3157. Oxford University Press, 1987
  3158. Enslow Publishers Inc
  3159.  
  3160.  
  3161.  
  3162. ==> competition/games/rubiks/rubiks.magic.p <==
  3163. How do you solve Rubik's Magic?
  3164.  
  3165. ==> competition/games/rubiks/rubiks.magic.s <==
  3166. The solution is in a 3x3 grid with a corner missing.
  3167.  
  3168. +---+---+---+          +---+---+---+---+
  3169. | 3 | 5 | 7 |          | 1 | 3 | 5 | 7 |
  3170. +---+---+---+          +---+---+---+---+
  3171. | 1 | 6 | 8 |          | 2 | 4 | 6 | 8 |
  3172. +---+---+---+          +---+---+---+---+
  3173. | 2 | 4 |              Original Shape
  3174. +---+---+
  3175.  
  3176. To get the 2x4 "standard" shape into this shape, follow this:
  3177. 1.  Lie it flat in front of you (4 going across).
  3178. 2.  Flip the pair (1,2) up and over on top of (3,4).
  3179. 3.  Flip the ONE square (2) up and over (1).
  3180. [Note:  if step 3 won't go, start over, but flip the entire original shape
  3181.         over (exposing the back).]
  3182. 4.  Flip the pair (2,4) up and over on top of (5,6).
  3183. 5.  Flip the pair (1,2) up and toward you on top of (blank,4).
  3184. 6.  Flip the ONE square (2) up and left on top of (1).
  3185. 7.  Flip the pair (2,4) up and toward you.
  3186.  
  3187. Your puzzle won't be completely solved, but this is how to get the shape.
  3188. Notice that 3,5,6,7,8 don't move.
  3189.  
  3190. ==> competition/games/scrabble.p <==
  3191. What are some exceptional Scrabble Brand Crossword Game (TM) games?
  3192.  
  3193. ==> competition/games/scrabble.s <==
  3194. The shortest Scrabble game:
  3195.  
  3196. The Scrabble Players News, Vol. XI No. 49, June 1983, contributed by
  3197. Kyle Corbin of Raleigh, NC:
  3198.  
  3199.                  [J]
  3200.                 J U S
  3201.                   S O X
  3202.                    [X]U
  3203.  
  3204. which can be done in 4 moves, JUS, SOX, [J]US, and [X]U.
  3205.  
  3206. In SPN Vol. XI, No. 52, December 1983, Alan Frank presented what
  3207. he claimed is the shortest game where no blanks are used, also
  3208. four moves:
  3209.  
  3210.                   C
  3211.                  WUD
  3212.                 CUKES
  3213.                  DEY
  3214.                   S
  3215.  
  3216. This was followed in SPN, Vol. XII No. 54, April 1984, by Terry Davis
  3217. of Glasgow, KY:
  3218.  
  3219.                   V
  3220.                 V O[X]
  3221.                  [X]U,
  3222.  
  3223. which is three moves.  He noted that the use of two blanks prevents
  3224. such plays as VOLVOX.  Unfortunately, it doesn't prevent SONOVOX.
  3225.  
  3226. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
  3227. Record for the highest Scrabble score in a single turn (in a legal position):
  3228.  
  3229. According to the Scrabble Players Newspaper (since renamed to
  3230. Scrabble Players News) issue 44, p13, the highest score for one
  3231. turn yet discovered, using the Official Scrabble Players
  3232. Dictionary, 1st ed. (the 2nd edition is now in use in club and
  3233. tournament play) and the Websters 9th New Collegiate Dictionary,
  3234. was the following:
  3235.  
  3236. d i s e q u i l i b r a t e D
  3237. . . . . . . . e . . . . . . e
  3238. . . . . . . . e . . . . . o m
  3239. r a d i o a u t o g r a p(h)Y
  3240. . . . . . . . . . . . w a s T
  3241. . . . . . . . . . . b e . . h
  3242. . . . . . . . . . . a . . g o
  3243. . . . c o n j u n c t i v a L
  3244. . . . . . . . . . . . . . n o
  3245. . . . . . . . f i n i k i n G
  3246. . . . . . . . a . . . (l) e i
  3247. . . . . . . . d . s p e l t Z
  3248. . . . . . . w e . . . . . . e
  3249. . . . . . . r . . . . . . o r
  3250. m e t h o x y f l u r a n e S
  3251.  
  3252. for 1682 points.
  3253.  
  3254.  
  3255. According to the May 1986 issue of GAMES, the highest known score achievable
  3256. in one turn is 1,962 points.  The word is BENZOXYCAMPHORS formed across the
  3257. three triple-word scores on the bottom of the board.  Apparently it was
  3258. discovered by Darryl Francis, Ron Jerome, and Jeff Grant.
  3259.  
  3260. As for other Scrabble trivia, the highest-scoring first move based on the
  3261. Official Scrabble Players Dictionary is 120 points, with the words JUKEBOX,
  3262. QUIZZED, SQUEEZE, or ZYMURGY.  If Funk & Wagnall's New Standard Dictionary
  3263. is used then ZYXOMMA, worth 130 points, can be formed.
  3264.  
  3265. The highest-scoring game, based on Webster's Second and Third and on the
  3266. Oxford English Dictionary, was devised by Ron Jerome and Ralph Beaman and
  3267. totalled 4,142 points for the two players.  The highest-scoring words in
  3268. the game were BENZOXYCAMPHORS, VELVETEEN, and JACKPUDDINGHOOD.
  3269.  
  3270. The following example of a SCRABBLE game produced a score of 2448 for one
  3271. player and 1175 for the final word.  It is taken from _Beyond Language_ (1967)
  3272. by Dmitri Borgman (pp. 217-218).  He credits this solution to Mrs. Josefa H.
  3273. Byrne of San Francisco and implies that all words can be found in _Webster's
  3274. Second Edition_.  The two large words (multiplied by 27 as they span 3 triple
  3275. word scores) are ZOOPSYCHOLOGIST (a psychologist who treats animals rather
  3276. than humans) and PREJUDICATENESS (the condition or state of being decided
  3277. beforehand).  The asterisks (*) represent the blank tiles. (Please excuse
  3278. any typo's).
  3279.  
  3280.            Board                        Player1                 Player2
  3281.  
  3282. Z O O P S Y C H O L O G I S T    ABILITY             76   ERI, YE     9
  3283. O N         H A   U     R O W    MAN, MI             10   EN          2
  3284. *         R I B   R O V E   I    FEN, FUN            14   MANIA       7
  3285. L           T I K E         G    TABU                12   RIB         6
  3286. O             L                  NEXT                11   AM          4
  3287. G             I                  AX                   9   END         6
  3288. I             T                  IT, TIKE            10   LURE        6
  3289. *             Y E                LEND, LOGIC*AL      79   OO*LOGICAL  8
  3290. A               R                FUND, JUD           27   ATE, MA     7
  3291. L E N D       M I                ROVE                14   LO          2
  3292.     E         A             Q    DARE, DE            13   ES, ES, RE  6
  3293. W A X     F E N             U    RE, ROW             14   IRE, IS, SO 7
  3294. E   T A B U   I             A    DARED, QUAD         22   ON          4
  3295. E         N   A M   D A R E D    WAX, WEE            27   WIG         9
  3296. P R E J U D I C A T E N E S S    CHIT, HA            14   ON          2
  3297.                                  PREJUDICATENESS,
  3298.                                    AN, MANIAC,
  3299.                                    QUADS, WEEP      911   OOP         8
  3300.                                  ZOOPSYCHOLOGIST,
  3301.                                    HABILITY, TWIG,
  3302.                                    ZOOLOGICAL      1175
  3303.                                  --------------------------------------
  3304.                                  Total:            2438              93
  3305.  
  3306.                                  F, N, V, T in
  3307.                                  loser's hand:      +10             -10
  3308.                                  --------------------------------------
  3309.                                  Final Score:      2448              83
  3310.  
  3311.  
  3312. ---------------------------------------------------------------------------
  3313. It is possible to form the following 14 7-letter OSPD words from the
  3314. non-blank tiles:
  3315.  
  3316. HUMANLY
  3317. FATUOUS
  3318. AMAZING
  3319. EERIEST
  3320. ROOFING
  3321. TOILERS
  3322. QUIXOTE
  3323. JEWELRY
  3324. CAPABLE
  3325. PREVIEW
  3326. BIDDERS
  3327. HACKING
  3328. OVATION
  3329. DONATED
  3330.  
  3331. ==> competition/games/set.p <==
  3332. What is the size of the largest collection of cards from which NO "set"
  3333. can be selected ?
  3334.  
  3335. ==> competition/games/set.s <==
  3336. I can get 20:
  3337.  
  3338. 1ROL
  3339. 1GDL
  3340. 1GDM
  3341. 1GOM
  3342. 1GSL
  3343. 1PDH
  3344. 1PDM
  3345. 1POL
  3346. 1POM
  3347. 2RSL
  3348. 2PDM
  3349. 3ROL
  3350. 3ROM
  3351. 3RSL
  3352. 3RSH
  3353. 3GDM
  3354. 3GOL
  3355. 3GSL
  3356. 3GSM
  3357. 3POM
  3358.  
  3359. This collection of 20 is a local maximum.
  3360.  
  3361. The small C progam shown below was used to check for all possible
  3362. extensions to a collection of 21.
  3363.  
  3364. Of course this leaves open the question whether there exists a completely
  3365. different collection of 21 from which no "set" can be selected.
  3366.  
  3367. -- Gene Miller
  3368.  
  3369. ------- C Program enclosed -------
  3370. #define N 21
  3371.  
  3372. static int data[N][4]= {
  3373.     1, 1, 2, 1, /* 00 */
  3374.     1, 2, 1, 1, /* 01 */
  3375.     1, 2, 1, 2, /* 02 */
  3376.     1, 2, 2, 2, /* 03 */
  3377.     1, 2, 3, 1, /* 04 */
  3378.     1, 3, 1, 3, /* 05 */
  3379.     1, 3, 1, 2, /* 06 */
  3380.     1, 3, 2, 1, /* 07 */
  3381.     1, 3, 2, 2, /* 08 */
  3382.     2, 1, 3, 1, /* 09 */
  3383.     2, 3, 1, 2, /* 10 */
  3384.     3, 1, 2, 1, /* 11 */
  3385.     3, 1, 2, 2, /* 12 */
  3386.     3, 1, 3, 1, /* 13 */
  3387.     3, 1, 3, 3, /* 14 */
  3388.     3, 2, 1, 2, /* 15 */
  3389.     3, 2, 2, 1, /* 16 */
  3390.     3, 2, 3, 1, /* 17 */
  3391.     3, 2, 3, 2, /* 18 */
  3392.     3, 3, 2, 2, /* 19 */
  3393.     0, 0, 0, 0  /* 20 */        /* leave space for Nth combo */
  3394. };
  3395.  
  3396. main()
  3397. {
  3398.     int x, y, z, w;
  3399.  
  3400.     for (x=1; x<=3; x++)        /* check all combos */
  3401.         for (y=1; y<=3; y++)
  3402.             for (z=1; z<=3; z++)
  3403.                 for (w=1; w<=3; w++)
  3404.                     printf ("%d %d %d %d -> sets=%d\n", x, y, z, w,
  3405.                         check (x, y, z, w));
  3406. }
  3407.  
  3408. int check(x,y,z,w)
  3409. int x, y, z, w;
  3410. {
  3411.     int i,j,k,m;
  3412.     int errors, sets;
  3413.  
  3414.     for (i=0; i<N; i++)         /* check for pre-existing combos */
  3415.         if (x==data[i][0] &&
  3416.             y==data[i][1] &&
  3417.             z==data[i][2] &&
  3418.             w==data[i][3] ) {
  3419.         return -1;              /* discard pre-existing*/
  3420.     }
  3421.  
  3422.     data[N-1][0] = x;   /* make this the Nth combo */
  3423.     data[N-1][1] = y;
  3424.     data[N-1][2] = z;
  3425.     data[N-1][3] = w;
  3426.  
  3427.     sets = 0;                   /* start counting sets */
  3428.     for (i=0; i<N; i++)         /* look for sets */
  3429.         for (j=i+1; j<N; j++)
  3430.             for (k=j+1; k<N; k++) {
  3431.                 errors = 0;
  3432.                 for (m=0; m<4; m++) {
  3433.                     if (data[i][m] == data[j][m]) {
  3434.                         if (data[k][m] != data[i][m]) errors++;
  3435.                         if (data[k][m] != data[j][m]) errors++;
  3436.                     }
  3437.                     else {
  3438.                         if (data[k][m] == data[i][m]) errors++;
  3439.                         if (data[k][m] == data[j][m]) errors++;
  3440.                     }
  3441.                 }
  3442.                 if (errors == 0)        /* no errors means is a set */
  3443.                     sets++; /* increment number of sets */
  3444.             }
  3445.     return sets;
  3446. }
  3447. --
  3448.  
  3449. I did some more experimenting. With the enclosed C program, I looked at many
  3450. randomly generated collections. In an earlier version of this program I
  3451. got one collection of 20 from a series of 100 trials. The rest were
  3452. collections
  3453. ranging in size from 16 to 19. Unfortunately, in an attempt to make this
  3454. program more readable and more general, I changed the algorithm slightly and
  3455. I haven't been able to achieve 20 since then. I can't remember enough about
  3456. my changes to be able to get back to the previous version. In the most recent
  3457. 1000 trials all of the maximaml collections range in size from 16 to 18.
  3458.  
  3459. I think that this experiment has shed very little light on what is the
  3460. global maximum, since the search space is many orders of magnitude larger
  3461. than what can be tried in a reasonable amount of time through random
  3462. searching.
  3463.  
  3464. I assume that Mr. Ring found his collection of 20 by hand. This indicates
  3465. that an intelligent search may be more fruitful than a purely random one.
  3466.  
  3467. ------------------ Program enclosed -------------
  3468. int n;
  3469. int data[81][4];
  3470.  
  3471. main()
  3472. {
  3473.     int i;
  3474.  
  3475.     for (i=0; i<1000; i++) {    /* Do 1000 independent trials */
  3476.         printf ("Trial %d:\n", i);
  3477.         try();
  3478.     }
  3479. }
  3480.  
  3481. try()
  3482. {
  3483.     int i;
  3484.     int x, y, z, w;
  3485.  
  3486.     n = 0;                      /* set collection size to zero */
  3487.     for (i=0; i<100; i++) {     /* try 100 random combos */
  3488.         x = 1 + rand()%3;
  3489.         y = 1 + rand()%3;
  3490.         z = 1 + rand()%3;
  3491.         w = 1 + rand()%3;
  3492.         check (x, y, z, w);
  3493.     }
  3494.  
  3495.     for (x=1; x<=3; x++)        /* check all combos */
  3496.         for (y=1; y<=3; y++)
  3497.             for (z=1; z<=3; z++)
  3498.                 for (w=1; w<=3; w++)
  3499.                     check (x, y, z, w);
  3500.  
  3501.     printf ("   collection size=%d\n", n);
  3502. }
  3503.  
  3504. int check(x, y, z, w)   /* check whether a new combo can be added */
  3505. int x, y, z, w;
  3506. {
  3507.     int i,j,k,m;
  3508.     int errors, sets;
  3509.  
  3510.     for (i=0; i<n; i++)         /* check for pre-existing combos */
  3511.         if (x==data[i][0] &&
  3512.             y==data[i][1] &&
  3513.             z==data[i][2] &&
  3514.             w==data[i][3] ) {
  3515.         return -1;              /* discard pre-existing*/
  3516.     }
  3517.  
  3518.     data[n][0] = x;     /* make this the nth combo */
  3519.     data[n][1] = y;
  3520.     data[n][2] = z;
  3521.     data[n][3] = w;
  3522.  
  3523.     sets = 0;                   /* start counting sets */
  3524.     for (i=0; i<=n; i++)                /* look for sets */
  3525.         for (j=i+1; j<=n; j++)
  3526.             for (k=j+1; k<=n; k++) {
  3527.                 errors = 0;
  3528.                 for (m=0; m<4; m++) {
  3529.                     if (data[i][m] == data[j][m]) {
  3530.                         if (data[k][m] != data[i][m]) errors++;
  3531.                         if (data[k][m] != data[j][m]) errors++;
  3532.                     }
  3533.                     else {
  3534.                         if (data[k][m] == data[i][m]) errors++;
  3535.                         if (data[k][m] == data[j][m]) errors++;
  3536.                     }
  3537.                 }
  3538.                 if (errors == 0)        /* no errors means is a set */
  3539.                     sets++; /* increment number of sets */
  3540.             }
  3541.     if (sets == 0) {
  3542.         n++;            /* increment collection size */
  3543.         printf ("%d %d %d %d\n", x, y, z, w);
  3544.     }
  3545.     return sets;
  3546. }
  3547. ------------------ end of enclosed program -------------
  3548. -- Gene
  3549. --
  3550. Gene Miller                     Multimedia Communications
  3551. NYNEX Science & Technology      Phone:  914 644 2834
  3552. 500 Westchester Avenue          Fax:    914 997 2997, 914 644 2260
  3553. White Plains, NY 10604          Email:  gene@nynexst.com
  3554.  
  3555. ==> competition/games/soma.p <==
  3556. What is the solution to Soma Cubes?
  3557.  
  3558. ==> competition/games/soma.s <==
  3559. The soma cube is dissected in excruciating detail in volume 2 of
  3560. "Winning Ways" by Conway, Berlekamp and Guy, in the same chapter as the
  3561. excruciatingly detailed dissection of Rubik's Cube.
  3562.  
  3563. ==> competition/games/square-1.p <==
  3564. Does anyone have any hints on how to solve the Square-1 puzzle?
  3565.  
  3566. ==> competition/games/square-1.s <==
  3567.                                 SHAPES
  3568.  
  3569. 1. There are 29 different shapes for a side, counting reflections:
  3570.     1 with 6 corners, 0 edges
  3571.     3 with 5 corners, 2 edges
  3572.    10 with 4 corners, 4 edges
  3573.    10 with 3 corners, 6 edges
  3574.     5 with 2 corners, 8 edges
  3575.  
  3576. 2. Naturally, a surplus of corners on one side must be compensated
  3577.    by a deficit of corners on the other side.  Thus there are 1*5 +
  3578.    3*10 + C(10,2) = 5 + 30 + 55 = 90 distinct combinations of shapes,
  3579.    not counting the middle layer.
  3580.  
  3581. 3. You can reach two squares from any other shape in at most 7 transforms,
  3582.    where a transform consists of (1) optionally twisting the top, (2)
  3583.    optionally twisting the bottom, and (3) flipping.
  3584.  
  3585. 4. Each transform toggles the middle layer between Square and Kite,
  3586.    so you may need 8 transforms to reach a perfect cube.
  3587.  
  3588. 5. The shapes with 4 corners and 4 edges on each side fall into four
  3589.    mutually separated classes.  Side shapes can be assigned values:
  3590.    0: Square, Mushroom, and Shield; 1: Left Fist and Left Paw; 2:
  3591.    Scallop, Kite, and Barrel; 3. Right Fist and Right Paw.  The top
  3592.    and bottom's sum or difference, depending on how you look at them,
  3593.    is a constant.  Notice that the side shapes with bilateral symmetry
  3594.    are those with even values.
  3595.  
  3596. 6. To change this constant, and in particular to make it zero, you must
  3597.    attain a position that does not have 4 corners and 4 edges on each
  3598.    side.  Almost any such position will do, but returning to 4 corners
  3599.    and 4 edges with the right constant is left to your ingenuity.
  3600.  
  3601. 7. If the top and bottom are Squares but the middle is a Kite, just flip
  3602.    with the top and bottom 30deg out of phase and you will get a cube.
  3603.  
  3604.                                 COLORS
  3605.  
  3606. 1. I do not know the most efficient way to restore the colors.  What
  3607.    follows is my own suboptimal method.  All flips keep the yellow
  3608.    stripe steady and flip the blue stripe.
  3609.  
  3610. 2. You can permute the corners without changing the edges, so first
  3611.    get the edges right, then the corners.
  3612.  
  3613. 3. This transformation sends the right top edge to the bottom
  3614.    and the left bottom edge to the top, leaving the other edges
  3615.    on the same side as they started:  Twist top 30deg cl, flip,
  3616.    twist top 30deg ccl, twist bottom 150deg cl, flip, twist bottom
  3617.    30deg cl, twist top 120deg cl, flip, twist top 30deg ccl, twist
  3618.    bottom 150deg cl, flip, twist bottom 30deg cl.  Cl and ccl are
  3619.    defined looking directly at the face.  With this transformation
  3620.    you can eventually get all the white edges on top.
  3621.  
  3622. 4. Check the parity of the edge sequence on each side.  If either is
  3623.    wrong, you need to fix it.  Sorry -- I don't know how!  (See any
  3624.    standard reference on combinatorics for an explanation of parity.)
  3625.  
