Amiga MA Magazine 1997 #3/amigamamagazinepolishissue03-1/ma_1995/08/ami011.txt

Text File | 1997-04-07 | 12KB | 239 lines

************* tu 3 krótkie listingi i 7 ilustracji *********

CAÎECZKI

<lead>Utarî sië poglâd, ûe do obliczeï, komputerowej symulacji
zjawisk fizycznych czy innych zastosowaï zwiâzanych z matematykâ
lub fizykâ jedynym sîusznym komputerem jest pecet. No cóû,
dyskusje nad tym, jaki komputer jest lepszy, nie prowadzâ z
reguîy do niczego. Faktem jest, ûe pecet w tych zastosowaniach
jest popularniejszy. Ale maluch teû jest najpopularniejszym
samochodem w Polsce, choê na pewno nie najlepszym.

<a>Bolesîaw Szczerba

<txt>Ûeby jasno wyraziê swoje zdanie, powiem tylko, ûe jestem
studentem cholernie pecetycznej fizyki jâdrowej i jakoô ûyjë bez
peceta w domu. Snobizm? Nie, wygoda. Do skomplikowanych obliczeï,
wymagajâcych duûej mocy obliczeniowej, mam na uczelni RISC-a czy
od biedy 486 DX2 66 MHz. Do napisania i skompilowania programu w
C czy zaîadowania programu do niewielkiej obróbki danych
wystarczy mi w zupeînoôci amigowy PC-Task 2.03, a raczej
uruchomione pod nim odpowiednie programy. Do wiëkszej obróbki
danych i 486 w domu na nic by mi sië nie przydaî, bo po pierwsze,
przez duûâ obróbkë rozumiem pliki z danymi rzëdu 20 MB, a takich
plików mogâ byê dziesiâtki i setki, wiëc nie przeniósîbym ich do
domu; po drugie, nawet gdybym je przeniósî, to po co mam traciê
na nie miejsce na twardym dysku; po trzecie, za pracë po
godzinach nikt mi nie pîaci.

Zostawmy jednak të dyskusjë na kiedy indziej i przejdúmy do
rzeczy. Pokaûë, jak w prosty sposób uûywaê naszej Amy do obliczeï
przydatnych w matematyce i fizyce. Zacznë od rzeczy najprostszej,
choê bardzo czësto stosowanej w fizyce -- od liczenia caîek
oznaczonych. Wbrew pozorom to nie jest taka banalna sprawa, gdyû
wiele caîek nie da sië policzyê analitycznie. Takie wypadki sâ
najczëstsze i liczy sië je numerycznie. Poniewaû nie wszyscy
Czytelnicy zetknëli sië z caîkami w liceum, a jest to
niesîychanie fajna sprawa i absolutnie dla ludzi, przypomnë
pokrótce, o co chodzi w tej zabawie. Osoby znajâce rachunek
caîkowy mogâ pominâê poniûszy akapit.

<sr>Trochë teorii

<txt>Bodajûe w trzeciej klasie liceum uczy sië o pochodnych. I
ten poziom wiedzy zakîadam u Czytelnika. W razie czego moûna sië
douczyê z podrëcznika do matematyki dla tejûe klasy. Caîki
przychodzâ chyba w czwartej klasie, ale, o ile wiem, tylko w
klasach o profilu matematyczno-fizycznym.

