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Text File  |  1996-08-14  |  4.9 KB  |  107 lines
  1. <HTML>
  2. <HEAD>
  3. <TITLE>
  4. Educational Value
  5. </TITLE>
  6. <xinclude file="head.xrh">
  7. </HEAD>
  8.  
  9. <xinclude file=body.xrh>
  10. <xtop>
  11. <h1>
  12. <xnode name="edvalue">
  13. Educational Value
  14. </xnode>
  15. </h1>
  16. <p><em>CopyCat</em> is an exciting educational tool.  It challenges 
  17. the mind to understand complex geometrical structures.
  18.  
  19. <p>At the lowest level, the player must first break down the picture into 
  20. its component parts, in order to then recognize those same parts as the 
  21. faces of the object.  Once a required part of the picture is on the object's
  22. top face, pattern recognition must be used again to identify the face's proper 
  23. position in the copy.
  24.  
  25. <p>One of the first discoveries that can be made is that the law of 
  26. commutativity is, in general, broken.  In other words, one rotation and then a 
  27. second rotation will present a particular top face; however, starting from the 
  28. same position, the second rotation followed by the first one may present 
  29. an entirely different top face. 
  30.  
  31. <p><em>CopyCat</em> is filled with symmetry.  For instance, the cube has
  32. a solid white face.  This face can be rotated by 90 degrees, 180 degrees,
  33. and 270 degrees--and it will still look the same: call this 4-way symmetry.
  34. This means that there are four different orientations of
  35. the cube that have the white face on top.  As well, there 
  36. are faces on the cube that are not the same as themselves rotated by 90
  37. degrees, but are the same if rotated by 180 degrees: call this 2-way symmetry. 
  38. Not only do the faces have symmetries, but so do the solid objects.
  39. So just playing this game will expose the player to numerous symmetries.
  40.  
  41. <p>Another interesting point is that the octahedron alternates between 
  42. the top face as an upward-pointing triangle, and a downward-pointing triangle.
  43. So, it would appear that a particular face could have 6 different orientations.
  44. As it turns out, this is not the case; each face can have only 3 different 
  45. orientations from being rolled around.  This phenomenon is related to the 
  46. number of faces that meet at a vertex on the object and the number of faces 
  47. that meet in the plane.
  48.  
  49. <p>There is a further complication in level two: the top face will
  50. be imprinted on the copy as a mirror-image of itself.  This adds the 
  51. concept of reflection to the game.  
  52.  
  53. <p>With the basics out of the way, how does a player play well?  
  54. Fortunately, there is direct feed back for the player: the minimum number of 
  55. rotations needed to copy the picture accompanies the number of rotations the 
  56. player used. In the first
  57. level, the player must find the shortest way (in rotations) to all the faces
  58. on the object.  At first, the player may rely on the rotating copy of 
  59. the object, and then later try to use that knowledge on the active-play object. 
  60. After playing several times, the player will soon become familiar with 
  61. some of the paths between the faces, as the same problem to be solved is 
  62. presented numerous times for each puzzle.  Remembering the paths to each face 
  63. may be tougher for the more complicated pictures, so to do well, players may
  64. need to develop their own creative strategies to solve the puzzles. 
  65.  
  66. <p> The second level does not display the minimum number of rotations required 
  67. to solve the puzzle, so 
  68. players will not know how well they have done.  
  69. Players may therefore ask themselves, "Is this the best I can do?".  My hope
  70. is that players will begin to discuss with one another what their scores were,
  71. and how they were achieved.  In doing so, players would need to develop a way 
  72. of talking about these geometrical problem.  This would further promote the search 
  73. for some underlying structures.
  74.  
  75. <hr>
  76. <h2> Subtleties uncovered</h2>
  77. (for the really keen)
  78. <p>For a science student in university, the game becomes a matter of writing
  79. down the graph using the directions of rolling as the directed edges.
  80. The graph can then be used as a map to navigate from the starting position
  81. to each of the patterns required.  This graph turns out to be quite useful 
  82. for doing well on the game's second level.
  83.  
  84. <p>In the second level of the program, the object does not start off in the 
  85. same position for each play.  Instead, the object remains in the position 
  86. of the last move made.  This changes the 
  87. game radically: now the game becomes "What is the shortest way to travel  
  88. so that all of the desired vertices are hit?"
  89. This would be the same as 
  90. "the traveling salesman problem," except that the set of vertices that must be 
  91. visited is not well defined.  This problem arises from the equivalencies 
  92. of certain vertices.  For instance, if the solid white face is needed, then 
  93. there are multiple choices for which white face to use.  To say the least,
  94. the problem is very tricky--even with the graph of the orientations right in
  95. front of you.
  96.  
  97. <hr>
  98. <h2>This cat has claws</h2>
  99.  
  100. <p>The important element of this game is that these difficult problems are 
  101. carefully hidden in a seemingly elementary environment.  I believe 
  102. that this is what makes the game rich.  It is approachable and fun, but it 
  103. also has content.
  104. <xbot>
  105. </BODY>
  106. </HTML>
  107.