  3626. 5. The following transformation cyclically permutes ccl all the top edges
  3627.    but the right one and cl all the bottom edges but the left one.  Apply
  3628.    the transformation in 3., and turn the whole cube 180deg.  Repeat.
  3629.    This is a useful transformation, though not a cure-all.
  3630.  
  3631. 6. Varying the transformation in 3. with other twists will produce other
  3632.    results.
  3633.  
  3634. 7. The following transformation changes a cube into a Comet and Star:
  3635.    Flip to get Kite and Kite.  Twist top and bottom cl 90deg and flip to get
  3636.    Barrel and Barrel.  Twist top cl 30 and bottom cl 60 and flip to get
  3637.    Scallop and Scallop.  Twist top cl 60 and bottom cl 120 and flip to
  3638.    get Comet and Star.  The virtue of the Star is that it contains only
  3639.    corners, so that you can permute the corners without altering the edges.
  3640.  
  3641. 8. To reach a Lemon and Star instead, replace the final bottom cl 120 with
  3642.    a bottom cl 60.  In both these transformation the Star is on the bottom.
  3643.  
  3644. 9. The following transformation cyclically permutes all but the bottom
  3645.    left rear.  It sends the top left front to the bottom, and the bottom
  3646.    left front to the top.  Go to Comet and Star.  Twist star cl 60.
  3647.    Go to Lemon and Star -- you need not return all the way to the cube, but
  3648.    do it if you're unsure of yourself by following 7 backwards.  Twist star
  3649.    cl 60.  Return to cube by following 8 backwards.  With this transformation
  3650.    you should be able to get all the white corners on top.
  3651.  
  3652. 10. Check the parity of the corner sequences on both sides.  If the bottom
  3653.    parity is wrong, here's how to fix it:  Go to Lemon and Star.  The
  3654.    colors on the Star will run WWGWWG.  Twist it 180 and return to cube.
  3655.  
  3656. 11. If the top parity is wrong, do the same thing, except that when you
  3657.    go from Scallop and Scallop to Lemon and Star, twist the top and bottom
  3658.    ccl instead of cl.  The colors on the Star should now run GGWGGW.
  3659.  
  3660. 12. Once the parity is right on both sides, the basic method is to
  3661.    go to Comet and Star, twist the star 120 cl (it will be WGWGWG),
  3662.    return to cube, twist one or both sides, go to Comet and Star,
  3663.    undo the star twist, return to cube, undo the side twists.
  3664.    With no side twists, this does nothing.  If you twist the top,
  3665.    you will permute the top corners.  If you twist the bottom,
  3666.    you will permute the bottom corners.  Eventually you will get
  3667.    both the top and the bottom right.  Don't forget to undo the
  3668.    side twists -- you need to have the edges in the right places.
  3669.  
  3670. Happy twisting....
  3671. --
  3672. Col. G. L. Sicherman
  3673. gls@windmill.att.COM
  3674.  
  3675. ==> competition/games/think.and.jump.p <==
  3676. THINK & JUMP:  FIRST THINK, THEN JUMP UNTIL YOU
  3677.                ARE LEFT WITH ONE PEG!                      O - O   O - O
  3678.                                                           / \ / \ / \ / \
  3679.                                                          O---O---O---O---O
  3680. BOARD DESCRIPTION:  To the right is a model of            \ / \ / \ / \ /
  3681.                     the Think & Jump board.  The       O---O---O---O---O---O
  3682.                     O's represent holes which         / \ / \ / \ / \ / \ / \
  3683.                     contain pegs.                    O---O---O---O---O---O---O
  3684.                                                       \ / \ / \ / \ / \ / \ /
  3685.                                                        O---O---O---O---O---O
  3686. DIRECTIONS:  To play this brain teaser, you begin         / \ / \ / \ / \
  3687.              by removing the center peg.  Then,          O---O---O---O---O
  3688.              moving any direction in the grid,            \ / \ / \ / \  /
  3689.              jump over one peg at a time,                  O - O   O - O
  3690.              removing the jumped peg - until only
  3691.              one peg is left.  It's harder then it looks.
  3692.              But it's more fun than you can imagine.
  3693.  
  3694. SKILL CHART:
  3695.  
  3696.         10 pegs left - getting better
  3697.          5 pegs left - true talent
  3698.          1 peg  left - you're a genius
  3699.  
  3700. Manufactured by Pressman Toy Corporation, NY, NY.
  3701.  
  3702. ==> competition/games/think.and.jump.s <==
  3703. Three-color the board in the obvious way.  The initial configuration has 12
  3704. of each color, and each jump changes the parity of all three colors.  Thus,
  3705. it is impossible to achieve any position where the colors do not have the
  3706. same parity; in particular, (1,0,0).
  3707.  
  3708. If you remove the requirement that the initially-empty cell must be at the
  3709. center, the game becomes solvable.  The demonstration is left as an exercise.
  3710.  
  3711. Karl Heuer   rutgers!harvard!ima!haddock!karl   karl@haddock.ima.isc.com
  3712.  
  3713.  
  3714.  
  3715.  
  3716. Here is one way of reducing Think & Jump to two pegs.
  3717.  
  3718.  
  3719. Long simplifies Balsley's scintillating snowflake solution:
  3720.  
  3721. 1  U-S           A - B   C - D
  3722. 2  H-U          / \ / \ / \ / \
  3723. 3  V-T         E---F---G---H---I
  3724. 4  S-H          \ / \ / \ / \ /
  3725. 5  D-M       J---K---L---M---N---O
  3726. 6  F-S      / \ / \ / \ / \ / \ / \
  3727. 7  Q-F     P---Q---R---S---T---U---V
  3728. 8  A-L      \ / \ / \ / \ / \ / \ /
  3729. 9  S-Q       W---X---Y---Z---a---b
  3730. 10 P-R          / \ / \ / \ / \
  3731. 11 Z-N         c---d---e---f---g
  3732. 12 Y-K          \ / \ / \ / \ /
  3733. 13 h-Y           h - i   j - k
  3734. 14 k-Z
  3735.  
  3736. The board should now be in the snowflake pattern, i.e. look like
  3737.  
  3738.          o - *   * - o
  3739.         / \ / \ / \ / \
  3740.        *---o---*---o---*
  3741.         \ / \ / \ / \ /
  3742.      *---*---*---*---*---*
  3743.     / \ / \ / \ / \ / \ / \
  3744.    o---o---o---o---o---o---o
  3745.     \ / \ / \ / \ / \ / \ /
  3746.      *---*---*---*---*---*
  3747.         / \ / \ / \ / \
  3748.        *---o---*---o---*
  3749.         \ / \ / \ / \ /
  3750.          o - *   * - o
  3751.  
  3752. where o is empty and * is a peg.  The top and bottom can now be reduced
  3753. to single pegs individually.  For example, we could continue
  3754.  
  3755. 15 g-T
  3756. 16 Y-a
  3757. 17 i-Z
  3758. 18 T-e
  3759. 19 j-Y
  3760. 20 b-Z
  3761. 21 c-R
  3762. 22 Z-X
  3763. 23 W-Y
  3764. 24 R-e
  3765.  
  3766. which finishes the bottom.  The top can be done in a similar manner.
  3767. --
  3768. Chris Long
  3769.  
  3770. ==> competition/games/tictactoe.p <==
  3771. In random tic-tac-toe, what is the probability that the first mover wins?
  3772.  
  3773. ==> competition/games/tictactoe.s <==
  3774. Count cases.
  3775.  
  3776. First assume that the game goes on even after a win.  (Later figure
  3777. out who won if each player gets a row of three.)  Then there are
  3778. 9!/5!4! possible final boards, of which
  3779.  
  3780.         8*6!/2!4! - 2*6*4!/0!4! - 3*3*4!/0!4! - 1 = 98
  3781.  
  3782. have a row of three Xs.  The first term is 8 rows times (6 choose 2)
  3783. ways to put down the remaining 2 Xs.  The second term is the number
  3784. of ways X can have a diagonal row plus a horizontal or vertical row.
  3785. The third term is the number of ways X can have a vertical and a
  3786. horizontal row, and the 4th term is the number of ways X can have two
  3787. diagonal rows.  All the two-row configurations must be subtracted to
  3788. avoid double-counting.
  3789.  
  3790. There are 8*6!/1!5! = 48 ways O can get a row.  There is no double-
  3791. counting problem since only 4 Os are on the final board.
  3792.  
  3793. There are 6*2*3!/2!1! = 36 ways that both players can have a
  3794. row.  (6 possible rows for X, each leaving 2 possible rows for O
  3795. and (3 choose 2) ways to arrange the remaining row.)  These
  3796. cases need further consideration.
  3797.  
  3798. There are 98 - 36 = 62 ways X can have a row but not O.
  3799.  
  3800. There are 48 - 36 = 12 ways O can have a row but not X.
  3801.  
  3802. There are 126 - 36 - 62 - 12 = 16 ways the game can be a tie.
  3803.  
  3804. Now consider the 36 configurations in which each player has a row.
  3805. Each such can be achieved in 5!4! = 2880 orders.  There are 3*4!4!
  3806. = 1728 ways that X's last move completes his row.  In these cases O
  3807. wins.  There are 2*3*3!3! = 216 ways that Xs fourth move completes
  3808. his row and Os row is already done in three moves.  In these cases O
  3809. also wins.  Altogether, O wins 1728 + 216 = 1944 out of 2880 times
  3810. in each of these 36 configurations.  X wins the other 936 out of
  3811. 2880.
  3812.  
  3813. Altogether, the probability of X winning is ( 62 + 36*(936/2880) ) / 126.
  3814.  
  3815. win:   737 / 1260  ( 0.5849206... )
  3816. lose:  121 / 420   ( 0.2880952... )
  3817. draw:  8 / 63      ( 0.1269841... )
  3818.  
  3819. The computer output below agress with this analysis.
  3820.  
  3821. 1000000 games:  won 584865, lost 288240, tied 126895
  3822.  
  3823. Instead, how about just methodically having the program play every
  3824. possible game, tallying up who wins?
  3825.  
  3826. Wonderful idea, especially since there are only 9! ~ 1/3 million
  3827. possible games.  Of course some are identical because they end in
  3828. fewer than 8 moves.  It is clear that these should be counted
  3829. multiple times since they are more probable than games that go
  3830. longer.
  3831.  
  3832. The result:
  3833. 362880 games:  won 212256, lost 104544, tied 46080
  3834.  
  3835. #include <stdio.h>
  3836.  
  3837. int     board[9];
  3838. int     N, move, won, lost, tied;
  3839.  
  3840. int     perm[9] = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 };
  3841.  
  3842. int     rows[8][3] = {
  3843.   { 0, 1, 2 }, { 3, 4, 5 }, { 6, 7, 8 }, { 0, 3, 6 },
  3844.   { 1, 4, 7 }, { 2, 5, 8 }, { 0, 4, 8 }, { 2, 4, 6 }
  3845. };
  3846.  
  3847.  
  3848. main()
  3849. {
  3850.   do {
  3851.     bzero((char *)board, sizeof board);
  3852.     for ( move=0; move<9; move++ ) {
  3853.       board[perm[move]] = (move&1) ? 4 : 1;
  3854.       if ( move >= 4 && over() )
  3855.         break;
  3856.     }
  3857.     if ( move == 9 )
  3858.       tied++;
  3859. #ifdef DEBUG
  3860.     printf("%1d%1d%1d\n%1d%1d%1d  w %d, l %d, t %d\n%1d%1d%1d\n\n",
  3861.            board[0], board[1], board[2],
  3862.            board[3], board[4], board[5], won, lost, tied,
  3863.            board[6], board[7], board[8]);
  3864. #endif
  3865.     N++;
  3866.   } while ( nextperm(perm, 9) );
  3867.  
  3868.   printf("%d games:  won %d, lost %d, tied %d\n", N, won, lost, tied);
  3869.   exit(0);
  3870. }
  3871.  
  3872. int     s;
  3873. int     *row;
  3874.  
  3875. over()
  3876. {
  3877.   for ( row=rows[0]; row<rows[8]; row+=3 ) {
  3878.     s = board[row[0]] + board[row[1]] + board[row[2]];
  3879.     if ( s == 3 )
  3880.       return ++won;
  3881.     if ( s == 12 )
  3882.       return ++lost;
  3883.   }
  3884.   return 0;
  3885. }
  3886.  
  3887. nextperm(c, n)
  3888. int     c[], n;
  3889. {
  3890.   int   i = n-2, j=n-1, t;
  3891.  
  3892.   while ( i >= 0 && c[i] >= c[i+1] )
  3893.     i--;
  3894.   if ( i < 0 )
  3895.     return 0;
  3896.   while ( c[j] <= c[i] )
  3897.     j--;
  3898.   t = c[i];  c[i] = c[j];  c[j] = t;
  3899.   i++;  j = n-1;
  3900.   while ( i < j ) {
  3901.     t = c[i];  c[i] = c[j];  c[j] = t;
  3902.     i++;  j--;
  3903.   }
  3904.   return 1;
  3905. }
  3906.  
  3907.  
  3908.  
  3909. ==> competition/tests/analogies/long.p <==
  3910. 1. Host : Guest :: Cynophobia : ?
  3911. 2. Mountain : Plain :: Acrocephalic : ?
  3912. 3. Lover : Believer :: Philofelist : ?
  3913. 4. 4 : 6 :: Bumblebee : ?
  3914. 5. 2 : 1 :: Major : ?
  3915. 6. 1 : 24 :: Group : ?
  3916. 7. 4 : 64 :: Crotchet : ?
  3917. 8. Last : First :: Grave : ?
  3918. 9. 7 : 9 :: Throne : ?
  3919. 10. Pride : Hatred :: Beelzebub : ?
  3920. 11. Dollar : Bond :: Grant : ?
  3921. 12. Ek : Sankh :: 1 : ?
  3922.  
  3923. ==> competition/tests/analogies/long.s <==
  3924. 1. Lyssophobia
  3925.  
  3926. Cynophobia is the fear of dogs; lyssophobia is the fear of rabies.  As
  3927. Rodney Adams pointed out, a word meaning the fear of fleas would be
  3928. even better, but I've been unable to locate such a word (although
  3929. surely one must exists).
  3930.  
  3931. 2. Homalocephalic
  3932.  
  3933. Acrocephalic is having a pointed head; homalocephalic is having a flat
  3934. head.  Rodney Adamas suggested "planoccipital", but on checking this
  3935. apparently refers to having a flat back of the skull, so he only gets
  3936. partial credit.
  3937.  
  3938. 3. Galeanthropist
  3939.  
  3940. A philofelist is a cat-lover (also commonly called an ailurophile);
  3941. a galeanthropist is a person who believes they are a cat.
  3942.  
  3943. 4. Blue Bird
  3944.  
  3945. A Camp Fire Girl who is 4 is in the Bumblebee Club; a Campfire Girl
  3946. who is 6 in the Blue Bird Club.  I should have had "4 or 5" instead
  3947. of "4" to remove ambiguity (e.g. Mark Brader suggested "triplane").
  3948.  
  3949. 5. Brigadier
  3950.  
  3951. A 2-star general in the army is a major general; a 1-star general
  3952. in the army is a brigadier general.
  3953.  
  3954. 6. Field Army
  3955.  
  3956. Army groupings; there are 24 "groups" in a "field army".
  3957.  
  3958. 7. Hemidemisemiquaver
  3959.  
  3960. A crotchet is a quarter-note; a hemidemisemiquaver is a sixty-fourth
  3961. note.  Rodney Adams and Mark Brader both got this.
  3962.  
  3963. 8. Prestissimo
  3964.  
  3965. In music prestissimo means extremely fast; grave means very slow to
  3966. the point of solemnity.  This question was poorly worded (I received
  3967. both "womb" and "cradle" as answers).
  3968.  
  3969. 9. Seraph
  3970.  
  3971. In the ninefold hierarchy of angels, a throne ranks 7th and a seraph
  3972. 9th (9th being most powerful).  Rodney Adams got this one.
  3973.  
  3974. 10. Sonneillon
  3975.  
  3976. In Father Sebastien Machaelis's (one of the more famous exorcists)
  3977. hierarchy of devils, Beelzebub is responsible for pride, Sonneillon
  3978. for hatred.
  3979.  
  3980. 11. Roosevelt
  3981.  
  3982. Grant is on the $50 bill; Roosevelt on the $50 savings bond.
  3983.  
  3984. 12. 10^14
  3985.  
  3986. Ek is 1 in Hindi; sankh is 10^14 (one hundred quadrillion).
  3987. --
  3988. Chris Long, 265 Old York Rd., Bridgewater, NJ  08807-2618
  3989.  
  3990. ==> competition/tests/analogies/pomfrit.p <==
  3991. 1. NATURAL: ARTIFICIAL :: ANKYLOSIS: ?
  3992. 2.  RESCUE FROM CHOKING ON FOOD, etc.: HEIMLICH :: ADJUSTING MIDDLE EAR
  3993. PRESSUR
  3994. E: ?
  3995. 3. LYING ON OATH: PERJURY :: INFLUENCING A JURY: ?
  3996. 4. RECTANGLE: ELLIPSE :: MERCATOR: ?
  3997. 5. CLOSED: CLEISTOGAMY :: OPEN: ?
  3998. 6. FO'C'SLE: SYNCOPE :: TH'ARMY: ?
  3999. 7. FILMS: OSCAR :: MYSTERY NOVELS: ?
  4000. 8. QUANTITATIVE DATA: STATISTICS :: HUMAN SETTLEMENTS: ?
  4001. 9. 7: 19 : : SEPTIMAL: ?
  4002. 10. 3 TO 2: SESQUILATERAL :: 7 TO 5: ?
  4003. 11. SICILY: JAPAN :: MAFIA: ?
  4004. 12. CELEBRITIES: SYCOPHANTIC :: ANCESTORS: ?
  4005. 13. 95: 98 :: VENITE: ?
  4006. 14. MINCES: EYES :: PORKIES: ?
  4007. 15. POSTAGE STAMPS: PHILATELIST: MATCHBOX LABELS: ?
  4008. 16. MALE: FEMALE :: ARRENOTOKY: ?
  4009. 17 TAILOR: DYER :: SARTORIAL: ?
  4010. 18. HERMES: BACCHUS :: CADUCEUS: ?
  4011. 19. 2823: 5331 :: ELEPHANT: ?
  4012. 20. CENTRE OF GRAVITY: BARYCENTRIC :: ROTARY MOTION: ?
  4013. 21. CALIFORNIA: EUREKA :: NEW YOKK: ?
  4014. 22. MARRIAGE: DIGAMY :: COMING OF CHRIST: ?
  4015. 23. 6: 5 :: PARR: ?
  4016. 24. GROUP: INDIVIDUAL :: PHYLOGENESIS: ?
  4017. 25. 12: 11 :: EPSOM: ?
  4018.  
  4019. ==> competition/tests/analogies/pomfrit.s <==
  4020. 1. ARTHRODESIS
  4021. 2. VALSALVA
  4022. 3. EMBRACERY
  4023. 4. MOLLWEIDE
  4024. 5. CHASMOGAMY
  4025. 6. SYNAL(O)EPHA
  4026. 7. EDGAR
  4027. 8. EKISTICS
  4028. 9. DECENNOVAL
  4029. 10. SUPERBIQUINTAL
  4030. 11. YAKUZA
  4031. 12. FILIOPETISTIC
  4032. 13. CANTATE
  4033. 14. LIES
  4034. 15. PHILLUMENIST
  4035. 16. THELYTOKY
  4036. 17. TINCTORIAL
  4037. 18. THYRSUS
  4038. 19. ANTIQUARIAN
  4039. 20. TROCHILIC
  4040. 21. EXCELSIOR (mottos)
  4041. 22. PAROUSIA
  4042. 23. HOWARD (wives of Henry VIII)
  4043. 24. ONTOGENESIS
  4044. 25. GLAUBER (salts)
  4045.  
  4046.  
  4047.  
  4048. ==> competition/tests/analogies/quest.p <==
  4049. 1. Mother: Maternal :: Stepmother: ?
  4050. 2. Club: Axe :: Claviform: ?
  4051. 3. Cook Food: Pressure Cooker :: Kill Germs: ?
  4052. 4. Water: Air :: Hydraulic: ?
  4053. 5. Prediction: Dirac :: Proof: ?
  4054. 6. Raised: Sunken :: Cameo: ?
  4055. 7. 1: 14 :: Pound: ?
  4056. 8. Malay: Amok :: Eskimo Women: ?
  4057. 9. Sexual Intercourse: A Virgin :: Bearing Children: ?
  4058. 10. Jaundice, Vomiting, Hemorrhages: Syndrome :: Jaundice: ?
  4059. 11. Guitar: Cello :: Segovia: ?
  4060. 12. Bars: Leaves :: Eagle: ?
  4061. 13. Roll: Aileron :: Yaw: ?
