The Best of the Best

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Text File | 1992-09-09 | 123KB | 2,563 lines

Version 7.0 ┌──┐┌──┐ ┌─────┐┌─────┐┌─┐ ┌─┐ ┌────┐ ┌─────┐ ┌────┐ ┌────┐ │ └┘ │ │ ┌─┐ │└─┐ ┌─┘│ │ │ │ │ ┌──┘ │ ┌─┐ │ │ ┌──┘ │ ┌──┘ │ ┌┐┌┐ │ │ └─┘ │ │ │ │ └─┘ │ │ └─┐ ┌────┐ │ └─┘ │ │ └──┐ │ └──┐ │ │└┘│ │ │ ┌─┐ │ │ │ │ ┌─┐ │ │ ┌─┘ └────┘ │ ┌─┐ │ └──┐ │ └──┐ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └──┐ │ │ │ │ ┌──┘ │ ┌──┘ │ └─┘ └─┘ └─┘ └─┘ └─┘ └─┘ └─┘ └────┘ └─┘ └─┘ └────┘ └────┘ Copyright 1992: Bernd Schultheiß, D-6908 Wiesloch, Hufschmiedstr. 3 I N H A L T S V E R Z E I C H N I S : 1. Einleitung ................................................... 1 2. Hardware-Voraussetzungen ..................................... 1 3. Copyright .................................................... 2 4. Installation ................................................. 3 5. Bedienung .................................................... 4 5.1 Das Hauptmenü ............................................ 4 5.2 Die Tastaturbelegung ..................................... 5 5.3 Der Texteditor ........................................... 7 5.4 Datensicherung, Snapshot und Hardcopy .................... 8 5.5 Die Taschenrechner ....................................... 9 5.6 Die Koordinatensysteme .................................. 10 6. Das Menü Info ............................................... 11 7. Das Menü Algebra ............................................ 11 8. Das Menü Geometrie .......................................... 17 9. Das Menü Analysis ........................................... 22 10.Das Menü Stochastik ......................................... 30 11.Das Menü Lineare Algebra .................................... 34 12.Anhang A : Syntaxregeln ..................................... 37 13.Anhang B : Ergänzungen ...................................... 38 14.Anhang C : Dateiformate ..................................... 39 15.Anhang D : Druckertreiber ................................... 41 16.Anhang E : Tips und Tricks .................................. 42 - 1 - ┌─────────────────────────────────────────────────────────────────┐ │ 1 . E I N L E I T U N G │ └─────────────────────────────────────────────────────────────────┘ Das Programm MATHE-ASS ist eine umfangreiche Sammlung von Routinen, die vielen Aufgaben aus der Schulmathematik ihren Schrecken nehmen. Es ist nicht als Mathematik-Lernprogramm zu verstehen, sondern als Mathematik-Assistent für Lehrer und Schüler und alle, die außerhalb der Schule mit mathematischen Problemen konfrontiert sind. Damit wird natürlich nicht ausgeschlossen, daß Schüler, die mit dem Programm ihre Hausaufgaben überprüfen, dabei etwas lernen. Die verwendeten Algorithmen habe ich in mehreren Jahren gesammelt und zu dem vorliegenden Programm zusammensetzt. Sollten Sie einen Aufgabentyp vermissen oder über interessante Algorithmen verfügen, die in den Rahmen des Programms passen, würde ich mich über einen Brief von Ihnen sehr freuen. Das Programm wird laufend überarbeitet und erweitert, und jedem registrierten Benutzer werden neue Versionen gegen eine geringe Updategebühr angeboten. ┌────────────────────── HAFTUNGSAUSSCHLUSS ───────────────────────┐ │ │ │ Für Schäden, die