W ogromnym uproszczeniu: caîka to taka odwrotna pochodnej.
Funkcja, z której dana nam funkcja jest pochodnâ, nosi nazwë
funkcji pierwotnej wzglëdem danej. Podawanie funkcji pierwotnych
do danych to wîaônie caîkowanie nie oznaczone. I tak np. pochodnâ
funkcji sinus jest cosinus. Oznacza to, ûe funkcjâ pierwotnâ do
cosinusa jest wîaônie sinus, bo tenûe musimy zróûniczkowaê, aby
otrzymaê cosinus. Mówimy, ûe caîkâ nie oznaczonâ funkcji cosinus
jest funkcja sinus, ale z dokîadnoôciâ do staîej. Z dokîadnoôciâ
do staîej, bo caîkâ z cosinusa moûe byê zarówno sin(x)+3,
sin(x)-3.14, jak i sin(x) (=sin(x)+0). Dlaczego tak? Policz
pochodne podanych trzech funkcji: wszystkie one sâ równe cos(x).
Zapisujemy to tak, jak pokazano na rysunku 1. Zapis dx oznacza,
ûe caîkowanie przebiega po zmiennej x. Caîkowanie oznaczone
polega na liczeniu caîki nie oznaczonej w pewnych granicach.
Popatrzmy na rysunek 2. To caîka nie oznaczona. Na rysunku 3. ta
sama caîka, tylko w granicach od 2 do 3. Co robimy? Odgadujemy
postaê funkcji pierwotnej do danej funkcji (tu chodzi o pierwotnâ
do x^2, czyli x^3/3), obliczamy wartoôê funkcji pierwotnej w
górnej granicy caîkowania (liczba nad znakiem caîki -- tu 3),
obliczamy jej wartoôê w dolnej granicy (liczba pod znakiem caîki
-- tu 2) i odejmujemy pierwsze od drugiego. Warto zaznaczyê, ûe
caîka nie oznaczona jest funkcjâ, podczas gdy caîka oznaczona
liczbâ.

Teraz dopiero, dla tych, którzy przeûyli powyûsze proste wywody,
zaczyna sië zabawa. Skâdinâd wiadomo (tego juû nie bëdë dowodziî
-- jest to w kaûdej ksiâûce do analizy matematycznej), ûe caîka
oznaczona z jakiejô funkcji to dokîadnie fragment pola pod
krzywâ, wyznaczonâ przez të funkcjë. A to juû nie byle co.
Przedstawia to rysunek 4. Czy wyobraûacie sobie, ûe w ten sposób
moûna liczyê pola pod dowolnymi (no, caîkowalnymi, tzn.
majâcymi funkcjë pierwotnâ) krzywymi? Moûemy policzyê, ile
np. wynosi pole jednego "garbu" funkcji sinus czy cosinus --
wystarczy caîkë, podanâ na rysunku 1., policzyê w granicach -pi/2
do pi/2, i gotowe. Moûna teû wyprowadziê wzór na pole koîa (czy
ktokolwiek z Was sië zastanawiaî, skâd sië wziâî wzór na pole
koîa?). Co ciekawsze, granice caîek mogâ byê nieskoïczone, tzn.
moûemy liczyê caîki np. od zera do plus nieskoïczonoôci. I
okazuje sië, ûe pola pod niektórymi krzywymi, mimo ûe
przedstawiajâ geometrycznie nieograniczone figury, majâ SKOÏCZONE
pola.

<sr>Trochë praktyki

<txt>Podany sposób liczenia caîek oznaczonych to tzw. sposób
analityczny. Wymyôlamy funkcjë pierwotnâ, liczymy jej wartoôci w
granicach i mamy pole. Jednak co zrobiê, gdy dana funkcja NIE MA
funkcji pierwotnej? A takich wypadków jest sporo -- przykîadem
moûe byê funkcja exp(-x^2). Albo co zrobiê, gdy mamy BARDZO
skomplikowanâ funkcjë i nawet nie wiemy, czy funkcja pierwotna
istnieje (nie mówiâc o jej policzeniu)? Jak na zîoôê akurat z
takimi caîkami mamy najczëôciej do czynienia w fizyce. I tu z
pomocâ przychodzâ komputery. Pokaûë, w jaki sposób liczyê caîki
oznaczone (i tym samym odpowiednie pola) numerycznie. Tu juû nie
ma najmniejszego znaczenia, czy funkcja pierwotna istnieje, czy
nie. Nie musimy jej W OGÓLE szukaê. Przy liczeniu numerycznym
caîek oznaczonych skorzystamy z omówionego przed chwilâ zwiâzku
jej wartoôci z polem pod krzywâ (rysunek 4.). Sprawa jest
banalna: znamy dokîadnâ postaê funkcji, znamy a i b, cóû nam
wiëcej trzeba?