  4062. 14. 100: Century :: 10,000: ?
  4063. 15. Surface: Figure :: Mobius: ?
  4064. 16. Logic: Philosophy :: To Know Without Conscious Reasoning: ?
  4065. 17. Alive: Parasite :: Dead: ?
  4066. 18. Sea: Land :: Strait: ?
  4067. 19. Moses: Fluvial :: Noah: ?
  4068. 20. Remnant: Whole :: Meteorite: ?
  4069. 21. Opossum, Kangaroo, Wombat: Marsupial :: Salmon, Sturgeon, Shad: ?
  4070. 22. Twain/Clemens: Allonym :: White House/President: ?
  4071. 23. Sculptor: Judoka :: Fine: ?
  4072. 24. Dependent: Independent :: Plankton: ?
  4073. 25. Matthew, Mark, Luke, John: Gospels :: Joshua-Malachi: ?
  4074. 26. Luminous Flux: Lumen :: Sound Absorption: ?
  4075. 27. 2: 3 :: He: ?
  4076. 28. Growth: Temperature :: Pituitary Gland: ?
  4077. 29. Spider: Arachnoidism :: Snake: ?
  4078. 30. Epigram: Anthology :: Foreign Passages: ?
  4079. 31. Pathogen: Thermometer :: Lethal Wave: ?
  4080. 32. Russia: Balalaika :: India: ?
  4081. 33. Involuntary: Sternutatory :: Voluntary: ?
  4082. 34. Unusual Hunger: Bulimia :: Hunger for the Unusual: ?
  4083. 35. Blind: Stag :: Tiresias: ?
  4084. 36. River: Fluvial :: Rain: ?
  4085. 37. Country: City :: Tariff: ?
  4086. 38. $/Dollar: Logogram :: 3, 5, 14, 20/Cent: ?
  4087. 39. Lung Capacity: Spirometer :: Arterial Pressure: ?
  4088. 40. Gold: Ductile :: Ceramic: ?
  4089. 41. 7: 8 :: Uranium: ?
  4090. 42. Judaism: Messiah :: Islam: ?
  4091. 43. Sight: Amaurosis :: Smell: ?
  4092. 44. Oceans: Cousteau :: Close Encounters of the Third Kind: ?
  4093. 45. Diamond/Kimberlite: Perimorph :: Fungus/Oak: ?
  4094. 46. Compulsion to Pull One's Hair: Trichotillomania ::
  4095.     Imagine Oneself As a Beast: ?
  4096. 47. Cross: Neutralism :: Hexagram: ?
  4097. 48. Wing: Tail :: Fuselage: ?
  4098. 49. Bell: Loud :: Speak: ?
  4099. 50. Benevolence: Beg :: Philanthropist: ?
  4100. 51. 10: Decimal :: 20: ?
  4101. 52. Five-sided Polyhedron: Pentahedron :: ?
  4102.     Faces of Parallelepiped Bounded by a Square: ?
  4103. 53. Motor: Helicopter :: Airflow: ?
  4104. 54. Man: Ant :: Barter: ?
  4105. 55. United States: Soviet Union :: Cubism: ?
  4106. 56. State: Stipend :: Church: ?
  4107. 57. Motorcycle: Bicycle :: Motordrome: ?
  4108. 58. Transparent: Porous :: Obsidian: ?
  4109. 59. pi*r^2*h: 1/3*pi*r^2*h :: Cylinder: ?
  4110.  
  4111. ==> competition/tests/analogies/quest.s <==
  4112. Annotated solutions.
  4113.  
  4114. If there is more than one word that fits the analogy, we list the best
  4115. word first.  Goodness of fit considers many factors, such as parallel
  4116. spelling, pronunciation or etymology.  In general, a word that occurs
  4117. in Merriam-Webster's Third New International Dictionary is superior to
  4118. one that does not.  If we are unsure of the answer, we mark it with
  4119. a question mark.
  4120.  
  4121. Most of these answers are drawn from Herbert M. Baus, _The Master
  4122. Crossword Puzzle Dictionary_, Doubleday, New York, 1981.  The notation
  4123. in parentheses refers to the heading and subheading, if any, in Baus.
  4124.  
  4125. 1. Mother: Maternal :: Stepmother: Novercal (STEPMOTHER, pert.)
  4126. 2. Club: Axe :: Claviform: Dolabriform, Securiform (AXE, -shaped)
  4127.     "Claviform" is from Latin "clava" for "club"; "securiform" is from
  4128.     Latin "secura" for "axe"; "dolabriform" is from Latin "dolabra" for "to
  4129.     hit with an axe."  Thus "securiform" has the more parallel etymology.
  4130.     However, only "dolabriform" occurs in Merriam-Webster's Third New
  4131.     International Dictionary.
  4132. 3. Cook Food: Pressure Cooker :: Kill Germs: Autoclave (PRESSURE, cooker)
  4133. 4. Water: Air :: Hydraulic: Pneumatic (AIR, pert.)
  4134. 5. Prediction: Dirac :: Proof: Anderson (POSITRON, discoverer)
  4135. 6. Raised: Sunken :: Cameo: Intaglio (GEM, carved)
  4136. 7. 1: 14 :: Pound: Stone (ENGLAND, weight)
  4137. 8. Malay: Amok :: Eskimo Women: Piblokto (ESKIMO, hysteria)
  4138. 9. Sexual Intercourse: A Virgin :: Bearing Children: A Nullipara
  4139. 10. Jaundice, Vomiting, Hemorrhages: Syndrome :: Jaundice: Symptom (EVIDENCE)
  4140. 11. Guitar: Cello :: Segovia: Casals (SPAIN, cellist)
  4141. 12. Bars: Leaves :: Eagle: Stars (INSIGNIA)
  4142. 13. Roll: Aileron :: Yaw: Rudder (AIRCRAFT, part)
  4143. 14. 100: Century :: 10,000: Myriad, Banzai? (NUMBER)
  4144.      "Century" usually refers to one hundred years, while "myriad" refers
  4145.      to 10,000 things, but "century" can also mean 100 things.  "Banzai"
  4146.      is Japanese for 10,000 years.
  4147. 15. Surface: Figure :: Mobius: Klein
  4148. 16. Logic: Philosophy ::
  4149.     To Know Without Conscious Reasoning: Theosophy (MYSTICISM)
  4150.      There are many schools of philosophy that tout the possibility of
  4151.      knowledge without conscious reasoning (e.g., intuitionism).
  4152.      "Theosophy" is closest in form to the word "philosophy."
  4153. 17. Alive: Parasite :: Dead: Saprophyte (SCAVENGER)
  4154. 18. Sea: Land :: Strait: Isthmus (CONNECTION)
  4155. 19. Moses: Fluvial :: Noah: Diluvial (FLOOD, pert.)
  4156. 20. Remnant: Whole :: Meteorite: Meteoroid? (METEOR)
  4157.      A meteorite is the remains of a meteoroid after it has
  4158.      partially burned up in the atmosphere.  The original meteoroid
  4159.      may have come from an asteroid, comet, dust cloud, dark matter,
  4160.      supernova, interstellar collision or other sources as yet unknown.
  4161. 21. Opossum, Kangaroo, Wombat: Marsupial ::
  4162.     Salmon, Sturgeon, Shad: Andromous (SALMON)
  4163. 22. Twain/Clemens: Allonym :: White House/President: Metonym (FIGURE, of
  4164. speech
  4165. )
  4166. 23. Sculptor: Judoka :: Fine: Martial (SELF, -defense)
  4167. 24. Dependent: Independent :: Plankton: Nekton (ANIMAL, free-swimming)
  4168. 25. Matthew, Mark, Luke, John: Gospels ::
  4169.     Joshua-Malachi: Nebiim (HEBREW, bible books)
  4170. 26. Luminous Flux: Lumen :: Sound Absorption: Sabin (SOUND, absorption unit)
  4171. 27. 2: 3 :: He: Li (ELEMENT)
  4172. 28. Growth: Temperature :: Pituitary Gland: Hypothalamus (BRAIN, part)
  4173. 29. Spider: Arachnoidism :: Snake: Ophidism, Ophidiasis, Ophiotoxemia
  4174.      None of these words is in Webster's Third.
  4175. 30. Epigram: Anthology :: Foreign Passages: Chrestomathy, Delectus
  4176. (COLLECTION)
  4177.      These words are equally good answers.
  4178. 31. Pathogen: Thermometer :: Lethal Wave: Dosimeter? (X-RAY, measurement)
  4179.      What does "lethal wave" refer to?  If it is radiation, then
  4180.      a dosimeter measures the dose, not the effect, as does a thermometer.
  4181. 32. Russia: Balalaika :: India: Sitar, Sarod (INDIA, musical instrument)
  4182.      Both are guitar-like instruments (lutes) native to India.
  4183. 33. Involuntary: Sternutatory :: Voluntary: Expectorant? (SPIT)
  4184.      A better word would be an agent that tends to cause snorting or
  4185.      exsufflation, which is the voluntary, rapid expulsion of air from
  4186.      the lungs.
  4187. 34. Unusual Hunger: Bulimia ::
  4188.     Hunger for the Unusual: Allotriophagy, Pica (HUNGER, unusual)
  4189.     These words are synonyms.
  4190. 35. Blind: Stag :: Tiresias: Actaeon (STAG, changed to)
  4191. 36. River: Fluvial :: Rain: Pluvial (RAIN, part.)
  4192. 37. Country: City :: Tariff: Octroi (TAX, kind)
  4193. 38. $/Dollar: Logogram :: 3, 5, 14, 20/Cent: Cryptogram (CODE)
  4194. 39. Lung Capacity: Spirometer ::
  4195.     Arterial Pressure: Sphygmomanometer (PULSE, measurer)
  4196. 40. Gold: Ductile :: Ceramic: Fictile (CLAY, made of)
  4197. 41. 7: 8 :: Uranium: Neptunium (ELEMENT, chemical)
  4198. 42. Judaism: Messiah :: Islam: Mahdi (MOHAMMEDAN, messiah)
  4199. 43. Sight: Amaurosis :: Smell: Anosmia, Anosphresia (SMELL, loss)
  4200.      These words are synonyms.
  4201. 44. Oceans: Cousteau :: Close Encounters of the Third Kind: Spielburg,
  4202. Truffaut
  4203.      Steven Spielburg was the person most responsible for the movie;
  4204.      Francois Truffaut was a French person appearing in the movie.
  4205. 45. Diamond/Kimberlite: Perimorph ::
  4206.     Fungus/Oak: Endophyte, Endoparasite (PARASITE, plant)
  4207.      An endoparasite is parasitic, while an endophyte may not be.  Which
  4208.      answer is best depends upon the kind of fungus.
  4209. 46. Compulsion to Pull One's Hair: Trichotillomania ::
  4210.     Imagine Oneself As a Beast: Zoanthropy, Lycanthropy
  4211.      Neither word is exactly right: "zoanthropy" means imagining oneself
  4212.      to be an animal, while "lycanthropy" means imagining oneself to be
  4213.      a wolf.
  4214. 47. Cross: Neutralism :: Hexagram: Zionism (ISRAEL, doctrine)
  4215. 48. Wing: Tail :: Fuselage: Empennage, Engines, Waist? (TAIL, kind)
  4216.      "Empennage" means the tail assemply of an aircraft, which is more a
  4217.      synonym for "tail" than "wing" is for "fuselage."  The four primary
  4218.      forces on an airplane are: lift from the wings, negative lift from
  4219.      the tail, drag from the fuselage, and thrust from the engines.  The
  4220.      narrow part at the end of the fuselage is called the "waist."
  4221. 49. Bell: Loud :: Speak: Hear, Stentorian?
  4222.      The Sanskrit root of "bell" means "he talks" or "he speaks"; the
  4223.      Sanskrit root of "loud" means "he hears".  A bell that makes a lot
  4224.      of noise is loud; a speaker who makes a lot of noise is stentorian.
  4225. 50. Benevolence: Beg :: Philanthropist: Mendicant, Mendicate?
  4226.      If the analogy is attribute: attribute :: noun: noun, the answer
  4227.      is "mendicant";  if the analogy is noun: verb :: noun: verb the
  4228.      answer is "mendicate."
  4229. 51. 10: Decimal :: 20: Vigesimal (TWENTY, pert.)
  4230. 52. Five-sided Polyhedron: Pentahedron ::
  4231.     Faces of Parallelepiped Bounded by a Square: ?
  4232.      Does this mean a parallelepiped all of whose faces are bounded by
  4233.      a square (and what does "bounded" mean), or does it mean all six
  4234.      parallelograms that form the faces of a parallelepiped drawn in a
  4235.      plane inside of a square?
  4236. 53. Motor: Helicopter :: Airflow: Autogiro (HELICOPTER)
  4237. 54. Man: Ant :: Barter: Trophallaxis
  4238. 55. United States: Soviet Union :: Cubism: ? (ART, style)
  4239.      If the emphasis is on opposition and collapse, there were several
  4240.      movements that opposed Cubism and that died out (e.g., Purism,
  4241.      Suprematism, Constructivism).  If the emphasis is on freedom of
  4242.      perspective versus constraint, there were several movements that
  4243.      emphasized exact conformance with nature (e.g., Naturalism, Realism,
  4244.      Photo-Realism).  If the emphasis is on dominating the art
  4245.      scene, the only movement that was contemporary with Cubism and
  4246.      of the same popularity as Cubism was Surrealism.  A better answer
  4247.      would be an art movement named "Turkey-ism", since the Soviet Union
  4248.      offered to exchange missiles in Cuba for missiles in Turkey during
  4249.      the Cuban Missile Crisis.
  4250. 56. State: Stipend :: Church: Prebend (STIPEND)
  4251. 57. Motorcycle: Bicycle :: Motordrome: Velodrome (CYCLE, track)
  4252. 58. Transparent: Porous :: Obsidian: Pumice (GLASS, volcanic)
  4253. 59. pi*r^2*h: 1/3*pi*r^2*h :: Cylinder: Cone
  4254.  
  4255. ==> competition/tests/math/putnam/putnam.1967.p <==
  4256.  
  4257. In article <5840002@hpesoc1.HP.COM>, nicholso@hpesoc1.HP.COM (Ron Nicholson)
  4258. wr
  4259. ites:
  4260. > Say that we have a hallway with n lockers, numbered from sequentialy
  4261. > from 1 to n.  The lockers have two possible states, open and closed.
  4262. > Initially all the lockers are closed.  The first kid who walks down the
  4263. > hallway flips every locker to the opposite state, that is, opens them
  4264. > all.  The second kid flips the first locker door and every other locker
  4265. > door to the opposite state, that is, closes them.  The third kid flips
  4266. > every third door, opening some, closing others.  The forth kid does every
  4267. > fourth door, etc.
  4268. >
  4269. > After n kid have passed down the hallway, which lockers are open, and
  4270. > which are closed?
  4271.  
  4272. B4.  (a) Kids run down a row of lockers, flipping doors (closed doors
  4273. are opened and opened doors are closed).  The nth boy flips every nth
  4274. lockers' door.  If all the doors start out closed, which lockers will
  4275. remain closed after infinitely many kids?
  4276.  
  4277. ==> competition/tests/math/putnam/putnam.1967.s <==
  4278. B4.  (a) Only lockers whose numbers have an odd number of factors will remain
  4279. closed, which are the squares.
  4280.  
  4281. ==> competition/tests/math/putnam/putnam.1987.p <==
  4282. WILLIAM LOWELL PUTNAM MATHEMATICAL COMPETITION
  4283.  
  4284. FORTY EIGHTH ANNUAL   Saturday, December 5, 1987
  4285.  
  4286. Examination A;
  4287.  
  4288. Problem A-1
  4289. ------- ---
  4290.  
  4291. Curves A, B, C, and D, are defined in the plane as follows:
  4292.  
  4293. A = { (x,y) : x^2 - y^2 = x/(x^2 + y^2) },
  4294.  
  4295. B = { (x,y) : 2xy + y/(x^2 + y^2) = 3 },
  4296.  
  4297. C = { (x,y) : x^3 - 3xy^2 + 3y = 1 },
  4298.  
  4299. D = { (x,y) : 3yx^2 - 3x - y^3 = 0 }.
  4300.  
  4301. Prove that the intersection of A and B is equal to the intersection of
  4302. C and D.
  4303.  
  4304.  
  4305. Problem A-2
  4306. ------- ---
  4307.  
  4308. The sequence of digits
  4309.  
  4310. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 ...
  4311.  
  4312. is obtained by writing the positive integers in order.  If the 10^n th
  4313. digit in this sequence occurs in the part of the sequence in which the
  4314. m-digit numbers are placed, define f(n) to be m.  For example f(2) = 2
  4315. because the 100th digit enters the sequence in the placement of the
  4316. two-digit integer 55.  Find, with proof, f(1987).
  4317.  
  4318.  
  4319. Problem A-3
  4320. ------- ---
  4321.  
  4322. For all real x, the real valued function y = f(x) satisfies
  4323.  
  4324.                 y'' - 2y' + y = 2e^x.
  4325.  
  4326. (a)  If f(x) > 0 for all real x, must f'(x) > 0 for all real x?  Explain.
  4327.  
  4328. (b)  If f'(x) > 0 for all real x, must f(x) > 0 for all real x?  Explain.
  4329.  
  4330.  
  4331. Problem A-4
  4332. ------- ---
  4333.  
  4334. Let P be a polynomial, with real coefficients, in three variables and F
  4335. be a function of two variables such that
  4336.  
  4337.         P(ux,uy,uz) = u^2*F(y-x,z-x) for all real x,y,z,u,
  4338.  
  4339. and such that P(1,0,0) = 4, P(0,1,0) = 5, and P(0,0,1) = 6.  Also let
  4340. A,B,C be complex numbers with P(A,B,C) = 0 and |B-A| = 10.  Find
  4341. |C-A|.
  4342.  
  4343.  
  4344. Problem A-5
  4345. ------- ---
  4346.  
  4347.     ^
  4348. Let G(x,y) = ( -y/(x^2 + 4y^2) , x/(x^2 + 4y^2), 0 ).  Prove or disprove
  4349. that there is a vector-valued function
  4350.  
  4351.         ^
  4352.         F(x,y,z) = ( M(x,y,z) , N(x,y,z) , P(x,y,z) )
  4353.  
  4354. with the following properties:
  4355.  
  4356.  
  4357.         (1)  M,N,P have continuous partial derivatives for all
  4358.                (x,y,z) <> (0,0,0) ;
  4359.  
  4360.                   ^   ^
  4361.         (2)  Curl F = 0 for all (x,y,z) <> (0,0,0) ;
  4362.  
  4363.              ^          ^
  4364.         (3)  F(x,y,0) = G(x,y).
  4365.  
  4366.  
  4367. Problem A-6
  4368. ------- ---
  4369.  
  4370. For each positive integer n, let a(n) be the number of zeros in the
  4371. base 3 representation of n.  For which positive real numbers x does
  4372. the series
  4373.  
  4374.                          inf
  4375.                         -----
  4376.                         \     x^a(n)
  4377.                          >    ------
  4378.                         /      n^3
  4379.                         -----
  4380.                         n = 1
  4381.  
  4382. converge?
  4383. --
  4384.  
  4385.  
  4386. Examination B;
  4387.  
  4388. Problem B-1
  4389. ------- ---
  4390.  
  4391.          4/        (ln(9-x))^(1/2)  dx
  4392. Evaluate  | --------------------------------- .
  4393.          2/ (ln(9-x))^(1/2) + (ln(x+3))^(1/2)
  4394.  
  4395.  
  4396. Problem B-2
  4397. ------- ---
  4398.  
  4399. Let r, s, and t be integers with 0 =< r, 0 =< s, and r+s =< t.
  4400.  
  4401. Prove that
  4402.  
  4403.         ( s )     ( s )     ( s )           ( s )
  4404.         ( 0 )     ( 1 )     ( 2 )           ( s )          t+1
  4405.         ----- +  ------- + ------- + ... + ------- = ---------------- .
  4406.         ( t )    (  t  )   (  t  )         (  t  )   ( t+1-s )( t-s )
  4407.         ( r )    ( r+1 )   ( r+2 )         ( r+s )            (  r  )
  4408.  
  4409.  
  4410.         ( n )                                  n(n-1)...(n+1-k)
  4411. ( Note: ( k ) denotes the binomial coefficient ---------------- .)
  4412.                                                 k(k-1)...3*2*1
  4413.  
  4414.  
  4415. Problem B-3
  4416. ------- ---
  4417.  
  4418. Let F be a field in which 1+1 <> 0.  Show that the set of solutions to
  4419. the equation x^2 + y^2 = 1 with x and y in F is given by
  4420.  
  4421.                             (x,y) = (1,0)
  4422.  
  4423.                                       r^2 - 1     2r
  4424.                         and (x,y) = ( ------- , ------- ),
  4425.                                       r^2 + 1   r^2 + 1
  4426.  