durch die Anwendung des Programms, z.B. durch │ │ falsche oder ungenaue Ergebnisse entstehen, wird keine Haftung │ │ übernommen. │ │ │ └─────────────────────────────────────────────────────────────────┘ Besonders sei darauf hingewiesen, daß sich das Programm nicht zum Trocknen von Pudeln eignet. ┌─────────────────────────────────────────────────────────────────┐ │ 2 . H A R D W A R E - V O R A U S S E T Z U N G E N │ └─────────────────────────────────────────────────────────────────┘ Das Programm läuft auf allen IBM-kompatiblen Rechnern - mit mindestens 512 KB Speicher. - mit einer CGA-, HGC-, EGA- oder VGA-Graphikkarte. Bei CGA- oder EGA-Karten muß vorher GRAFTABL geladen werden, da sonst im Graphikmodus die Umlaute nicht dargestellt werden. - Ein mathematischer Coprozessor wie der 8087 bzw. 80287 wird, falls vorhanden, unterstützt. - 2 - ┌─────────────────────────────────────────────────────────────────┐ │ 3 . C O P Y R I G H T │ └─────────────────────────────────────────────────────────────────┘ Das Programm MATHE-ASS ist ein 'Shareware-Programm', das heißt : - Es darf/soll ausprobiert, kopiert und weitergegeben werden !!! - Wenn Sie das Programm danach weiter einsetzen wollen, werden Sie durch Überweisung der Registrationsgebühr autorisierter Benutzer. - Jede Änderung des Programms oder der zugehörigen Dateien verstößt gegen das Urheberrecht. ┌────────────────────── REGISTRATIONSGEBÜHR───────────────────────┐ │ │ │ sie beträgt : 40 DM für Privatpersonen │ │ 80 DM für Schulen, Firmen u.a. Institutionen │ │ │ │ zu zahlen an: Bernd Schultheiß, Wiesloch │ │ Kto-Nr. 72104-759 bei Postgiro Karlsruhe (BLZ 660 100 75) │ └─────────────────────────────────────────────────────────────────┘ «12 Die Höhe der Registrationsgebühr hängt davon ab, wer sie bezahlt. Ein Lehrer, der das Programm für sich anschafft, bezahlt nur die geringere Gebühr, auch, wenn er es im Unterricht einsetzen will. Soll das Programm jedoch für die Schule erworben und durch den Schulträger bezahlt werden, gilt die höhere Gebühr. Außerdem ist bei Schulen und anderen öffentlichen Einrichtungen eine schriftliche Bestellung erforderlich, da bei Überweisungen durch Stadt- bzw. Kreiskassen meist statt der Schulanschrift nur eine Haushaltsstellennummer angegeben wird. Auch bei privaten Überweisungen bitte ich darauf zu achten, daß der Absender mit vollständiger Anschrift auf dem Gutschriftbeleg angegeben wird. Nutzen Sie dazu das Feld für den Verwendungszweck, da dieser im beleglosen Datenaustausch immer mindestens zweizeilig weitergegeben wird, die Absenderangaben oft nur einzeilig, d.h. mit 27 Stellen. Der Hinweis, daß Sie sich für das Programm MATHEASS registrieren lassen wollen, erübrigt sich, da es sich bei dem an- gegebenen Konto um ein Sonderkonto nur für diesen Zweck handelt. Nach Bezahlung der Registrationsgebühr erhalten Sie Ihre persön- liche Seriennummer, die Sie zusammen mit Ihrem Namen und Wohnort im Programmpunkt INFO/Registration eingeben. Daraus wird die Datei MATHEASS.REG erstellt, die aus der Shareware- die Vollversion ohne den dezenten Hinweis am unteren Bildschirmrand macht. ┌─────────────────────────────────────────────────────────────────┐ │ Bevor Sie das Programm an Dritte weitergeben, müssen Sie die │ │ Datei