<sr>Metoda prostokâtów

<txt>Spójrzmy na rysunek 5. Caîe pole dzielimy na N prostokâtów o
równych podstawach. Pole prostokâta to chyba kaûdy umie policzyê
(jak nie umie, to raczej nie doszedî do tego fragmentu...)
Zakîadamy sobie jakieô N, znamy a oraz b (przy zaîoûeniu, ûe b>a
-- patrz rysunek). Dîugoôê podstawy kaûdego z prostokâtów wynosi
(b-a)/N, to chyba oczywiste. Natomiast wysokoôê danego
prostokâta to po prostu wartoôê funkcji f(x) w dowolnym punkcie
naleûâcym do jego podstawy -- dla porzâdku umówmy sië, ûe
bierzemy skrajny prawy punkt. Wspóîrzëdna x pierwszego takiego
punktu to a+(b-a)/N, drugiego a+2(b-a)/N, trzeciego a+3(b-a)/N
itd. Przedostatni z nich ma wspóîrzëdnâ x równâ a+(N-1)(b-a)/N, a
ostatni a+N(b-a)/N, czyli b. Bierze sië to z dodawania do
pierwszego punktu przedziaîu, czyli punktu (a,0), kolejnych
wielokrotnoôci dîugoôci podstawy prostokâta. Jedyne, co trzeba
zrobiê, to policzyê wartoôci funkcji w podanych powyûej punktach.
Teraz trzeba policzyê pola wszystkich prostokâtów (to juû
îatwizna) i dodaê do siebie. Otrzymana liczba to wartoôê caîki
oznaczonej w granicach od a do b. Jasne jak drut i proste jak
sîoïce.

<sr>Metoda trapezów

<txt>Podana powyûej metoda prostokâtów ma jednak pewnâ wadë.
Popatrzcie na rysunek. Ile wolnego miejsca zostaje miëdzy krzywâ
a prostokâtami? Oszustwo to widaê tym bardziej, im bardziej
stroma jest krzywa. Jest to nieekonomiczne. Po prostu
mamy sakramencko wielki niedomiar lub nadmiar, który
moûe nam zepsuê caîe obliczenia przy niedostatecznie gëstym
podziale, gdyû moûe je obarczyê duûym bîëdem. W praktyce stosuje
sië raczej innâ metodë -- metodë trapezów. Jak nietrudno sië
domyôliê, polega ona na tym, ûe pole pod krzywâ jest przybliûane
trapezami (patrz rysunek 6.). Wysokoôê trapezu przejmuje rolë
podstawy prostokâta i równieû wynosi (b-a)/N, gdzie N jest liczbâ
trapezów, na jakie dzielimy pole. Róûnica polega jedynie na tym,
ûe do policzenia pola trapezu musimy znaê trzy liczby: obie
podstawy i wysokoôê. Wysokoôê juû znamy, a podstawy? Teû!
Pierwsza to wartoôê funkcji w skrajnym lewym punkcie podstawy
trapezu, a druga to wartoôê funkcji w jej skrajnym prawym
punkcie. Wspóîrzëdne punktów pozostajâ bez zmian, z tym ûe
startujemy tym razem od punktu (a,0), a nie jak poprzednio od
(a+(b-a)/N,0). Po zsumowaniu pól wszystkich trapezów mamy o wiele
dokîadniejszâ wartoôê caîki. Daje to o wiele lepsze rezultaty i
nie zaleûy juû tak silnie od stromoôci funkcji, jak metoda
prostokâtów. Poza tym jest to metoda szybsza -- aby obliczyê
wartoôê caîki z tâ samâ dokîadnoôciâ metodâ prostokâtów,
musielibyômy zaîoûyê gëstszy podziaî (tzn. dzieliê pole na wiëcej
czëôci), w zwiâzku z tym obliczenia trwaîyby dîuûej. A fizycy
potrafiâ doceniê nawet niewielki przyrost prëdkoôci algorytmu,
zwîaszcza gdy obliczenia idâ w dni, tygodnie, miesiâce...

<sr>W praniu

<txt>Pora pokazaê, co z tym wszystkim moûna zrobiê --
przedstawiam trzy listingi programów do samodzielnego wklepania.
Jak zwykle zakîadam ôladowâ znajomoôê C oraz chëê programowania,
poîâczonâ z podstawowymi pojëciami w tym zakresie. A wiëc
przyjmujë, ûe Czytelnik wie, co to pëtle czy instrukcje
warunkowe.  Nie bëdë teû wyjaôniaî, po co przy instrukcji 'if' sâ
nawiasy ani co robiâ dwa plusy koîo siebie. Podane listingi
powinny sië daê skompilowaê dowolnym kompilatorem C, ja uûywaîem
SAS/C 6.5. Dla porzâdku podajë teû zawartoôê pliku SCOptions
(jednakowâ dla kaûdego listingu, choê przypominam, ûe kaûdy z
nich to ODDZIELNY projekt):