  4427. where r runs through the elements of F such that r^2 <> -1.
  4428.  
  4429.  
  4430. Problem B-4
  4431. ------- ---
  4432.  
  4433. Let ( x(1), y(1) ) = (0.8,0.6) and let
  4434.  
  4435.                     x(n+1) = x(n)*cos(y(n)) - y(n)*sin(y(n))
  4436.  
  4437.                 and y(n+1) = x(n)*sin(y(n)) + y(n)*cos(y(n))
  4438.  
  4439. for n = 1,2,3,...  .  For each of the limits as n --> infinity of
  4440. x(n) and y(n), prove that the limit exists and find it or prove that
  4441. the limit does not exist.
  4442.  
  4443.  
  4444. Problem B-5
  4445. ------- ---
  4446.  
  4447. Let O(n) be the n-dimensional zero vector (0,0,...,0).  Let M be a
  4448. 2n x n matrix of complex numbers such that whenever
  4449. ( z(1), z(2), ..., z(2n)*M = O(n), with complex z(i), not all zero,
  4450. then at least one of the z(i) is not real.  Prove that for arbitrary
  4451. real number r(1), r(2), ..., r(2n), there are complex numbers w(1),
  4452. w(2), ..., w(n) such that
  4453.  
  4454.                    (   ( w(1) ) )   ( r(1)  )
  4455.                    (   (  .   ) )   (   .   )
  4456.                 Re ( M*(  .   ) ) = (   .   )  .
  4457.                    (   (  .   ) )   (   .   )
  4458.                    (   ( w(n) ) )   ( r(2n) )
  4459.  
  4460. (Note:  If C is a matrix of complex numbers, Re(C) is the matrix whose
  4461. entries are the real parts of entries of C.)
  4462.  
  4463.  
  4464. Problem B-6
  4465. ------- ---
  4466.  
  4467. Let F be the field of p^2 elements where p is an odd prime.  Suppose S
  4468. is a set of (p^2-1)/2 distinct nonzero elements of F with the property
  4469. that for each a <> 0 in F, exactly one of a and -a is in S.  Let N be
  4470. the number of elements in the intersection of S with { 2a : a e S }.
  4471. Prove that N is even.
  4472. --
  4473.  
  4474. ==> competition/tests/math/putnam/putnam.1987.s <==
  4475. Problem A-1
  4476. ------- ---
  4477.  
  4478. Let z=x+i*y.  Then A and B are the real and imaginary parts of
  4479. z^2=3i+1/z, and C, D are likewise Re and Im of z^3-3iz=1, and
  4480. the two equations are plainly equivalent.  Alternatively, having
  4481. seen this, we can formulate a solution that avoids explicitly
  4482. invoking the complex numbers, starting with C=xA-yB, D=yA+xB.
  4483.  
  4484. Problem A-2
  4485. ------- ---
  4486.  
  4487. Counting, we see that the numbers from 1 to n digits take
  4488. up (10^n*(9n-1)+1)/9 spaces in the above sequence.  Hence we need
  4489. to find the least n for which 10^n*(9n-1)+1 > 9*10^1987, but it
  4490. is easy to see that n = 1984 is the minimum such.  Therefore
  4491. f(1987) = 1984.
  4492.  
  4493. In general, I believe, f(n) = n + 1 - g(n), where g(n) equals
  4494. the largest value of m such that (10^m-1)/9 + 1 =< n if n>1,
  4495. and g(0) = g(1) is defined to be 0.
  4496.  
  4497. Hence, of course, g(n) = [log(9n-8)] if n>0.  Therefore
  4498.  
  4499.  
  4500.                 f(0) = 1,
  4501.  
  4502.                 f(n) = n + 1 - [log(9n-8)] for n>0.
  4503. Q.E.D.
  4504.  
  4505.  
  4506. Problem A-3
  4507. ------- ---
  4508.  
  4509. We have a differential equation, solve it.  The general solution is
  4510.  
  4511.                 y = f(x) = e^x*(x^2 + a*x + b),
  4512.  
  4513. where a and b are arbitrary real constants.  Now use completing the
  4514. square and the fact that e^x > 0 for all real x to deduce that
  4515.  
  4516.  
  4517.         (1)  f(x) > 0 for all real x iff 4b > a^2.
  4518.  
  4519.         (2)  f'(x) > 0 for all real x iff 4b > a^2 + 4.
  4520.  
  4521.  
  4522. It is now obvious that (2) ==> (1) but (1) /==> (2).
  4523.  
  4524. Q.E.D.
  4525.  
  4526. Problem A-4
  4527. ------- ---
  4528.  
  4529. Setting x=0, u=1 we find F(y,z)=P(0,y,z) so F is a polynomial; keeping
  4530. x=0 but varying u we find F(uy,uz)=u^2*F(y,z), so F is homogeneous of
  4531. degree 2, i.e. of the form Ay^2+Byz+Cz^2, so
  4532.         P(x,y,z)=R(y-x)^2+S(y-x)(z-x)+T(z-x)^2
  4533. for some real R,S,T.  The three given values of P now specify three
  4534. linear equations on R,S,T, easily solved to give (A,B,C)=(5,-7,6).
  4535. If now P(A,B,C)=0 then (C-A)=r(B-A), r one of the two roots of
  4536. 5-7r+6r^2.  This quadratic has negative discrminant (=-71) so its
  4537. roots are complex conjugates; since their product is 5/6, each
  4538. one has absolute value sqrt(5/6).  (Yes, you can also use the
  4539. Quadratic Equation.)  So if B-A has absolute value 10, C-A must
  4540. have absolute value 10*sqrt(5/6)=5*sqrt(30)/3.
  4541.  
  4542. Problem A-5
  4543. ------- ---
  4544.  
  4545. There is no such F.  Proof: assume on the contrary that G extends
  4546. to a curl-free vector field on R^3-{0}.  Then the integral of G
  4547. around any closed path in R^3-{0} vanishes because such a path
  4548. bounds some surface [algebraic topologists, read: because
  4549. H^2(R^3-{0},Z)=0 :-) ].  But we easily see that the integral
  4550. of F around the closed path z=0, x^2+4y^2=1 (any closed path
  4551. in the xy-plane that goes around the origin will do) is nonzero---
  4552. contradiction.
  4553.  
  4554. Problem A-6
  4555. ------- ---
  4556.  
  4557. For n>0 let
  4558.  
  4559. T(n) = x^a(n)/n^3       and     U(n) = T(3n) + T(3n+1) + T(3n+2)
  4560.  
  4561. and for k>=0 let
  4562.  
  4563. Z(k) = sum {n=3^k to 3^(k+1)-1} T(n)
  4564.  
  4565. We have
  4566.  
  4567. Z(k+1)  = sum {n=3^(k+1) to 3^(k+2)-1} T(n)
  4568.         = sum {n=3^k to 3^(k+1)-1} [T(3n) + T(3n+1) + T(3n+2)]
  4569.         = sum {n=3^k to 3^(k+1)-1} U(n)
  4570.  
  4571. Let us compare U(n) to T(n). We have a(3n)=a(n)+1 and a(3n+1)=a(3n+2)=a(n).
  4572. Thus
  4573.  
  4574. U(n) = x^[a(n)+1]/(3n)^3 + x^a(n)/(3n+1)^3 + x^a(n)/(3n+2)^3
  4575.  
  4576. and so U(n) has as upper bound
  4577.  
  4578. x^a(n) * (x+2)/(3n)^3 = T(n) * (x+2)/27
  4579.  
  4580. and as lower bound
  4581.  
  4582. x^a(n) * (x+2)/(3n+2)^3 = T(n) * (x+2)/(3+2/n)^3
  4583.  
  4584. in other words U(n) = T(n) * (x+2)/(27+e(n)), where e(n)<(3+2/n)^3-27 tends to
  4585. 0 when n tends to infinity. It follows then that
  4586.  
  4587. Z(k+1)= Z(k)*(x+2)/(27+f(k))
  4588.  
  4589. where f(k)<(3+2/3^k)^3-27 tends to 0 for n tending to infinity.
  4590.  
  4591. Now the series is the sum of all Z(k). Thus for x>25 we have Z(k+1)>Z(k) for k
  4592. large enough, and the series diverges; for x<25 we have Z(k+1)< r * Z(k) (with
  4593. r=(x+2)/27<1) for every k, and the series converges. For x=25 the series
  4594. diverges too (I think so), because Z(k+1)/Z(k) tends to 1 for k tending to
  4595. infinity.
  4596.  
  4597. Another proof:
  4598.  
  4599. I would say,for x<25.  Let S(m) be the sum above taken over 3^m <= n <
  4600. 3^(m+1).
  4601. Then for the n's in S(m), the base 3 representation of n has m+1 digits.
  4602. Hence we can count the number of n's with a(n)=k as being the number
  4603. of ways to choose a leading nonzero digit, times the number of ways
  4604. to choose k positions out of the m other digits for the k zeroes, times
  4605. the number of ways to choose nonzero digits for the m-k remaining positions,
  4606. namely
  4607.  
  4608.   ( m )  m-k
  4609. 2 (   ) 2   .
  4610.   ( k )
  4611.  
  4612. Hence we have
  4613.  
  4614. 3^(m+1)-1                m
  4615. -----                  -----
  4616. \            a(n)      \        ( m )  m-k k
  4617.  >          x      =    >     2 (   ) 2   x
  4618. /                      /        ( k )
  4619. -----                  -----
  4620. n=3^m                   k=0
  4621.  
  4622.                             m
  4623.                    = 2 (x+2)  .
  4624.                                        m  -3m             m -3(m+1)
  4625. Hence we can bound S(m) between 2 (x+2)  3     and 2 (x+2) 3       .
  4626. It is then clear that the original sum converges just when
  4627.  
  4628.  inf
  4629. -----
  4630. \           m -3m
  4631.  >     (x+2) 3                converges, or when x<25.
  4632. /
  4633. -----
  4634.  m=0
  4635.  
  4636. Problem B-1
  4637. ------- ---
  4638.  
  4639. Write the integrand as
  4640.  
  4641.                              (ln(x+3))^(1/2)
  4642.                 1 - --------------------------------- .
  4643.                     (ln(9-x))^(1/2) + (ln(x+3))^(1/2)
  4644.  
  4645. Use the change of variables x = 6-t on the above and the fact that
  4646. the two are equal to deduce that the original is equal to 1.
  4647.  
  4648. QED.
  4649.  
  4650. Problem B-3
  4651. ------- ---
  4652.  
  4653. First note that the above values for x and y imply that
  4654. x^2 + y^2 = 1.  On the other foot note that if x<>1 ,x^2 + y^2 = 1,
  4655. and 2 <> 0, then (x,y) is of the required form, with r = y/(1-x).
  4656. Also note that r^2 <> -1, since this would imply x = 1.
  4657.  
  4658. Derivation of r:  We want x = (r^2-1)/(r^2+1) ==> 1-x = 2/(r^2+1),
  4659. and also y = 2r/(r^2+1) ==> 1-x = (2y)/(2r) if 2<>0.  Hence if
  4660. 2<>0, r = y/(1-x).
  4661.  
  4662. The above statement is false in some cases if 1+1 = 0 in F.  For
  4663. example, in Z(2) the solution (0,1) is not represented.
  4664.  
  4665. QED.
  4666.  
  4667. Problem B-4
  4668. ------- ---
  4669.  
  4670. Observe that the vector (x(n+1), y(n+1)) is obtained from (x(n), y(n))
  4671. by a rotation through an angle of y(n).  So if Theta(n) is the inclination
  4672. of (x(n), y(n)), then for all n,
  4673.  
  4674.         Theta(n+1) = Theta(n) + y(n)
  4675.  
  4676. Furthermore, all vectors have the same length, namely that of (x1, y1),
  4677. which is 1.  Therefore y(n) = sin (Theta(n)) and x(n) = cos (Theta(n)).
  4678.  
  4679. Thus the recursion formula becomes
  4680.  
  4681. (*)     Theta(n+1) = Theta(n) + sin (Theta(n))
  4682.  
  4683. Now 0 < Theta(1) < pi.  By induction 0 < sin(Theta(n)) = sin(pi - Theta(n))
  4684. < pi - Theta(n), so 0 < Theta(n+1) < Theta(n) + (pi - Theta(n)) = pi.
  4685.  
  4686. Consequently, {Theta(n)} is an increasing sequence bounded above by pi, so
  4687. it has a limit, Theta.  From (*) we get Theta = Theta + sin(Theta),
  4688. so with Theta in the interval (0,pi], the solution is Theta = pi.
  4689.  
  4690. Thus lim (x(n),y(n)) = (cos(Theta), sin(Theta)) = (-1, 0).
  4691.  
  4692. Problem B-5
  4693. ------- ---
  4694.  
  4695. First note that M has rank n, else its left nullspace N has C-dimension >n
  4696. and so R-dimension >2n, and thus nontrivially intersects the R-codimension
  4697. 2n subspace of vectors all of whose coordinates are real.  Thus the
  4698. subspace V of C^(2n) spanned by M's columns has C-dimsension n and so
  4699. R-dimension 2n, and to prove the R-linear map Re: V-->R^(2n) surjective,
  4700. we need only prove it injective.  So assume on the contrary that v is
  4701. a nonzero vector in V all of whose coordinates are purely imaginary,
  4702. and let W be the orthogonal complement of <v>; this is a subspace of
  4703. C^(2n) of C-dim. 2n-1 and R-dim. 4n-2 .  W contains N,
  4704. which we've seen has R-dimension 2n; it also contains the
  4705. orthogonal complement of <i*v> in R^(2n), which has R-dimension 2n-1.
  4706. Since (2n)+(2n-1) > (4n-2), these two real subspaces of W intersect
  4707. nontrivially, producing a nonzero real vector in N---contradiction.
  4708. So Re: V-->R^(2n) indeed has zero kernel and cokernel, Q.E.D. .
  4709.  
  4710. Problem B-6
  4711. ------- ---
  4712.  
  4713. Let P be the product of elements of S; then P'=2^|S|*P, the product of
  4714. the elements of 2S, is either P or -P according to whether |2S-S| is
  4715. even or odd.  (each element of 2S is either in S or in -S, so match
  4716. the factors in the products for P and P'.)  But by Fermat's little
  4717. theorem, 2^(p-1)=1, and since |S|=(p^2-1)/2=(p-1)*(p+1)/2 is a multiple
  4718. of p-1, also 2^|S|=1 and P=P', Q.E.D. .
  4719.  
  4720. This solution--analogous to one of Gauss' proof of Quadratic
  4721. Reciprocity--is undoubtedly what the proposers had in mind, and had
  4722. it been the only solution, B-6 would be a difficult problem on a par
  4723. with B-6 problems of previous years.  Unfortunately, just knowing
  4724. that F* is a cyclic group of order |F|-1 for any finite field F,
  4725. one can split F* into cosets of the subgroup generated by 2 and -1
  4726. and produce a straightforward, albeit plodding and uninspired, proof.
  4727. I wonder how many of the contestants' answers to B-6 went this way
  4728. and how many found the intended solution.
  4729.  
  4730. Another proof:
  4731.  
  4732. Given such a set S, it is immediate to verify that for any a in S, if
  4733. one deletes a and adjoins -a to obtain a new set S' then the number
  4734. of elements in the intersection of S' and 2S' is congruent (modulo 2)
  4735. to the number of elements in the intersection of S and 2S.  If S and
  4736. S' are any two sets meeting the condition of this problem, then S can
  4737. be changed to S' by repeating this operation several times.  So, it
  4738. suffices to prove the result for any one set S meeting the condition of
  4739. the problem.  A simple candidate for such an S is obtained by letting
  4740. (u, v) be a basis for F over the field of p elements and letting S
  4741. be the unions of the sets {au + bv: 1 <= u <= (p-1)/2, 0 <= b < p} and
  4742. {bv: 0 <= b < (p-1)/2}.  An elementary counting argument completes the
  4743. proof.
  4744.  
  4745. ==> competition/tests/math/putnam/putnam.1988.p <==
  4746. Problem A-1: Let R be the region consisting of the points (x,y) of the
  4747. cartesian plane satisfying both |x| - |y| <= 1 and |y| <= 1.  Sketch
  4748. the region R and find its area.
  4749.  
  4750. Problem A-2: A not uncommon calculus mistake is to believe that the
  4751. product rule for derivatives says that (fg)' = f'g'.  If f(x) =
  4752. exp(x^2), determine, with proof, whether there exists an open interval
  4753. (a,b) and a non-zero function g defined on (a,b) such that the wrong
  4754. product rule is true for x in (a,b).
  4755.  
  4756. Problem A-3: Determine, with proof, the set of real numbers x for
  4757. which  sum from n=1 to infinity of ((1/n)csc(1/n) - 1)^x  converges.
  4758.  
  4759. Problem A-4:
  4760. (a) If every point on the plane is painted one of three colors, do
  4761. there necessarily exist two points of the same color exactly one inch
  4762. apart?
  4763. (b) What if "three" is replaced by "nine"?
  4764. Justify your answers.
  4765.  
  4766. Problem A-5: Prove that there exists a *unique* function f from the
  4767. set R+ of positive real numbers to R+ such that
  4768.         f(f(x)) = 6x - f(x)  and  f(x) > 0  for all x > 0.
  4769.  
  4770. Problem A-6: If a linear transformation A on an n-dimensional vector
  4771. space has n + 1 eigenvectors such that any n of them are linearly
  4772. independent, does it follow that A is a scalar multiple of the
  4773. identity?  Prove your answer.
  4774.  
  4775. ---------------------------------------------------------------------------
  4776.  
  4777. Problem B-1: A *composite* (positive integer) is a product ab with a
  4778. and b not necessarily distinct integers in {2,3,4,...}.  Show that
  4779. every composite is expressible as xy + xz + yz + 1, with x, y, and z
  4780. positive integers.
  4781.  
  4782. Problem B-2: Prove or disprove: If x and y are real numbers with y >= 0
  4783. and y(y+1) <= (x+1)^2, then y(y-1) <= x^2.
  4784.  
  4785. Problem B-3: For every n in the set Z+ = {1,2,...} of positive
  4786. integers, let r(n) be the minimum value of |c-d sqrt(3)| for all
  4787. nonnegative integers c and d with c + d = n.  Find, with proof, the
  4788. smallest positive real number g with r(n) <= g for all n in Z+.
  4789.  
  4790. Problem B-4: Prove that if  sum from n=1 to infinity a(n)  is a
  4791. convergent series of positive real numbers, then so is
  4792. sum from n=1 to infinity (a(n))^(n/(n+1)).
  4793.  
  4794. Problem B-5: For positive integers n, let M(n) be the 2n + 1 by 2n + 1
  4795. skew-symmetric matrix for which each entry in the first n subdiagonals
  4796. below the main diagonal is 1 and each of the remaining entries below
  4797. the main diagonal is -1.  Find, with proof, the rank of M(n).
  4798. (According to the definition the rank of a matrix is the largest k
  4799. such that there is a k x k submatrix with non-zero determinant.)
  4800.  
  4801. One may note that M(1) = (  0 -1  1 ) and M(2) = (  0 -1 -1  1  1 )
  4802.                          (  1  0 -1 )            (  1  0 -1 -1  1 )
  4803.                          ( -1  1  0 )            (  1  1  0 -1 -1 )
  4804.                                                  ( -1  1  1  0 -1 )
  4805.                                                  ( -1 -1  1  1  0 )
  4806.  
  4807. Problem B-6: Prove that there exist an infinite number of ordered
  4808. pairs (a,b) of integers such that for every positive integer t the
  4809. number at + b is a triangular number if and only if t is a triangular
  4810. number.  (The triangular numbers are the t(n) = n(n + 1)/2 with n in
  4811. {0,1,2,...}.)
  4812.  
  4813. ==> competition/tests/math/putnam/putnam.1988.s <==
  4814. %
  4815. %  Layout
  4816. %
  4817. \def\layout{\hsize 150truemm  % 210mm - 1in * 2 for margins
  4818.                 \vsize 246truemm  % 297mm - 1in * 2 for margins
  4819.                 \advance \vsize by -24 pt
  4820.                 \topskip=10pt plus 1 pt}
  4821. \magnification=1200
  4822. \layout
  4823. \parindent=0pt
  4824. \parskip=\medskipamount
  4825. \newdimen\digitindent \digitindent=16truemm
  4826. \newdimen\solindent \solindent=24truemm
  4827. \newdimen\problemskip\newdimen\subproblemskip
  4828. \problemskip=\bigskipamount \subproblemskip=\medskipamount
  4829. \hoffset=\digitindent
  4830. \def\problem #1 { \vskip \problemskip\hskip-\digitindent\hbox to\digitindent
  4831.                   {\bf #1\hfill}\ignorespaces}
  4832. \def\solution #1 { \vskip \problemskip\hskip-\solindent\hbox to\solindent
  4833.                   {\bf #1\hfill}\ignorespaces}
  4834. \def\notes #1 { \vskip \problemskip\hskip-\solindent\hbox to\solindent
  4835.                   {\bf #1\hfill}\ignorespaces}
  4836. \def\subproblem #1 {\vskip \subproblemskip\hskip-\digitindent
  4837.                      \hbox to\digitindent{\hfill{\bf #1}\hfill}\ignorespaces}
  4838. \def\endpage {\vfill\supereject\dosupereject}
  4839. \headline={\headlinemacro}
  4840. \footline={\hfil}
  4841. \def\activeheadline{\hglue -\digitindent
  4842.                      Chris Long, Rutgers University \hfill January 22, 1989}
  4843. \let\headlinemacro=\activeheadline
  4844. \advance \baselineskip by 6pt
  4845. %
  4846. % Aliases
  4847. %
  4848. \def\streck{\hbox {\vbox {\vfill \hrule width 0.5pt height 6pt \vskip 0.7pt}}}
  4849. \def\C{\hbox{\hskip 1.5pt \streck \hskip -3.2pt {\rm C}}}
  4850. \def\Q{\hbox{ \streck \hskip -3pt {\rm Q}}}
  4851. \def\negativethinspace{\mskip-\thinmuskip}
  4852. \def\R{\hbox{$\rm I \negativethinspace R $}}
  4853. \def\Z{\hbox{$\rm Z \negativethinspace  \negativethinspace Z $}}
  4854. \def\N{\hbox{$\rm I \negativethinspace N $}}
  4855. \def\H{\hbox{$\rm I \negativethinspace H $}}
  4856. \def\adj{\rm adj}
  4857. \def\det{\rm det}
  4858. \def\Matrix#1{\left\lgroup\matrix{#1}\rgroup\right}
  4859. \def\mod #1 {({\rm mod~}#1)}
  4860. \def\Mod #1 {\ ({\rm mod~}#1)}
  4861. \def\ceil#1{\lceil #1 \rceil}
  4862. \def\floor#1{\lfloor #1 \rfloor}
  4863. %
  4864. %  Body of article
  4865. %
  4866. \problem {A-1:}
  4867. Let $R$ be the region consisting of the points $(x,y)$ of the cartesian
  4868. plane satisfying both $|x| - |y| \le 1$ and $|y| \le 1$.  Sketch the
  4869. region $R$ and find its area.
  4870.  
  4871. \solution {Solution:}
  4872. The area is $6$; the graph I leave to the reader.
  4873.  
  4874. \problem {A-2:}
  4875. A not uncommon calculus mistake is to believe that the product rule for
  4876. derivatives says that $(fg)' = f'g'$.  If $f(x) = e^{x^{2}}$, determine,
  4877. with proof, whether there exists an open interval $(a,b)$ and a non-zero
  4878. function $g$ defined on $(a,b)$ such that the wrong product rule
  4879. is true for $x$ in $(a,b)$.
  4880.  
  4881. \solution {Solution:}
  4882. We find all such functions.  Note that $(fg)' = f'g' \Rightarrow f'g'
  4883. = f'g + fg'$ hence if $g(x), f'(x) - f(x) \neq 0$ we get that $g'(x)/g(x)
  4884. = f'(x)/(f'(x) - f(x))$.  For the particular $f$ given, we then get that
  4885. $g'(x)/g(x) = (2x)e^{x^2}/( (2x-1) (e^{x^2}) ) \Rightarrow g'(x)/g(x) =
  4886. 2x/(2x-1)$ (since $e^{x^2} > 0$).  Integrating, we deduce that $\ln{|g(x)|}
  4887. = x + (1/2)\ln{|2x-1|} + c$ (an arbitrary constant) $\Rightarrow |g(x)|
  4888. = e^{c} \sqrt{|2x-1|} e^{x} \Rightarrow g(x) = C \sqrt{|2x-1|} e^{x}, C$
  4889. arbitrary $\neq 0$.  We finish by noting that any $g(x)$ so defined is
  4890. differentiable on any open interval that does not contain $1/2$.
  4891.  
  4892. Q.E.D.
  4893.  
  4894. \problem {A-3:}
  4895. Determine, with proof, the set of real numbers $x$ for which
  4896. $\sum_{n=1}^{\infty} {( {1\over n} \csc ({1\over n}) - 1)}^{x}$
  4897. converges.
  4898.  
  4899. \solution {Solution:}
  4900. The answer is $x > {1\over 2}$.  To see this, note that by Taylor's
  4901. theorem with remainder $\sin( {1\over{n}} ) = \sum_{i=1}^{k-1}
  4902. { {(-1)}^{i-1} {n}^{-(2i+1)} } + c { {(-1)}^{k-1} {n}^{-(2k+1)} }$,
  4903. where $0 \leq c \leq {1\over n}$.  Hence for $n\geq 1 ( 1/n )/( 1/n -
  4904. 1/(3! n^{3}) + 1/(5! n^{5}) - 1 < (1/n) \csc(1/n) - 1 < ( 1/n )/( 1/n
  4905. - 1/(3! n^{3}) ) - 1 \Rightarrow$ for $n$ large enough, $ (1/2) 1/(3! n^{2})
  4906. < (1/n) \csc(1/n) - 1 < 2\cdot 1/(3! n^{2})$.  Applying the p-test and the
  4907. comparison test, we see that $\sum_{n=1}^{\infty} {( {1\over n}
  4908. \csc({1\over n}) - 1)}^{x}$ converges iff $x > {1\over 2}$.
  4909.  
  4910. Q.E.D.
  4911.  
  4912. \problem {A-4:}
  4913. Justify your answers.
  4914.  
  4915. \subproblem {(a)}
  4916. If every point on the plane is painted one of three colors, do there
  4917. necessarily exist two points of the same color exactly one inch apart?
  4918.  
  4919. \solution {Solution:}
  4920. The answer is yes.  Assume not and consider two equilateral
  4921. triangles with side one that have exactly one common face $\Rightarrow$
  4922. all points a distance of $\sqrt{3}$ apart are the same color; now
  4923. considering a triangle with sides $\sqrt{3}, \sqrt{3}, 1$ we reach the
  4924. desired contradiction.
  4925.  
  4926. Here is a pretty good list of references for the chromatic number of
  4927. the plane (i.e., how many colors do you need so that no two points 1
  4928. away are the same color) up to around 1982 (though the publication
  4929. dates are up to 1985). This asks for the chromatic number of the graph
  4930. where two points in R^2 are connected if they are distance 1 apart.
  4931. Let this chromatic number be chi(2) and in general let chi(n) be the
  4932. chromatic number of R^n. By a theorem in [2] this is equivalent to
  4933. finding what the maximum chromatic number of a finite subgraph of this
  4934. infinite graph is.
  4935.  
  4936. [1]  H. Hadwiger, ``Ein Ueberdeckungssatz f\"ur den
  4937.       Euklidischen Raum,'' Portugal. Math. #4 (1944), p.140-144
  4938.  
  4939.       This seems to be the original reference for the problem
  4940.  
  4941. [2] N.G. de Bruijn and P. Erd\"os, ``A Color Problem for Infinite
  4942.     Graphs and a Problem in the Theory of Relations,'' Nederl. Akad.
  4943.     Wetensch. (Indag Math) #13 (1951), p. 371-373.
  4944.  
  4945. [3] H. Hadwiger, ``Ungel\"oste Probleme No. 40,'' Elemente der Math.
  4946.     #16 (1961), p. 103-104.
  4947.  
  4948.     Gives the upper bound of 7 with the hexagonal tiling and also
  4949.     a reference to a Portugese journal where it appeared.
  4950.  
  4951. [4] L. Moser and W. Moser, ``Solution to Problem 10,'' Canad. Math.
  4952.     Bull. #4 (1961), p. 187-189.
  4953.  
  4954.     Shows that any 6 points in the plane only need 3 colors but
  4955.     gives 7 points that require 4 (``the  Moser Graph'' see [7]).
  4956.  
  4957. [5] Paul Erd\"os, Frank Harary, and William T. Tutte, ``On the
  4958.     Dimension of a Graph,'' Mathematika #12 (1965), p. 118-122.
  4959.  
  4960.     States that 3<chi(2)<8. Proves that chi(n) is finite for all n.
  4961.  
  4962. [6] P. Erd\"os, ``Problems and Results in Combinatorial Geometry,''
  4963.     in ``Discrete Geometry and Convexity,'' Edited by Jacob E. Goodman,
  4964.     Erwin Lutwak, Joseph Malkevitch, and Richard Pollack, Annals of
  4965.     the New York Academy of Sciences Vol. 440, New York Academy of
  4966.     Sciences 1985, Pages 1-11.
  4967.  
  4968.     States that 3<chi(n)<8 and ``I am almost sure that chi(2)>4.''
  4969.     States a question of L. Moser: Let R be large and S a measurable
  4970.     set in the circle of radius R so that no two points of S have
  4971.     distance 1. Denote by m(S) the measure of S. Determine
  4972.  
  4973.            Lim_{R => infty} max m(S)/R^2.
  4974.  
  4975.     Erd\"os conjectures that this limit is less than 1/4.
  4976.  
  4977.     Erd\"os asks the following: ``Let S be a subset of the plane. Join
  4978.     two points of S if their distances is 1. This gives a graph G(S).
  4979.     Assume that the girth (shortest circuit) of G(S) is k. Can its
  4980.     chromatic number be greater than 3? Wormald proved that such
  4981.     a graph exists for k<6. The problem is open for k>5. Wormald
  4982.     suggested that this method may work for k=6, but probably a
  4983.     new idea is needed for k>6. A related (perhaps identical)
  4984.     question is: `Does G(S) have a subgraph that has girth k and
  4985.     chromatic number 4?' ''
  4986.  
  4987. [7] N. Wormald, ``A 4-chromatic graph with a special plane drawing,''
  4988.     J. Austr.  Math. Soc. Ser. A #28 (1970), p. 1-8.
  4989.  
  4990.     The reference for the above question.
  4991.  
  4992. [8] R.L. Graham, ``Old and New Euclidean Ramsey Theorems,''
  4993.     in ``Discrete Geometry and Convexity,'' Edited by Jacob E. Goodman,
  4994.     Erwin Lutwak, Joseph Malkevitch, and Richard Pollack, Annals of
  4995.     the New York Academy of Sciences Vol. 440, New York Academy of
  4996.     Sciences 1985, Pages 20-30.
  4997.  
  4998.     States that the best current bounds are 3<chi(2)<8. Calls the
  4999.     graph in [3] the Moser graph. Quotes the result of Frankl and
  5000.     Wilson [8] that chi(n) grows exponentially in n settling an
  5001.     earlier conjecture of Erd\"os (I don't know the reference for
  5002.     this). The best available bounds for this are
  5003.  
  5004.     (1+ o(1)) (1.2)^n \le chi(n) \le (3+ o(1))^n.
  5005.  
  5006. [9] P. Frankl and R.M. Wilson, ``Intersection Theorems with Geometric
  5007.     Consequences,'' Combinatorica #1 (1981), p. 357-368.
  5008.  
  5009. [10]  H. Hadwiger, H. Debrunner, and V.L. Klee, ``Combinatorial
  5010.       Geometry in the Plane,'' Holt, Rinehart & Winston, New York
  5011.       (English edition, 1964).
  5012.  
  5013. [11]  D.R. Woodall, ``Distances Realized by Sets Covering the Plane,''
  5014.       Journal of Combinatorial Theory (A) #14 (1973), p. 187-200.
  5015.  
  5016.       Among other things, shows that rational points in the plane can
  5017.       be two colored.
  5018.  
  5019. [12]  L. A. Sz\'ekely, ``Measurable Chromatic Number of Geometric
  5020.       Graphs and Sets without some Distances in Euclidean Space,''
  5021.       Combinatorica #4 (1984), p.213-218.
  5022.  
  5023.       Considers \chi_m(R^2), the measurable chromatic number,
  5024.       where sets of one color must be Lebesgue measurable.
  5025.       He conjectures that \chi_m(R^2) is not equal to
  5026.       \chi(R^2) (if the Axiom of Choice is false).
  5027.  
  5028. [13]  Martin Gardner, ``Scientific American,'' October 1960, p. 160.
  5029.  
  5030. [14]  Martin Gardner, ``Wheels, Life and other Mathematical Amusements,''
  5031.       W.H. Freeman and Co., New York 1983, pages 195-196.
  5032.  
  5033.       This occurs in a chapter on mathematical problems including
  5034.       the 3x+1 problem. I think that his references are wrong, including
  5035.       attributing the problem to Erd\"os and claiming that Charles Trigg
  5036.       had original solutions in ``Problem 133,'' Crux Mathematicorum,
  5037.       Vol. 2, 1976, pages 144-150.
  5038.  
  5039. Q.E.D.
  5040.  
  5041. \subproblem {(b)}
  5042. What if "three" is replaced by "nine"?
  5043.  
  5044. In this case, there does not necessarily exist two points of the same
  5045. color exactly one inch apart; this can be demonstrated by considering
  5046. a tessellation of the plane by a $3\times 3$ checkboard with side $2$,
  5047. with each component square a different color (color of boundary points
  5048. chosen in an obvious manner).
  5049.  
  5050. Q.E.D.
  5051.  
  5052. The length of the side of the checkerboard is not critical (the reader
  5053. my enjoy showing that $3/2 <$ side $< 3\sqrt{2}/2$ works).
  5054.  
  5055. \problem {A-5:}
  5056. Prove that there exists a {\it unique} function $f$ from the set
  5057. ${\R}^{+}$ of positive real numbers to ${\R}^{+}$ such that $f(f(x))
  5058. = 6x - f(x)$ and $f(x) > 0$ for all $x > 0$.
  5059.  
  5060. \solution {Solution 1:}
  5061.  
  5062. Clearly $f(x) = 2x$ is one such solution; we need to show that it is the
  5063. {\it only} solution.  Let $f^{1}(x) = f(x), f^{n}(x) = f(f^{n-1}(x))$ and
  5064. notice that $f^{n}(x)$ is defined for all $x>0$.  An easy induction
  5065. establishes that for $n>0 f^{n}(x) = a_{n} x + b_{n} f(x)$, where $a_{0}
  5066. = 0, b_{0} = 1$ and $a_{n+1} = 6 b_{n}, b_{n+1} = a_{n} - b_{n}
  5067. \Rightarrow b_{n+1} = 6 b_{n-1} - b_{n}$.  Solving this latter equation
  5068. in the standard manner, we deduce that $\lim_{n\to \infty} a_{n}/b_{n}
  5069. = -2$, and since we have that $f^{n}(x) > 0$ and since $b_{n}$ is
  5070. alternately negative and positive; we conclude that $2x \leq f(x) \leq 2x$
  5071. by letting $n \rightarrow \infty$.
  5072.  
  5073. Q.E.D.
  5074.  
  5075. \solution {Solution 2:}
  5076. (Dan Bernstein, Princeton)
  5077.  
  5078. As before, $f(x) = 2x$ works.  We must show that if $f(x) = 2x + g(x)$
  5079. and $f$ satisfies the conditions then $g(x) = 0$ on ${\R}^{+}$.
  5080. Now $f(f(x)) = 6x - f(x)$ means that $2f(x) + g(f(x)) = 6x - 2x - g(x)$,
  5081. i.e., $4x + 2g(x) + g(f(x)) = 4x - g(x)$, i.e., $3g(x) + g(f(x)) = 0$.
  5082. This then implies $g(f(f(x))) = 9g(x)$.  Also note that $f(x) > 0$
  5083. implies $g(x) > -2x$.  Suppose $g(x)$ is not $0$ everywhere.  Pick $y$
  5084. at which $g(y) \neq 0$.  If $g(y) > 0$, observe $g(f(y)) = -3g(y) < 0$,
  5085. so in any case there is a $y_{0}$ with $g(y_{0}) < 0$.  Now define $y_{1}
  5086. = f(f(y_{0})), y_{2} = f(f(y_{1}))$, etc.  We know $g(y_{n+1})$ equals
  5087. $g(f(f(y_{n}))) = 9g(y_{n})$.  But $y(n+1) = f(f(y_{n})) = 6y_{n} -
  5088. f(y_{n}) < 6y_{n}$ since $f>0$.  Hence for each $n$ there exists
  5089. $y_{n} < 6^{n} y_{0}$ such that $g(y_{n}) = 9^{n} g(y_{0})$.
  5090. The rest is obvious: $0 > g(y_{0}) = 9^{-n} g(y_{n}) > -2\cdot 9^{-n}
  5091. y_{n} > -2 (6/9)^{n} y_{0}$, and we observe that as $n$ goes to infinity
  5092. we have a contradiction.
  5093.  
  5094. Q.E.D.
  5095.  
  5096. \problem {A-6:}
  5097. If a linear transformation $A$ on an $n$-dimensional vector space has
  5098. $n+1$ eigenvectors such that any $n$ of them are linearly independent,
  5099. does it follow that $A$ is a scalar multiple of the identity?  Prove your
  5100. answer.
  5101.  
  5102. \solution {Solution:}
  5103. The answer is yes.  First note that if $x_{1}, \ldots, x_{n+1}$ are the
  5104. eigenvectors, then we must have that $a_{n+1} x_{n+1} = a_{1} x_{1}
  5105. + \cdots + a_{n} x_{n}$ for some non-zero scalars $a_{1}, \ldots, a_{n+1}$.
  5106. Multiplying by $A$ on the left we see that $\lambda_{n+1} a_{n+1} x_{n+1}
  5107. = \lambda_{1} a_{1} x_{1} + \cdots + \lambda_{n} a_{n} x_{n}$, where
  5108. $\lambda_{i}$ is the eigenvalue corresponding to the eigenvectors $x_{i}$.
  5109. But since we also have that $\lambda_{n+1} a_{n+1} x_{n+1} = \lambda_{n+1}
  5110. a_{1} x_{1} + \cdots + \lambda_{n+1} a_{n} x_{n}$ we conclude that
  5111. $\lambda_{1} a_{1} x_{1} + \cdots + \lambda_{n} a_{n} x_{n} = \lambda_{n+1}
  5112.  a_{1} x_{1} + \cdots + \lambda_{n+1} a_{n} x_{n} \Rightarrow a_{1}
  5113. (\lambda_{1} - \lambda_{n+1}) x_{1} + \cdots + a_{n} (\lambda_{n} -
  5114. \lambda_{n+1}) x_{1} = 0 \Rightarrow \lambda_{1} = \cdots = \lambda_{n+1}
  5115. = \lambda$ since $x_{1}, \ldots, x_{n}$ are linearly independent.  To
  5116. finish, note that the dimension of the eigenspace of $\lambda$ is equal
  5117. to $n$, and since this equals the dimension of the nullspace of $A -
  5118. \lambda I$ we conclude that the rank of $A - \lambda I$ equals $n - n =
  5119. 0 \Rightarrow A - \lambda I = 0$.
  5120.  
  5121. Q.E.D.
  5122.  
  5123. \problem {B-1:}
  5124. A {\it composite} (positive integer) is a product $ab$ with $a$ and $b$
  5125. not necessarily distinct integers in $\{ 2,3,4,\ldots \}$.  Show that
  5126. every composite is expressible as $xy + xz + yz + 1$, with $x, y$, and
  5127. $z$ positive integers.
  5128.  
  5129. \solution {Solution:}
  5130. Let $x = a-1, y = b-1, z = 1$; we then get that $xy + xz + yz + 1
  5131. = (a-1)(b-1) + a-1 + b-1 + 1 = ab$.
  5132.  
  5133. Q.E.D.
  5134.  
  5135. \problem {B-2:}
  5136. Prove or disprove:  If $x$ and $y$ are real numbers with $y \geq 0$
  5137. and $y(y+1) \leq {(x+1)}^2$, then $y(y-1) \leq x^2$.
  5138.  
  5139. \solution {Solution:}
  5140. The statement is true.  If $x+1 \geq 0$ we have that $\sqrt{y(y+1)}
  5141. - 1 \leq x \Rightarrow x^{2} \geq y^{2} + y + 1 - 2 \sqrt{y^{2}+y} \geq
  5142. y^{2} - y$ since $2y + 1 \geq 2 \sqrt{y^{2}+y}$ since ${(2y + 1)}^{2}
  5143. \geq 4 (y^{2}+y)$ if $y\geq 0$.  If $x+1 < 0$, we see that $\sqrt{y(y+1)}
  5144. \leq -x - 1 \Rightarrow x^{2} \geq y^{2} + y + 1 + 2 \sqrt{y^{2}+y}
  5145. \geq y^{2} - y$.
  5146.  
  5147. Q.E.D.
  5148.  
  5149. \problem {B-3:}
  5150. For every $n$ in the set ${\Z}^{+} = \{ 1,2,\ldots \}$ of positive
  5151. integers, let $r(n)$ be the minimum value of $|c-d \sqrt{3}|$ for all
  5152. nonnegative integers $c$ and $d$ with $c + d = n$.  Find, with proof,
  5153. the smallest positive real number $g$ with $r(n) \leq g$ for all $n$
  5154. in ${\Z}^{+}$.