<l>MATH=STANDARD

ERRORREXX

OPTIMIZE

LINK

OPTIMIZERTIME

<txt>Jeôli masz lepszy procesor, moûesz przyspieszyê program,
dopisujâc np. linië:

<l>CPU=68020

<txt>lub przy innym procesorze odpowiednio innâ. Pierwsze dwa
programy pokazujâ, jak policzyê liczbë PI. Na rysunku 7. widzimy
wykres funkcji 1/(1+x^2). Caîka oznaczona z tej funkcji w
granicach od zera do jeden to dokîadnie PI/4 -- jest to policzone
analitycznie. Funkcjâ pierwotnâ do danej jest tu funkcja odwrotna
do tangensa -- arcus tangens. Jej wartoôê w zerze to zero, jej
wartoôê w jedynce to PI/4, bo tg(PI/4) to jeden. Korzystamy z
faktu, ûe pole pod krzywâ jest równe odpowiedniej caîce
oznaczonej; wiemy, ûe ta caîka ma wartoôê PI/4, wiëc co nam
szkodzi policzyê jâ niezaleûnie w sposób numeryczny? Wystarczy
policzone numerycznie pole pomnoûyê przez 4 i mamy wartoôê PI!
Na listingu 1.  moûna zobaczyê, jak policzyê to pole metodâ
prostokâtów, a na listingu 2. metodâ trapezów. Moûna samemu
stwierdziê, która metoda jest lepsza, porównujâc czas obliczeï i
ich dokîadnoôê.  Programiki po skompilowaniu trzeba uruchamiaê z
CLI lub Shella, podajâc jako argument gëstoôê podziaîu, czyli N.
Na tyle czëôci program podzieli pole pod krzywâ przedstawionâ na
rysunku 7. Na poczâtku nie radzë przekraczaê miliona, bo to moûe
potrwaê. I jeszcze jedno: uwaûni Czytelnicy nie bëdâ czekaê ze
stoperem w rëku na koniec obliczeï...

Jak policzyê np. caîkë oznaczonâ z funkcji f(x)=x^2 w DOWOLNYM
przedziale <a;b>, pokazaîem na listingu 3. Przy uruchomieniu
programu z CLI lub Shella trzeba pamiëtaê o podaniu trzech
argumentów: podziaîu oraz granic. Specjalnie wybraîem takâ prostâ
funkcjë, ûeby kaûdy mógî "sprawdziê", czy program nie oszukuje --
caîkë z podanej funkcji moûna policzyê analitycznie (patrz
rysunek 3.). Funkcja f(x) jest zadeklarowana poza funkcjâ main();
nic nie stoi na przeszkodzie, aby w to miejsce wpisaê innâ
funkcjë -- choêby wspomnianâ przedtem exp(-x^2). Z jej pomocâ
równieû moûna policzyê liczbë PI (pytanie do studentów: jak?). W
jakiej postaci podawaê funkcje, aby byîy zrozumiane przez
kompilator, pokazano w pliku math.h. Moûna sië pobawiê, ale to
nie jest rozwiâzanie uniwersalne. Fajnie byîoby napisaê program,
który liczy caîkë z dowolnej podanej przez uûytkownika funkcji w
zadanym obszarze. Teoretycznie jest to bardzo proste. Diabeî jak
zwykle siedzi w szczegóîach. Przede wszystkim trzeba zaûâdaê od
uûytkownika czterech argumentów: funkcji, obu granic oraz
gëstoôci podziaîu. W tym wypadku mamy funkcjë jako tekst pod
argv[1]. Trzeba tylko napisaê procedurkë dekodujâcâ lub, jak kto
woli, "wyîawiajâcâ" funkcje ze zmiennej tekstowej. Jako lekturë
uzupeîniajâcâ polecam plik "string.h". Moûna to traktowaê jako
zadanie domowe.

<przyp> Ps. Chciaîbym w tym miejscu, korzystajâc z okazji,
pozdrowiê mojego kolegë ze studiów -- Arka Wâsiïskiego, który
nadal jeszcze uûywa Amigi.