  5155.  
  5156. \solution  {Solution:}
  5157. The answer is $(1 + \sqrt{3})/2$.  We write $|c-d\sqrt{3}|$ as
  5158. $|(n-d) - d\sqrt{3}|$; I claim that the minimum over all $d, 0 \leq d
  5159. \leq n$, occurs when $d = e = \floor{n/(1+\sqrt{3})}$ or when $d = f =
  5160. e+1 = \floor{n/(1+\sqrt{3})} + 1$.  To see this, note that $(n-e) - e
  5161. \sqrt{3} > 0$ and if $e'<e$, then $(n-e') - e' \sqrt{3} > (n-e) - e
  5162. \sqrt{3}$, and similarly for $f'>f$.  Now let $r = n/(1+\sqrt{3}) -
  5163. \floor{n/(1+\sqrt{3})}$ and note that $|(n-e) - e \sqrt{3}| = r
  5164. (1+\sqrt{3})$ and $|(n-f) - f \sqrt{3}| = (1-r) (1+\sqrt{3})$.  Clearly
  5165. one of these will be $\leq (1+\sqrt{3})/2$.  To see that $(1+\leq{3})/2$
  5166. cannot be lowered, note that since $1+\sqrt{3}$ is irrational, $r$ is
  5167. uniformly distributed $\mod{1} $.
  5168.  
  5169. Q.E.D.
  5170.  
  5171. \notes {Notes:}
  5172. We do not really need the result that $x$ irrational $\Rightarrow x n
  5173. - \floor{x n}$ u. d. $\mod{1} $, it would suffice to show that $x$
  5174. irrational $\Rightarrow x n - \floor{x n}$ is dense in $(0,1)$.  But
  5175. this is obvious, since if $x$ is irrational there exists arbitrarily
  5176. large $q$ such that there exists $p$ with $(p,q) = 1$ such that $p/q <
  5177. x < (p+1)/q$.  The nifty thing about the u. d. result is that it answers
  5178. the question:  what number $x$ should we choose such that the density
  5179. of $\{ n : r(n) < x \}$ equals $t, 0 < t < 1$?  The u. d. result implies
  5180. that the answer is $t (1+\sqrt{3})/2$.  The u. d. result also provides
  5181. the key to the question:  what is the average value of $r(n)$?  The
  5182. answer is $(1+\sqrt{3})/4$.
  5183.  
  5184. \problem {B-4:}
  5185. Prove that if $\sum_{n=1}^{\infty} a(n)$ is a convergent series of
  5186. positive real numbers, then so is $\sum_{n=1}^{\infty} {(a(n))}^{n/(n+1)}$.
  5187.  
  5188. \solution {Solution:}
  5189. Note that the subseries of terms ${a(n)}^{n\over{n+1}}$ with
  5190. ${a(n)}^{1\over{n+1}} \leq {1\over 2}$ converges since then
  5191. ${a(n)}^{n\over{n+1}}$ is dominated by $1/2^{n}$, the subseries of
  5192. terms ${a(n)}^{n\over{n+1}}$ with ${a(n)}^{1\over{n+1}} > {1\over 2}$
  5193. converges since then ${a(n)}^{n\over{n+1}}$ is dominated by $2 a(n)$,
  5194. hence $\sum_{n=1}^{\infty} {a(n)}^{n\over{n+1}}$ converges.
  5195.  
  5196. Q.E.D.
  5197.  
  5198. \problem {B-5:}
  5199. For positive integers $n$, let $M(n)$ be the $2n + 1$ by $2n + 1$
  5200. skew-symmetric matrix for which each entry in the first $n$ subdiagonals
  5201. below the main diagonal is $1$ and each of the remaining entries below
  5202. the main diagonal is $-1$.  Find, with proof, the rank of $M(n)$.
  5203. (According to the definition the rank of a matrix is the largest $k$
  5204. such that there is a $k \times k$ submatrix with non-zero determinant.)
  5205.  
  5206. One may note that \break\hfill
  5207. $M(1) = \left( \matrix{0&-1&1 \cr 1&0&-1
  5208. \cr -1&1&0} \right)$ and $M(2) = \left( \matrix{0&-1&-1&1&1
  5209. \cr 1&0&-1&-1&1 \cr 1&1&0&-1&-1 \cr -1&1&1&0&-1 \cr -1&-1&1&1&0}
  5210. \right)$.
  5211.  
  5212. \solution {Solution 1:}
  5213. Since $M(n)$ is skew-symmetric, $M(n)$ is singular for all $n$, hence
  5214. the rank can be at most $2n$.  To see that this is indeed the answer,
  5215. consider the submatrix $M_{i}(n)$ obtained by deleting row $i$ and column
  5216. $i$ from $M(n)$.  From the definition of the determinant we have that
  5217. $\det(M_{i}(n)) = \sum {(-1)}^{\delta(k)} a_{1 k(1)} \cdots a_{(2n) k(2n)}$,
  5218. where $k$ is member of $S_{2n}$ (the group of permutations on
  5219. $\{1,\ldots,2n\}$) and $\delta(k)$ is $0$ if $k$ is an even permutation or
  5220. $1$ if $k$ is an odd permutation.  Now note that ${(-1)}^{\delta(k)}
  5221. a_{1 k(1)} \cdots a_{(2n) k(2n)}$ equals either $0$ or $\pm 1$, and is
  5222. non-zero iff $k(i) \neq i$ for all $i$, i.e. iff $k$ has no fixed points.
  5223. If we can now show that the set of all elements $k$ of $S_{2n}$, with
  5224. $k(i) \neq i$ for all $i$, has odd order, we win since this would imply that
  5225. $\det(M_{i}(n))$ is odd $\Rightarrow \det(M_{i}) \neq 0$.  To show this,
  5226. let $f(n)$ equal the set of all elements $k$ of $S_n$ with $k(i) \neq
  5227. i$ for all $i$.  We have that $f(1) = 0, f(2) = 1$ and we see that
  5228. $f(n) = (n-1) ( f(n-1) + f(n-2) )$ by considering the possible values of
  5229. $f(1)$ and whether or not $f(f(1)) = 1$; an easy induction now establishes
  5230. that $f(2n)$ is odd for all $n$.
  5231.  
  5232. Q.E.D.
  5233.  
  5234. \notes {Notes:}
  5235. In fact, it is a well-known result that $f(n) = n! ( 1/2! - 1/3! + \cdots
  5236. + {(-1)}^{n}/n! )$.
  5237.  
  5238. \solution {Solution 2:}
  5239. As before, since $M(n)$ is skew-symmetric $M(n)$ is singular for all $n$
  5240. and hence can have rank at most $2n$.  To see that this is the rank,
  5241. let $M_{i}(n)$ be the submatrix obtained by deleting row $i$ and column
  5242. $i$ from $M(n)$.  We finish by noting that ${M_{i}(n)}^{2} \equiv
  5243. I_{2n} \Mod{2} $, hence $M_{i}(n)$ is nonsingular.
  5244.  
  5245. Q.E.D.
  5246.  
  5247. \problem {B-6:}
  5248. Prove that there exist an infinite number of ordered pairs $(a,b)$ of
  5249. integers such that for every positive integer $t$ the number $at + b$
  5250. is a triangular number if and only if $t$ is a triangular number.
  5251. (The triangular numbers are the $t(n) = n(n + 1)/2$ with $n$ in
  5252. $ \{ 0,1,2,\ldots \}$ ).
  5253.  
  5254. \solution {Solution:}
  5255. Call a pair of integers $(a,b)$ a {\it triangular pair} if $at + b$
  5256. is a triangular number iff $t$ is a triangular number.  I claim that
  5257. $(9,1)$ is a triangular pair.  Note that $9 (n(n+1)/2) + 1 =
  5258. (3n+1)(3n+2)/2$ hence $9t+1$ is triangular if $t$ is.  For the other
  5259. direction, note that if $ 9t+1 = n(n+1)/2 \Rightarrow n = 3k+1$
  5260. hence $ 9t+1 = n(n+1)/2 = 9(k(k+1)/2)+1 \Rightarrow t = k(k+1)/2$,
  5261. therefore $t$ is triangular.  Now note that if $(a,b)$ is a triangular
  5262. pair then so is $(a^{2},(a+1)b)$, hence we can generate an infinite
  5263. number of triangular pairs starting with $(9,1)$.
  5264.  
  5265. Q.E.D.
  5266.  
  5267. \notes {Notes:}
  5268. The following is a proof of necessary and sufficient conditions for $(a,b)$
  5269. to be a triangular pair.
  5270.  
  5271. I claim that $(a,b)$ is a triangular pair iff for some odd integer $o$
  5272. we have that $a = o^{2}, b = (o^{2}-1)/8$.  I will first prove the
  5273. direction $\Leftarrow$.  Assume we have $a = o^{2}, b = (o^{2}-1)/8$.
  5274. If $t = n(n+1)/2$ is any triangular number, then the identity $o^{2}
  5275. n(n+1)/2 + (o^{2}-1)/8 = (on + (o-1)/2) (on + (o+1)/2)/2$ shows that
  5276. $at + b$ is also a triangular number.  On the other hand if $o^{2} t +
  5277. (o^{2}-1)/8 = n(n+1)/2$, the above identity implies we win if we can show
  5278. that $( n - (o-1)/2 )/o$ is an integer, but this is true since $o^{2} t +
  5279. (o^{2}-1)/8 \equiv n(n+1)/2 \Mod{o^{2}} \Rightarrow 4n^{2} + 4n \equiv -1
  5280. \Mod{o^{2}} \Rightarrow {(2n + 1)}^{2} \equiv 0 \Mod{o^{2}} \Rightarrow 2n + 1
  5281. \equiv 0 \Mod{o} \Rightarrow n \equiv (o-1)/2 \Mod{o} $.  For the direction
  5282. $\Rightarrow$ assume that $(a,b)$ and $(a,c), c\ge b$, are both triangular
  5283. pairs; to see that $b = c$ notice that if $at + b$ is triangular for all
  5284. triangular numbers $t$, then we can choose $t$ so large that if $c>b$ then
  5285. $at + c$ falls between two consecutive triangular numbers; contradiction hence
  5286. $b = c$.  Now assume that $(a,c)$ and $(b,c)$ are both triangular pairs;
  5287. I claim that $a = b$.  But this is clear since if $(a,c)$ and $(b,c)$
  5288. are triangular pairs $\Rightarrow (ab,bc+c)$ and $(ab,ac+c)$ are
  5289. triangular pairs $\Rightarrow bc+c = ac+c$ by the above reasoning
  5290. $\Rightarrow bc=ac \Rightarrow$ either $a=b$ or $c=0 \Rightarrow a=b$
  5291. since $c=0 \Rightarrow a=b=1$.  For a proof of this last assertion,
  5292. assume $(a,0), a>1$, is a triangular pair; to see that this gives a
  5293. contradiction note that if $(a,0)$ is a triangular pair $\Rightarrow
  5294. (a^{2},0)$ is also triangular pair, but this is impossible since then
  5295. we must have that $a(a^{3}+1)/2$ is triangular (since $a^{2} a (a^{3}+1)/2$
  5296. is triangular) but $(a^{2}-1)a^{2}/2 < a(a^{3}+1)/2 < a^{2}(a^{2}+1)/2$
  5297. (if $a>1$).  We are now done, since if $(a,b)$ is a triangular pair
  5298. $\Rightarrow a 0 + b = n(n+1)/2$ for some $n\geq 0 \Rightarrow b =
  5299. ({(2n+1)}^{2} - 1)/8$.
  5300.  
  5301. Q.E.D.
  5302.  
  5303. \bye
  5304.  
  5305. ==> competition/tests/math/putnam/putnam.1990.p <==
  5306. Problem A-1
  5307. How many primes among the positive integers, written as usual in base
  5308. 10, are such that their digits are alternating 1's and 0's, beginning
  5309. and ending with 1?
  5310.  
  5311. Problem A-2
  5312. Evaluate \int_0^a \int_0^b \exp(\max{b^2 x^2, a^2 y^2}) dy dx where a and
  5313. b are positive.
  5314.  
  5315. Problem A-3
  5316. Prove that if 11z^10 + 10iz^9 + 10iz - 11 = 0, then |z| = 1. (Here z is
  5317. a complex number and i^2 = -1.)
  5318.  
  5319. Problem A-4
  5320. If \alpha is an irrational number, 0 < \alpha < 1, is there a finite
  5321. game with an honest coin such that the probability of one player winning
  5322. the game is \alpha? (An honest coin is one for which the probability of
  5323. heads and the probability of tails are both 1/2. A game is finite if
  5324. with probability 1 it must end in a finite number of moves.)
  5325.  
  5326. Problem A-5
  5327. Let m be a positive integer and let G be a regular (2m + 1)-gon
  5328. inscribed in the unit circle. Show that there is a positive constant A,
  5329. independent of m, with the following property. For any point p inside G
  5330. there are two distinct vertices v_1 and v_2 of G such that
  5331.                              1     A
  5332. | |p - v_1| - |p - v_2| | < --- - ---.
  5333.                              m    m^3
  5334. Here |s - t| denotes the distance between the points s and t.
  5335.  
  5336. Problem A-6
  5337. Let \alpha = 1 + a_1 x + a_2 x^2 + ... be a formal power series with
  5338. coefficients in the field of two elements. Let
  5339.           / 1 if every block of zeros in the binary expansion of n
  5340.          /    has an even number of zeros in the block,
  5341.   a_n = {
  5342.          \ 0 otherwise.
  5343. (For example, a_36 = 1 because 36 = 100100_2 and a_20 = 0 because 20 =
  5344. 10100_2.) Prove that \alpha^3 + x \alpha + 1 = 0.
  5345.  
  5346. Problem B-1
  5347. A dart, thrown at random, hits a square target. Assuming that any two
  5348. points of the target of equal area are equally likely to be hit, find
  5349. the probability that the point hit is nearer to the center than to any
  5350. edge. Express your answer in the form (a \sqrt(b) + c) / d, where a, b,
  5351. c, d are integers.
  5352.  
  5353. Problem B-2
  5354. Let S be a non-empty set with an associative operation that is left and
  5355. right cancellative (xy = xz implies y = z, and yx = zx implies y = z).
  5356. Assume that for every a in S the set { a^n : n = 1, 2, 3, ... } is
  5357. finite. Must S be a group?
  5358.  
  5359. Problem B-3
  5360. Let f be a function on [0,\infty), differentiable and satisfying
  5361.   f'(x) = -3 f(x) + 6 f(2x)
  5362. for x > 0. Assume that |f(x)| <= \exp(-\sqrt(x)) for x >= 0 (so that
  5363. f(x) tends rapidly to 0 as x increases). For n a non-negative integer,
  5364. define
  5365.   \mu_n = \int_0^\infty x^n f(x) dx
  5366. (sometimes called the nth moment of f).
  5367. a. Express \mu_n in terms of \mu_0.
  5368. b. Prove that the sequence { \mu_n 3^n / n! } always converges, and that
  5369.    the limit is 0 only if \mu_0 = 0.
  5370.  
  5371. Problem B-4
  5372. Can a countably infinite set have an uncountable collection of non-empty
  5373. subsets such that the intersection of any two of them is finite?
  5374.  
  5375. Problem B-5
  5376. Label the vertices of a trapezoid T (quadrilateral with two parallel
  5377. sides) inscribed in the unit circle as A, B, C, D so that AB is parallel
  5378. to CD and A, B, C, D are in counterclockwise order. Let s_1, s_2, and d
  5379. denote the lengths of the line segments AB, CD, and OE, where E is the
  5380. point of intersection of the diagonals of T, and O is the center of the
  5381. circle. Determine the least upper bound of (s_1 - s_2) / d over all such
  5382. T for which d \ne 0, and describe all cases, if any, in which it is
  5383. attained.
  5384.  
  5385. Problem B-6
  5386. Let (x_1, x_2, ..., x_n) be a point chosen at random from the
  5387. n-dimensional region defined by 0 < x_1 < x_2 < ... < x_n < 1.
  5388. Let f be a continuous function on [0, 1] with f(1) = 0. Set x_0 = 0 and
  5389. x_{n+1} = 1. Show that the expected value of the Riemann sum
  5390.   \sum_{i = 0}^n (x_{i+1} - x_i) f(x_{i+1})
  5391. is \int_0^1 f(t)P(t) dt, where P is a polynomial of degree n,
  5392. independent of f, with 0 \le P(t) \le 1 for 0 \le t \le 1.
  5393.  
  5394. ==> competition/tests/math/putnam/putnam.1990.s <==
  5395. Problem A-1
  5396. How many primes among the positive integers, written as usual in base
  5397. 10, are such that their digits are alternating 1's and 0's, beginning
  5398. and ending with 1?
  5399.  
  5400. Solution:
  5401. Exactly one, namely 101. 1 is not prime; 101 is prime. The sum
  5402. 100^n + 100^{n - 1} + ... + 1 is divisible by 101 if n is odd,
  5403. 10^n + 10^{n - 1} + ... + 1 if n is even. (To see the second part,
  5404. think about 101010101 = 102030201 - 1020100 = 10101^2 - 1010^2.)
  5405.  
  5406. Problem A-2
  5407. Evaluate \int_0^a \int_0^b \exp(\max{b^2 x^2, a^2 y^2}) dy dx where a and
  5408. b are positive.
  5409.  
  5410. Solution:
  5411. Split the inner integral according to the max{}. The easy term becomes
  5412. an integral of t e^{t^2}. The other term becomes an easy term after you
  5413. switch the order of integration. Your answer should have an e^{(ab)^2}.
  5414.  
  5415. Problem A-3
  5416. Prove that if 11z^10 + 10iz^9 + 10iz - 11 = 0, then |z| = 1. (Here z is
  5417. a complex number and i^2 = -1.)
  5418.  
  5419. Solution:
  5420. z is not zero, so divide by z^5 to make things a bit more symmetric.
  5421. Now write z = e^{i \theta} and watch the formula dissolve into a simple
  5422. trigonometric sum. The 11 sin 5 \theta term dominates the sum when that
  5423. sine is at its maximum; by this and similar considerations, just *write
  5424. down* enough maxima and minima of the function that it must have ten
  5425. real roots for \theta. (This cute solution is due to Melvin Hausner,
  5426. an NYU math professor.)
  5427.  
  5428. Problem A-4
  5429. If \alpha is an irrational number, 0 < \alpha < 1, is there a finite
  5430. game with an honest coin such that the probability of one player winning
  5431. the game is \alpha? (An honest coin is one for which the probability of
  5432. heads and the probability of tails are both 1/2. A game is finite if
  5433. with probability 1 it must end in a finite number of moves.)
  5434.  
  5435. Solution:
  5436. Yes. Write \alpha in binary---there's no ambiguity since it's irrational.
  5437. At the nth step (n >= 0), flip the coin. If it comes up heads, go to the
  5438. next step. If it comes up tails, you win if the nth bit of \alpha is 1.
  5439. Otherwise you lose. The probability of continuing forever is zero. The
  5440. probability of winning is \alpha.
  5441.  
  5442. This problem could have been better stated. Repeated flips of the coin
  5443. must produce independent results. The note that ``finite'' means only
  5444. ``finite with probability 1'' is hidden inside parentheses, even though
  5445. it is crucial to the result. In any case, this problem is not very
  5446. original: I know I've seen similar problems many times, and no serious
  5447. student of probability can take more than ten minutes on the question.
  5448.  
  5449. Problem A-5
  5450. Let m be a positive integer and let G be a regular (2m + 1)-gon
  5451. inscribed in the unit circle. Show that there is a positive constant A,
  5452. independent of m, with the following property. For any point p inside G
  5453. there are two distinct vertices v_1 and v_2 of G such that
  5454.                              1     A
  5455. | |p - v_1| - |p - v_2| | < --- - ---.
  5456.                              m    m^3
  5457. Here |s - t| denotes the distance between the points s and t.
  5458.  
  5459. Solution:
  5460. Place G at the usual roots of unity. Without loss of generality assume
  5461. that p = re^{i\theta} is as close to 1 as to any other vertex; in other
  5462. words, assume |\theta| <= 2\pi / (4m + 2) = \pi / (2m + 1). Now take the
  5463. distance between p and the two farthest (not closest!) vertices. Make
  5464. sure to write | |X| - |Y| | as the ratio of | |X|^2 - |Y|^2 | to |X| + |Y|.
  5465. I may have miscalculated, but I get a final result inversely proportional
  5466. to (4m + 2)^2, from which the given inequality follows easily with, say,
  5467. A = 0.01.
  5468.  
  5469. Alternate solution:
  5470. The maximum distance between p and a point of G is achieved between two
  5471. almost-opposite corners, with a distance squared of double 1 + \cos\theta
  5472. for an appropriately small \theta, or something smaller than 2 - A/m^2
  5473. for an appropriate A. Now consider the set of distances between p and
  5474. the vertices; this set is 2m + 1 values >= 0 and < 2 - A/m^2, so that
  5475. there are two values at distance less than 1/m - A/m^3 as desired.
  5476.  
  5477. Problem A-6
  5478. Let \alpha = 1 + a_1 x + a_2 x^2 + ... be a formal power series with
  5479. coefficients in the field of two elements. Let
  5480.           / 1 if every block of zeros in the binary expansion of n
  5481.          /    has an even number of zeros in the block,
  5482.   a_n = {
  5483.          \ 0 otherwise.
  5484. (For example, a_36 = 1 because 36 = 100100_2 and a_20 = 0 because 20 =
  5485. 10100_2.) Prove that \alpha^3 + x \alpha + 1 = 0.
  5486.  
  5487. Solution:
  5488. (Put a_0 = 1, of course.) Observe that a_{4n} = a_n since adding two zeros
  5489. on the right end does not affect the defining property; a_{4n + 2} = 0
  5490. since the rightmost zero is isolated; and a_{2n + 1} = a_n since adding
  5491. a one on the right does not affect the defining property. Now work in the
  5492. formal power series ring Z_2[[x]]. For any z in that ring that is a
  5493. multiple of x, define f(z) as a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + ... . Clearly
  5494. f(z) = f(z^4) + z f(z^2) by the relations between a's. Now over Z_2,
  5495. (a + b)^2 = a^2 + b^2, so f(z) = f(z)^4 + z f(z)^2. Plug in x for z and
  5496. cancel the f(x) to get 1 = \alpha^3 + x \alpha as desired.
  5497.  
  5498. Problem B-1
  5499. A dart, thrown at random, hits a square target. Assuming that any two
  5500. points of the target of equal area are equally likely to be hit, find
  5501. the probability that the point hit is nearer to the center than to any
  5502. edge. Express your answer in the form (a \sqrt(b) + c) / d, where a, b,
  5503. c, d are integers.
  5504.  
  5505. Solution:
  5506. This is straightforward. The closer-to-the-center region is centered on
  5507. a square of side length \sqrt 2 - 1; surrounding the square and meeting
  5508. it at its corners are parabolic sections extending out halfway to the
  5509. edge. b is 2 and d is 6; have fun.
  5510.  
  5511. Problem B-2
  5512. Let S be a non-empty set with an associative operation that is left and
  5513. right cancellative (xy = xz implies y = z, and yx = zx implies y = z).
  5514. Assume that for every a in S the set { a^n : n = 1, 2, 3, ... } is
  5515. finite. Must S be a group?
  5516.  
  5517. Solution:
  5518. Yes. There is a minimal m >= 1 for which a^m = a^n for some n with n > m;
  5519. by cancellation, m must be 1. We claim that a^{n-1} is an identity in S.
  5520. For ba = ba^n = ba^{n-1}a, so by cancellation b = ba^{n-1}, and similarly
  5521. on the other side. Now a has an inverse, a^{n-2}. This problem is not new.
  5522.  
  5523. Problem B-3
  5524. Let f be a function on [0,\infty), differentiable and satisfying
  5525.   f'(x) = -3 f(x) + 6 f(2x)
  5526. for x > 0. Assume that |f(x)| <= \exp(-\sqrt(x)) for x >= 0 (so that
  5527. f(x) tends rapidly to 0 as x increases). For n a non-negative integer,
  5528. define
  5529.   \mu_n = \int_0^\infty x^n f(x) dx
  5530. (sometimes called the nth moment of f).
  5531. a. Express \mu_n in terms of \mu_0.
  5532. b. Prove that the sequence { \mu_n 3^n / n! } always converges, and that
  5533.    the limit is 0 only if \mu_0 = 0.
  5534.  
  5535. Solution:
  5536. The only trick here is to integrate \mu_n by parts the ``wrong way,''
  5537. towards a higher power of x. A bit of manipulation gives the formula for
  5538. \mu_n as \mu_0 times n! / 3^n times the product of 2^k / (2^k - 1) for
  5539. 1 <= k <= n. Part b is straightforward; the product converges since the
  5540. sum of 1 / (2^k - 1) converges (absolutely---it's positive).
  5541.  
  5542. Problem B-4
  5543. Can a countably infinite set have an uncountable collection of non-empty
  5544. subsets such that the intersection of any two of them is finite?
  5545.  
  5546. Solution:
  5547. Yes. A common example for this very well-known problem is the set of
  5548. rationals embedded in the set of reals. For each real take a Cauchy
  5549. sequence converging to that real; those sequences form the subsets of
  5550. the countably infinite rationals, and the intersection of any two of
  5551. them had better be finite since the reals are Archimedian. Another
  5552. example, from p-adics: Consider all binary sequences. With sequence
  5553. a_0 a_1 a_2 ... associate the set a_0, a_0 + 2a_1, a_0 + 2a_1 + 4a_2,
  5554. etc.; or stick 1 bits in all the odd positions to simplify housekeeping
  5555. (most importantly, to make the set infinite). Certainly different
  5556. sequences give different sets, and the intersection of two such sets
  5557. is finite.
  5558.  
  5559. Alternative solution:
  5560. Let C be a countable collection of non-empty subsets of A with the property
  5561. that any two subsets have finite intersection (from now
  5562. on we call this property, countable intersection property). Clearly
  5563. such a collection exists. We will show that C is not maximal, that is,
  5564. there exists a set which does not belong to C and it intersects finitely
  5565. with any set in C. Hence by Zorn's lemma, C can be extended to an
  5566. uncountable collection.
  5567.  
  5568. Let A1, A2, .... be an enumeration of sets in C. Then by axiom of choice,
  5569. pick an element b sub i from each of A sub i - Union {from j=1 to i-1} of
  5570. A sub j. It is easy to see that each such set is non-empty. Let B be the
  5571. set of all b sub i's. Then clearly B is different from each of the A sub i's
  5572. and its intersection with each A sub i is finite.
  5573.  
  5574. Yet another alternative solution:
  5575. Let the countable set be the lattice points of the plane.  For each t in
  5576. [0,pi) let  s(t) be the lattice points in a strip with angle of inclination
  5577. t and width greater than 1.  Then the set of these strips is uncountable.
  5578. The intersection of any two is bounded, hence finite.
  5579.  
  5580. More solutions:
  5581. The problem (in effect) asks for an uncountable collection of
  5582. sets of natural numbers that are "almost disjoint," i.e., any two
  5583. have a finite intersection.  Here are two elementary ways to
  5584. get such a collection.
  5585.  
  5586. 1. For any set A={a, b, c, ...} of primes, let A'={a, ab, abc, ...}.
  5587. If A differs from B then A' has only a finite intersection with B'.
  5588.  
  5589. 2.  For each real number, e.g. x=0.3488012... form the set
  5590. S_x={3, 34, 348, 3488, ...}.  Different reals give almost disjoint sets.
  5591.  
  5592.  
  5593. Problem B-5
  5594. Label the vertices of a trapezoid T (quadrilateral with two parallel
  5595. sides) inscribed in the unit circle as A, B, C, D so that AB is parallel
  5596. to CD and A, B, C, D are in counterclockwise order. Let s_1, s_2, and d
  5597. denote the lengths of the line segments AB, CD, and OE, where E is the
  5598. point of intersection of the diagonals of T, and O is the center of the
  5599. circle. Determine the least upper bound of (s_1 - s_2) / d over all such
  5600. T for which d \ne 0, and describe all cases, if any, in which it is
  5601. attained.
  5602.  
  5603. Solution:
  5604. Center the circle at the origin and rotate the trapezoid so that AB and
  5605. CD are horizontal. Assign coordinates to A and D, polar or rectangular
  5606. depending on your taste. Now play with s_1 - s_2 / d for a while;
  5607. eventually you'll find the simple form, after which maximization is
  5608. easy. The answer, if I've calculated right, is 2, achieved when rotating
  5609. the trapezoid by 90 degrees around the circle would take one vertex into
  5610. another. (A right triangle, with the hypoteneuse the length-two diamater
  5611. and d = 1, is a degenerate example.)
  5612.  
  5613. Alternative solution:
  5614. Let a be the distance from O (the center of the circle) to AB (that is
  5615. the side with length s1), and b the distance from O to CD. Clearly,
  5616. a = sqrt(1-s1*s1/4) and b = sqrt(1-s2*s2/4). Then with some mathematical
  5617. jugglery, one can show that (s1-s2)/d = (s1*s1-s2*s2)/(b*s1-a*s2).
  5618. Then differentiating this with respect to s1 and s2 and equating to
  5619. 0 yields s1*s1+s2*s2=4, and hence s1=2*b and s2=2*a. The value of (s1-s2)/d
  5620. for these values is then 2. Hence (s1-s1)/d achieves its extremeum when
  5621. s1*s1+s2*s2=4 (that this value is actually a maximum is then easily seen),
  5622. and the lub is 2.
  5623.  
  5624. Problem B-6
  5625. Let (x_1, x_2, ..., x_n) be a point chosen at random from the
  5626. n-dimensional region defined by 0 < x_1 < x_2 < ... < x_n < 1.
  5627. Let f be a continuous function on [0, 1] with f(1) = 0. Set x_0 = 0 and
  5628. x_{n+1} = 1. Show that the expected value of the Riemann sum
  5629.   \sum_{i = 0}^n (x_{i+1} - x_i) f(x_{i+1})
  5630. is \int_0^1 f(t)P(t) dt, where P is a polynomial of degree n,
  5631. independent of f, with 0 \le P(t) \le 1 for 0 \le t \le 1.
  5632.  
  5633. Solution:
  5634. Induct right to left. Show that for each k, given x_{k-1}, the
  5635. expected value at a point chosen with x_{k-1} < x_k < ... < x_n < 1
  5636. is a polynomial of the right type with the right degree. It's pretty
  5637. easy once you find the right direction. 0 \le P(t) \le 1 comes for
  5638. free: if P(t) is out of range at a point, it is out of range on an
  5639. open interval, and setting f to the characteristic function of that
  5640. interval produces a contradiction.
  5641.  
  5642. ==> competition/tests/math/putnam/putnam.1992.p <==
  5643. Problem A1
  5644.  
  5645. Prove that f(n) = 1 - n is the only integer-valued function defined on
  5646. the integers that satisfies the following conditions.
  5647. (i) f(f(n)) = n, for all integers n;
  5648. (ii) f(f(n + 2) + 2) = n for all integers n;
  5649. (iii) f(0) = 1.
  5650.  
  5651.  
  5652. Problem A2
  5653.  
  5654. Define C(alpha) to be the coefficient of x^1992 in the power series
  5655. expansion about x = 0 of (1 + x)^alpha. Evaluate
  5656.  
  5657. \int_0^1  C(-y-1) ( 1/(y+1) + 1/(y+2) + 1/(y+3) + ... + 1/(y+1992) )  dy.
  5658.  
  5659.  
  5660. Problem A3
  5661.  
  5662. For a given positive integer m, find all triples (n,x,y) of positive
  5663. integers, with n relatively prime to m, which satisfy (x^2 + y^2)^m = (xy)^n.
  5664.  
  5665.  
  5666. Problem A4
  5667.  
  5668. Let f be an infinitely differentiable real-valued function defined on
  5669. the real numbers. If
  5670.  
  5671. f(1/n) = n^2/(n^2 + 1), n = 1,2,3,...,
  5672.  
  5673. compute the values of the derivatives f^(k)(0), k = 1,2,3,... .
  5674.  
  5675.  
  5676. Problem A5
  5677.  
  5678. For each positive integer n, let
  5679.  
  5680. a_n = {  0 if the number of 1's in the binary representation of n is even,
  5681.          1 if the number of 1's in the binary representation of n is odd.
  5682.  
  5683. Show that there do not exist positive integers k and m such that
  5684.  
  5685. a_{k+j} = a_{k+m+j} = a_{k+2m+j},  for 0 <= j <= m - 1.
  5686.  
  5687.  
  5688. Problem A6
  5689.  
  5690. Four points are chosen at random on the surface of a sphere. What is the
  5691. probability that the center of the sphere lies inside the tetrahedron
  5692. whose vertices are at the four points? (It is understood that each point
  5693. is independently chosen relative to a uniform distribution on the sphere.)
  5694.  
  5695.  
  5696. Problem B1
  5697.  
  5698. Let S be a set of n distinct real numbers. Let A_S be the set of numbers
  5699. that occur as averages of two distinct elements of S. For a given n >= 2,
  5700. what is the smallest possible number of distinct elements in A_S?
  5701.  
  5702.  
  5703. Problem B2
  5704.  
  5705. For nonnegative integers n and k, define Q(n,k) to be the coefficient of
  5706. x^k in the expansion of (1+x+x^2+x^3)^n. Prove that
  5707.  
  5708. Q(n,k) = \sum_{j=0}^n {n \choose j} {n \choose k - 2j},
  5709.  
  5710. where {a \choose b} is the standard binomial coefficient. (Reminder: For
  5711. integers a and b with a >= 0, {a \choose b} = a!/b!(a-b)! for 0 <= b <= a,
  5712. and {a \choose b} = 0 otherwise.)
  5713.  
  5714.  
  5715. Problem B3
  5716.  
  5717. For any pair (x,y) of real numbers, a sequence (a_n(x,y))_{n>=0} is
  5718. defined as follows:
  5719.  
  5720. a_0(x,y) = x
  5721. a_{n+1}(x,y) = ( (a_n(x,y))^2 + y^2 ) / 2, for all n >= 0.
  5722.  
  5723. Find the area of the region  { (x,y) | (a_n(x,y))_{n>=0} converges }.
  5724.  
  5725.  
  5726. Problem B4
  5727.  
  5728. Let p(x) be a nonzero polynomial of degree less than 1992 having no
  5729. nonconstant factor in common with x^3 - x. Let
  5730.  
  5731. ( d^1992 / dx^1992 ) ( p(x) / x^3 - x )  =  f(x) / g(x)
  5732.  
  5733. for polynomials f(x) and g(x). Find the smallest possible degree of f(x).
  5734.  
  5735.  
  5736. Problem B5
  5737.  
  5738. Let D_n denote the value of the (n-1) by (n-1) determinant
  5739.  
  5740. | 3 1 1 1 ...  1  |
  5741. | 1 4 1 1 ...  1  |
  5742. | 1 1 5 1 ...  1  |
  5743. | 1 1 1 6 ...  1  |
  5744. | . . . . ...  .  |
  5745. | 1 1 1 1 ... n+1 |
  5746.  
  5747. Is the set {D_n/n!}_{n >= 2} bounded?
  5748.  
  5749.  
  5750. Problem B6
  5751.  
  5752. Let M be a set of real n by n matrices such that
  5753. (i) I \in M, where I is the n by n identity matrix;
  5754. (ii) if A \in M and B \in M, then either AB \in M or -AB \in M, but not both;
  5755. (iii) if A \in M and B \in M, then either AB = BA or AB = -BA;
  5756. (iv) if A \in M and A \noteq I, there is at least one B \in M such that
  5757.      AB = -BA.
  5758.  
  5759. Prove that M contains at most n^2 matrices.
  5760.  
  5761. ==> competition/tests/math/putnam/putnam.1992.s <==
  5762. Now the unofficial solutions. Thanks to Noam Elkies for the B6 solution;
  5763. thanks also to Peter Akemann, Greg John, and Peter Montgomery.
  5764.  
  5765. The Putnam exam deserves criticism this year for an exceptional number
  5766. of typos and poorly worded problems. How can someone taking the Putnam
  5767. be sure that his solutions will be graded carefully, if the exam itself
  5768. shows sloppy typography, grammar, and style?
  5769.  
  5770.  
  5771. Problem A1
  5772.  
  5773. Prove that f(n) = 1 - n is the only integer-valued function defined on
  5774. the integers that satisfies the following conditions.
  5775. (i) f(f(n)) = n, for all integers n;
  5776. (ii) f(f(n + 2) + 2) = n for all integers n;
  5777. (iii) f(0) = 1.
  5778.  
  5779. (The comma in (i) is wrong. Either ``conditions.'' should be
  5780. ``conditions:'' or the semicolons should be periods. Little things...)
  5781.  
  5782. Solution: Certainly if f(n) = 1 - n then (i), (ii), and (iii) hold.
  5783. Conversely, say (i), (ii), and (iii) hold. We show that f(k) = 1 - k
  5784. and f(1 - k) = k for every k >= 0. For k = 0 and 1 we have f(0) = 1 and
  5785. f(1) = f(f(0)) = 0. For k >= 2, by induction we have f(k - 2) = 3 - k
  5786. and f(3 - k) = k - 2. Note that f(n + 2) + 2 = f(f(f(n + 2) + 2)) = f(n).
  5787. So f(k) = f(k - 2) - 2 = 1 - k and f(1 - k) = f(3 - k) + 2 = k as desired.
  5788. As k and 1 - k for k >= 1 cover the integers, we are done.
  5789.  
  5790.  
  5791. Problem A2
  5792.  
  5793. Define C(alpha) to be the coefficient of x^1992 in the power series
  5794. expansion about x = 0 of (1 + x)^alpha. Evaluate
  5795.  
  5796. \int_0^1  C(-y-1) ( 1/(y+1) + 1/(y+2) + 1/(y+3) + ... + 1/(y+1992) )  dy.
  5797.  
  5798. Solution: C(alpha) is given by the usual binomial coefficient formula
  5799. {alpha \choose 1992} = \alpha (\alpha - 1) ... (\alpha - 1991) / 1992!.
  5800. Hence C(-y-1) = (-y-1)(-y-2)...(-y-1992)/1992! = (y+1)...(y+1992)/1992!.
  5801. Set f(y) = (y+1)(y+2)...(y+1992). Now f has logarithmic derivative
  5802. f'/f = ( 1/(y+1) + 1/(y+2) + ... + 1/(y+1992) ). Hence our integral
  5803. equals \int_0^1 f(y)/1992! f'(y)/f(y) dy = \int_0^1 f'(y) dy/1992! =
  5804. (f(1) - f(0))/1992! = (1993! - 1992!)/1992! = 1993 - 1 = 1992.
  5805.  
  5806.  
  5807. Problem A3
  5808.  
  5809. For a given positive integer m, find all triples (n,x,y) of positive
  5810. integers, with n relatively prime to m, which satisfy (x^2 + y^2)^m = (xy)^n.
  5811.  
  5812. Solution: Certainly xy < x^2 + y^2 so m < n. Put n = m + k, k > 0.
  5813. Let d be the greatest common divisor of x and y. Say x = ds, y = dt.
  5814. Now d^{2m}(s^2 + t^2)^m = d^{2n}(st)^n, so (s^2 + t^2)^m = d^{2k}(st)^n.
  5815. If a prime p divides s then p divides d^{2k}(st)^n = (s^2 + t^2)^m,
  5816. so p must divide t. But s and t are relatively prime. Hence s = 1.
  5817. Similarly t = 1. So d^{2k} = 2^m. Hence d is a power of 2, say d = 2^j,
  5818. and m = 2jk. As n = m + k = 2jk + k we see that k is a common factor of
  5819. m and n. Thus k = 1. So m = 2j, n = 2j + 1, x = y = d = 2^j. If m is odd
  5820. then there are no solutions; if m is even then the only possible solution
  5821. is (m + 1,2^{m/2},2^{m/2}). This does satisfy the given conditions.
  5822.  
  5823.  
  5824. Problem A4
  5825.  
  5826. Let f be an infinitely differentiable real-valued function defined on
  5827. the real numbers. If
  5828.  
  5829. f(1/n) = n^2/(n^2 + 1), n = 1,2,3,...,
  5830.  
  5831. compute the values of the derivatives f^(k)(0), k = 1,2,3,... .
  5832.  
  5833. (``Let f be a foo. If bar, compute blah.'' Does this mean that one need
  5834. only answer the question if ``bar'' happens to be true? May one choose
  5835. his favorite f, such as f(x) = x, observe that it does not satisfy ``bar'',
  5836. and [successfully] answer the question without computing anything?
  5837. ``If ..., compute'' should be ``Assume ... . Compute''.)
  5838.  
  5839. Solution: We first observe that the function g(x) = 1/(1 + x^2) satisfies
  5840. all the known properties of f: it is infinitely differentiable, and
  5841. g(1/n) = n^2/(n^2 + 1). From the Taylor expansion of g around 0,
  5842. g(x) = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + ..., we see that g^(k)(0) is 0 for k odd,
  5843. (-1)^{k/2}k! for k even.
  5844.  
  5845. Can f differ from g in its derivatives at 0? The difference h = f - g
  5846. is an infinitely differentiable function with roots at 1/n for every
  5847. positive n. We show that any such function has all derivatives 0 at 0.
  5848. Suppose not. Take the least k >= 0 for which h^(k)(0) is nonzero.
  5849. Without loss of generality say it is positive. By continuity h^(k) is
  5850. positive in an open interval U around 0. Let S be the set of positive
  5851. elements of U. Now h^(k-1) is increasing on S, and by minimality of k
  5852. we have h^(k-1)(0) = 0, so h^(k-1) is positive on S. Then h^(k-2) is
  5853. increasing on S, and h^(k-2)(0) = 0, so h^(k-2) is positive on S. In
  5854. general h^j is positive on S for j down from k to 0 by induction. In
  5855. particular h is positive on S, but this is impossible, as 1/n is in S
  5856. for n sufficiently large.
  5857.  
  5858. Thus f has all the same derivatives as g: f^(k)(0) is 0 for k odd,
  5859. (-1)^{k/2}k! for k even.
  5860.  
  5861. Alternative solution:
  5862. Let g(x) = 1/(1 + x^2).  We may compute the derivatives as before, and again
  5863. the problem reduces to showing that all derivatives of f(x)-g(x) = h(x)
  5864. vanish at 0.
  5865.  
  5866. By continuity, h^(0) vanishes at 0.  We now proceed by induction using the
  5867. nth mean value theorem, which states that h(x) = h(0) + h'(0) + ... +
  5868. h^(n-1)(0)/(n-1)! + h^(n)(\theta)/n!, where 0 <= \theta <= x.  By induction,
  5869. the derivatives up to the (n-1)-th vanish at 0, and if we take x = 1, 1/2,
  5870. ... we get h^(n)(\theta_n) = 0, where 0 <= \theta_n <= 1/n.  Hence
  5871. \{\theta_n\}
  5872. tends to 0.  But h is infinitely differentiable, so h^n is infinitely
  5873. differentiable and hence continuous.  It follows that h^(n)(0) = 0.
  5874.  
  5875. Yet another solution:
  5876. Consider only n divided by l.c.m/(1,2,\ldots,k).
  5877. f^(k)(0)   = \lim_{n\rightarrow\infty}
  5878.    ( \sum_{i=0}^k {k\choose i}(-1)^{i+1} f(i/n)  ) / (1/n)^k
  5879.            = \lim_{n\rightarrow\infty}
  5880.    ( \sum_{i=0}^k {k\choose i}(-1)^{i+1} g(i/n)  ) / (1/n)^k
  5881. =g^{k}(0)= \cos(\pi k/2) k!
  5882.  
  5883. Or replace n by n*l.c.m.(1,2,\ldots,k) in the above and allow n to be any
  5884. positive integer.
  5885.  
  5886. Problem A5
  5887.  
  5888. For each positive integer n, let
  5889.  
  5890. a_n = {  0 if the number of 1's in the binary representation of n is even,
  5891.          1 if the number of 1's in the binary representation of n is odd.
  5892.  
  5893. Show that there do not exist positive integers k and m such that
  5894.  
  5895. a_{k+j} = a_{k+m+j} = a_{k+2m+j},  for 0 <= j <= m - 1.
  5896.  
  5897. (Is every student supposed to know what the writer means by ``the binary
  5898. representation of n''? Anyway, this problem is well known in some circles.
  5899. I don't think Putnam writers should copy problems.)
  5900.  
  5901. Solution: Let us suppose the opposite. Pick m minimal such that, for
  5902. some k, a_{k+j} = a_{k+m+j} for every 0 <= j <= 2m - 1. The minimality
  5903. guarantees that m is odd. (Indeed, say m = 2m'. If k = 2k' is even,
  5904. then put j = 2j' for 0 <= j' <= m - 1 = 2m' - 1. Now a_n = a_{2n} so
  5905. a_{k'+j'} = a_{k+j} = a_{k+m+j} = a_{k'+m'+j'} as desired. If on the
  5906. other hand k = 2k' - 1 is odd, then put j = 2j' + 1 for 0 <= j' <= 2m' - 1.
  5907. Now a_{k'+j'} = a_{k+j} = a_{k+m+j} = a_{k'+m'+j'} as desired.)
  5908.  
  5909. We cannot have m = 1. Indeed, if a_k = a_{k+1} = a_{k+2}, then we have
  5910. a_{2n} = a_{2n+1} for n = k/2 if k is even or n = (k+1)/2 if k is odd.
  5911. But a_{2n} + a_{2n+1} = 1 always. Hence m is an odd number greater than 1.
  5912.  
  5913. Define b_n = (a_n + a_{n-1}) mod 2. For 1 <= j <= 2m - 1 we have
  5914. b_{k+j} = b_{k+m+j}. This range of j covers at least 5 values; we can
  5915. certainly choose j so as to make k+j equal to 2 mod 4. Then k+m+j is
  5916. odd. But b_n is 0 when n is 2 mod 4, and b_n is 1 when n is odd, so we
  5917. have a contradiction.
  5918.  
  5919.  
  5920. Problem A6
  5921.  
  5922. Four points are chosen at random on the surface of a sphere. What is the
  5923. probability that the center of the sphere lies inside the tetrahedron
  5924. whose vertices are at the four points? (It is understood that each point
  5925. is independently chosen relative to a uniform distribution on the sphere.)
  5926.  
  5927. Solution: Pick three points A, B, C, and consider the spherical triangle
  5928. T defined by those points. The center of the sphere lies in the convex
  5929. hull of A, B, C, and another point P if and only if it lies in the convex
  5930. hull of T and P. This happens if and only if P is antipodal to T. So the
  5931. desired probability is the expected fraction of the sphere's surface area
  5932. which is covered by T.
  5933.  
  5934. Denote the antipode to a point P by P'. We consider the eight spherical
  5935. triangles ABC, A'BC, AB'C, A'B'C, ABC', A'BC', AB'C', A'B'C'. Denote
  5936. these by T_0, T_1, T_2, T_3, T_4, T_5, T_6, T_7; we regard each T_i
  5937. as a function of the random variables A, B, C. There is an automorphism
  5938. of our probability space defined by (A,B,C) -> (A,B,C'). Hence T_0 and
  5939. T_4 have the same distribution, and similarly T_1 and T_5, T_2 and T_6,
  5940. and T_3 and T_7. Of course the same applies to B, so that T_0 and T_2,
  5941. T_1 and T_3, T_4 and T_6, and T_5 and T_7 all have the same distribution.
  5942. Finally T_0 and T_1, T_2 and T_3, T_4 and T_5, and T_6 and T_7 all have
  5943. the same distribution. We conclude that all the T_i have exactly the
  5944. same distribution. In particular the fractional area A_i of T_i has the
  5945. same distribution for all i.
  5946.  
  5947. On the other hand the total fractional area of all the T_i is exactly
  5948. 1: the eight triangles cover the sphere exactly once. Hence each T_i
  5949. has expected fractional area 1/8. In particular, T_0, the probability we
  5950. wanted, has expected value 1/8.
  5951.  
  5952. Note that this proof does not require the full strength of uniform
  5953. distribution in the usual measure; nor does it require independence
  5954. between all the variables. It requires only certain automorphisms of
  5955. the probability space.
  5956.  
  5957.  
  5958. Problem B1
  5959.  
  5960. Let S be a set of n distinct real numbers. Let A_S be the set of numbers
  5961. that occur as averages of two distinct elements of S. For a given n >= 2,
  5962. what is the smallest possible number of distinct elements in A_S?
  5963.  
  5964. (``Smallest possible number of distinct elements in A_S''? Who talks
  5965. about ``the number of _distinct_ elements'' of a set? How about just
  5966. ``the number of elements''? Or ``the size''? Aargh. The quantifiers
  5967. here are completely out of whack: n has to be fixed [not ``given'']
  5968. before anything else, and it's not immediately clear that ``smallest
  5969. possible'' refers to ``the minimum over all S''. Proposed rewrite:
  5970. ``Fix n >= 2. For any set S of n real numbers, let A_S be the set of
  5971. averages of two distinct elements of S. What is the minimum, over all
  5972. S, of the size of A_S?'')
  5973.  
  5974. Solution: We put the elements of S in order: s_1 < s_2 < ... < s_n.
  5975. We have s_1 + s_2 < s_1 + s_3 < ... < s_1 + s_{n-1} < s_1 + s_n <
  5976. s_2 + s_n < s_3 + s_n < ... < s_{n-1} + s_n. Hence the 2n - 3 averages
  5977. (s_i + s_j)/2, i < j, with i = 1 or j = n, are all distinct. So A_S
  5978. has size at least 2n - 3. This is achieved if, for instance,
  5979. S = {1,2,...,n}.
  5980.  
  5981.  
  5982. Problem B2
  5983.  
  5984. For nonnegative integers n and k, define Q(n,k) to be the coefficient of
  5985. x^k in the expansion of (1+x+x^2+x^3)^n. Prove that
  5986.  
  5987. Q(n,k) = \sum_{j=0}^n {n \choose j} {n \choose k - 2j},
  5988.  
  5989. where {a \choose b} is the standard binomial coefficient. (Reminder: For
  5990. integers a and b with a >= 0, {a \choose b} = a!/b!(a-b)! for 0 <= b <= a,
  5991. and {a \choose b} = 0 otherwise.)
  5992.  
  5993. Solution: (1+x^2)(1+x) = 1+x+x^2+x^3, so (1+x^2)^n(1+x)^n = (1+x+x^2+x^3)^n,
  5994. so (\sum {n\choose j} x^{2j}) (\sum {n\choose m} x^m) = \sum Q(n,k)x^k.
  5995. The coefficient of x^k on the left is the sum of {n\choose j}{n\choose m}
  5996. over all j,m with m + 2j = k, i.e., \sum_j {n\choose j}{n\choose k-2j}.
  5997.  
  5998.  
  5999. Problem B3
  6000.  
  6001. For any pair (x,y) of real numbers, a sequence (a_n(x,y))_{n>=0} is
  6002. defined as follows:
  6003.  
  6004. a_0(x,y) = x
  6005. a_{n+1}(x,y) = ( (a_n(x,y))^2 + y^2 ) / 2, for all n >= 0.
  6006.  
  6007. Find the area of the region  { (x,y) | (a_n(x,y))_{n>=0} converges }.
  6008.  
  6009. (The parentheses in (a_n(x,y))^2 are confusing, as the writer also
  6010. uses parentheses to denote the entire sequence of a_n.)
  6011.  
  6012. Solution: Note that (x,y) and (x,-y) produce the same sequence, and
  6013. (-x,y) and (x,y) produce the same sequence after the first step. So
  6014. we will restrict attention to nonnegative x and y and quadruple our
  6015. final answer.
  6016.  
  6017. Fix x and y. Set f(z) = ( z^2 + y^2 ) / 2, so that a_n(x,y) =
  6018. f(a_{n-1}(x,y)). Now f'(z) = z, so f is increasing on the positive reals.
  6019. So (a_n(x,y))_n is monotone---either increasing, decreasing, or constant.
  6020. We consider several (non-exclusive) possibilities.
  6021.  
  6022. Case 1. Say y > 1. Then f(z) > (1 + z^2)/2 + (y - 1) >= z + (y - 1), so
  6023. a_n(x,y) increases by at least y - 1 at each step.
  6024.  
  6025. Case 2. Say f(x) < x. Then we have 0 < a_n(x,y) < a_{n-1}(x,y) <= x for
  6026. every n. (Indeed, for n = 1 we have 0 < f(x) < x. For n >= 2 we have
  6027. a_{n-1}(x,y) < a_{n-2}(x,y) by induction. So a_n(x,y) < a_{n-1}(x,y),
  6028. as f is increasing.) As (a_n(x,y))_n is decreasing and bounded below,
  6029. it converges.
  6030.  
  6031. Case 3. Say f(x) > x > 1. Define g(z) = f(z) - z, so that g(x) > 0.
  6032. We have g'(z) = z - 1, so g is increasing past 1. Now a_n(x,y) >=
  6033. x + ng(x). (Indeed, for n = 1 we have a_1(x,y) = f(x) = x + g(x).
  6034. For n >= 2 set a = a_{n-1}(x,y). We have a >= x + (n-1)g(x) > x by
  6035. induction. So g(a) > g(x), and a_n(x,y) = f(a) = a + g(a) > a + g(x) >=
  6036. x + ng(x) as desired.) So a_n increases without bound.
  6037.  
  6038. Case 4. Say x < 1, y < 1. Then f(x) < f(1) < (1 + 1)/2 = 1. Similarly
  6039. a_n(x,y) < 1 for every n. As (a_n(x,y))_n is bounded and monotone, it
  6040. converges.
  6041.  
  6042. Let's put this all together. For y > 1 the sequence diverges. For y < 1
  6043. and x < 1 the sequence does converge. For y < 1 and x > 1, the sequence
  6044. converges if f(x) < x, and diverges if f(x) > x. The points we miss in
  6045. this tally---y = 1, x = 1, f(x) = x---have zero total area.
  6046.  
  6047. The condition f(x) < x is equivalent to (x-1)^2 + y^2 < 1, which
  6048. describes a quarter-circle of radius 1 in the region y > 0, x > 1. Thus
  6049. the total area for positive x and y is 1 (for the square y < 1, x < 1)
  6050. plus pi/4 (for the quarter-circle). The final answer is quadruple this,
  6051. or 4 + pi.
  6052.  
  6053.  
  6054. Problem B4
  6055.  
  6056. Let p(x) be a nonzero polynomial of degree less than 1992 having no
  6057. nonconstant factor in common with x^3 - x. Let
  6058.  
  6059. ( d^1992 / dx^1992 ) ( p(x) / (x^3 - x) )  =  f(x) / g(x)
  6060.  
  6061. for polynomials f(x) and g(x). Find the smallest possible degree of f(x).
  6062.  
  6063. (The second sentence is backwards---``let'' should be followed
  6064. immediately by the variable being introduced. Would you say ``Let
  6065. 2 equal x + y for integers x and y''?)
  6066.  
  6067. Solution: First divide p(x) by x^3 - x: p(x) = (x^3 - x)q(x) + r(x),
  6068. with r of degree at most 2. Now f(x)/g(x) = D^1992 (q(x) + r(x)/(x^3-x))
  6069. = D^1992 (r(x)/(x^3-x)), as q has degree less than 1992; here we write
  6070. D for d/dx. We expand r(x)/(x^3-x) in partial fractions as -r(0)/x +
  6071. r(1)/2(x-1) + r(-1)/2(x+1). Now the 1992nd derivative of this is
  6072. Cr(0)/x^1993 + Cr(1)/(x-1)^1993 + Cr(-1)/(x+1)^1993 for a certain
  6073. nonzero constant C which we don't care about. This then equals
  6074. (Cr(0)(x^2-1)^1993 + Cr(1)(x^2+x)^1993 + Cr(-1)(x^2-x)^1993)/(x^3-x)^1993.
  6075.  
  6076. The numerator and denominator here are coprime, for none of x, x-1, x+1
  6077. divide the numerator. (If, for instance, x divided the numerator, then
  6078. r(0) would have to be 0, but then p(x) would have a factor of x in
  6079. common with x^3-x, contrary to hypothesis.) So f(x) is a multiple of
  6080. the numerator and g(x) is a multiple of the denominator. Our question
  6081. is thus ``What is the smallest possible degree of the polynomial P =
  6082. U(x^2-1)^1993 + V(x^2+x)^1993 + W(x^2-x)^1993, over all U, V, W which
  6083. can arise as U=Cr(0), V=Cr(1), W=Cr(-1)?''
  6084.  
  6085. P has degree at most 2.1993. Its 2.1993 coefficient is U + V + W. Its
  6086. 2.1993-1 coefficient is 1993V - 1993W. Its 2.1993-2 coefficient is
  6087. -1993U + 1993.(1992/2)V + 1993.(1992/2)W. If all three of these are
  6088. zero then by linear algebra all of U, V, W are zero, which is not
  6089. possible. Hence P, and thus also f, has degree at least 2.1993-2, or
  6090. double 1992. This is achieved if, for instance, p(x) = r(x) = 3x^2 - 2,
  6091. so that r(0)+r(1)+r(-1)=-2+1+1=0 and r(1)=r(-1).
  6092.  
  6093. (The degree restriction on p in this problem seems somewhat strange,
  6094. though it simplifies the solution slightly. Noam Elkies notes that
  6095. the ``nonzero constant C'' above will be zero---so that f will be 0---
  6096. if we're working over a field with characteristic dividing 1992!.
  6097. Should the problem have explicitly identified the ground field as
  6098. the reals?)
  6099.  
  6100.  
  6101. Problem B5
  6102.  
  6103. Let D_n denote the value of the (n-1) by (n-1) determinant
  6104.  
  6105. | 3 1 1 1 ...  1  |
  6106. | 1 4 1 1 ...  1  |
  6107. | 1 1 5 1 ...  1  |
  6108. | 1 1 1 6 ...  1  |
  6109. | . . . . ...  .  |
  6110. | 1 1 1 1 ... n+1 |
  6111.  
  6112. Is the set {D_n/n!}_{n >= 2} bounded?
  6113.  
  6114. (``The value of the determinant''? Why not just ``the determinant''?
  6115. Why talk about ``the set'' when it's much more common to talk about
  6116. ``the sequence''? And where's the period on the first sentence?)
  6117.  
  6118. Solution: No, it is the harmonic series.
  6119.  
  6120. We subtract the first row from each of the other rows, to get a matrix
  6121. 3 1 1 1 ... 1, -2 3 0 0 ... 0, -2 0 4 0 ... 0, ..., -2 0 0 0 ... n.
  6122. Then we subtract 1/3 of the new second row from the first, 1/4 of the
  6123. new third row from the first, and so on, to kill all the 1's along the
  6124. top. We are left with a triangular matrix, with diagonal X 3 4 ... n,
  6125. where X equals 3 - (-2)/3 - (-2)/4 - ... - (-2)/n =
  6126. 3 + 2/3 + 2/4 + ... + 2/n = 2(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n). Thus
  6127. the determinant is n! times 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n. Q. E. D.
  6128.  
  6129.  
  6130. Problem B6
  6131.  
  6132. Let M be a set of real n by n matrices such that
  6133. (i) I \in M, where I is the n by n identity matrix;
  6134. (ii) if A \in M and B \in M, then either AB \in M or -AB \in M, but not both;
  6135. (iii) if A \in M and B \in M, then either AB = BA or AB = -BA;
  6136. (iv) if A \in M and A \noteq I, there is at least one B \in M such that
  6137.      AB = -BA.
  6138.  
  6139. Prove that M contains at most n^2 matrices.
  6140.  
  6141. Solution (courtesy Noam Elkies): Fix A in M. By (iii) AB = eBA, where e
  6142. is either +1 or -1, for any B in M. Then AAB = AeBA = eABA = e^2BAA = BAA.
  6143. So A^2 commutes with any B in M. Of course the same is true of -A^2. On
  6144. the other hand by (ii) A^2 or -A^2 is in M. Pick C = A^2 or C = -A^2 so
  6145. that C is in M.
  6146.  
  6147. If C is not I, then by (iv) we can find a B in M such that CB = -BC. But
  6148. we know CB = BC for any B in M. Thus CB = 0, which is impossible, as by
  6149. (ii) no two elements of M can multiply to 0.
  6150.  
  6151. We conclude that C must be I. In other words, for any A in M, either A^2
  6152. or -A^2 must be I.
  6153.  
  6154. Now suppose M has more than n^2 matrices. The space of real n by n
  6155. matrices has dimension n^2, so we can find a nontrivial linear relation
  6156. \sum_{D in M} x_D D = 0. Pick such a relation with the smallest possible
  6157. number of nonzero x_D. We will construct a smaller relation, obtaining a
  6158. contradiction and finishing the proof.
  6159.  
  6160. Pick an A with x_A nonzero, and multiply by it: \sum_{D in M} x_D DA = 0.
  6161. In light of (ii) the matrices DA run over M modulo sign. Hence we have a
  6162. new relation \sum_{E in M} y_E E = 0. The point of this transformation is
  6163. that now the coefficient y_I of I is +- x_A, which is nonzero.
  6164.  
  6165. Pick any C other than I such that y_C is nonzero. By (iv) pick B in M
  6166. such that CB = -BC. Multiply \sum_{E in M} y_E E = 0 by B on both the left
  6167. and the right, and add: \sum_{E in M} y_E (BE + EB) = 0. Now by (iii) we
  6168. have BE + EB = (1 + e_{BE})BE, where e_{BE} is either +1 or -1. In
  6169. particular e_{BI} = 1 (clear) and e_{BC} = -1 (by construction of B).
  6170. So we get \sum_{E in M} y_E (1 + e_{BE}) BE = 0, where at least one term
  6171. does not disappear and at least one term does disappear. As before the
  6172. matrices BE run over M modulo sign. So we have a relation with fewer
  6173. terms as desired.
  6174.  
  6175.  
  6176. ---Dan Bernstein, brnstnd@ocf.berkeley.edu, 7 December 1992
  6177.  
  6178.