MATHEASS.REG, die Ihre persönliche Seriennummer enthält, │ │ löschen. │ └─────────────────────────────────────────────────────────────────┘ »12 - 3 - ┌─────────────────────────────────────────────────────────────────┐ │ 4 . I N S T A L L A T I O N │ └─────────────────────────────────────────────────────────────────┘ Nachdem Sie eine Sicherungskopie der MATHEASS-Diskette erstellt haben, legen Sie auf Ihrer Festplatte ein Unterverzeichnis mit dem Titel MATHEASS an und kopieren alle Dateien der Diskette in dieses Verzeichnis. Für den DOS-Neuling hier kurz die dazu erforderlichen Schritte : C: um auf die Festplatte zu wechseln CD \ um ins Hauptverzeichnis zu gelangen MD MATHEASS CD MATHEASS COPY A:*.* wenn die Diskette in Laufwerk A ist Das MATHEASS-Unterverzeichnis kann natürlich auch anders benannt werden, und es muß auch nicht zwingend im Hauptverzeichnis von C: angelegt werden. Falls Sie das Programm jedoch in ein Menüsystem (z.B. GS-Menü) einbinden oder über eine Batchdatei aufrufen wollen, müssen Sie darauf achten, daß es vom MATHEASS-Unterverzeichnis aus aufgerufen wird, da sonst die Druckertreiber nicht gefunden werden. Sollte dies aus irgend einem Grund nicht möglich sein, dann können Sie den Pfad, wo sich die Dateien befinden, als Parameter mitgeben. Zum Beispiel: MATHEASS \MATHE\MA70\ Das Programm erkennt selbständig, welche Graphikkarte und welchen Monitor (Mono oder Color) Sie verwenden, und paßt den Graphikmodus automatisch an. Falls dies auf Ihrem Rechner nicht funktionieren sollte oder Sie das Programm auf einer VGA-Karte in einem anderen Modus betreiben wollen, können Sie das Programm mit den folgenden Parametern aufrufen : MATHEASS MONO bei monochromem Monitor MATHEASS EGA um EGA-Auflösung zu erzwingen MATHEASS HGC um HERCULES " " " MATHEASS CGA um CGA " " " «14 Die Anpassung an den Drucker erfolgt über die Datei MATHEASS.PRN. Es können zwei Drucker gleichzeitig installiert werden, indem die Namen der beiden Druckertreiber in diese Datei geschrieben werden. Rufen Sie dazu den Programmpunkt INFO/Installation auf. In dem Fenster mit der Überschrift " Vorhandene Dateien : " werden alle Dateien mit der Endung "DRV" , das heißt alle Druckertreiber angezeigt. In den Eingabemasken darunter können Sie den Hardcopy- Routinen, die mit den Tasten F9 oder F10 aufgerufen werden, ihre Druckertreiber zuordnen. Die Dateien enthalten die Steuersequenzen für die Graphikhardcopy. Sollte Ihr Drucker nicht aufgeführt sein und auch kein dazu kompatibler Drucker, so können Sie sich leicht mit einem Texteditor einen eigenen Druckertreiber erstellen. Nähere Angaben finden Sie im Anhang B: Druckertreiber. »14 - 4 - ┌─────────────────────────────────────────────────────────────────┐ │ 5 . B E D I E N U N G │ └─────────────────────────────────────────────────────────────────┘ 5.1 Das Hauptmenü ─────────────────────────────────────────────────────────────────── Das Programm wird auf DOS-Ebene mit MATHEASS [Parameter] gestartet. Danach erscheint folgendes Hauptmenü : ╔══════════════════════════════════════════════════════════════════╗ ║ ┌──┐┌──┐┌─────┐┌─────┐┌─┐ ┌─┐┌────┐ ┌─────┐┌────┐┌────┐ ║ ║ │ └┘ ││ ┌─┐ │└─┐ ┌─┘│ │ │ ││ ┌──┘ │ ┌─┐ ││ ┌──┘│ ┌──┘ ║ ║ │ ┌┐┌┐ ││ └─┘ │ │ │ │ └─┘ ││ └─┐ ┌───┐ │ └─┘ ││ └──┐│ └──┐ ║ ║ │ │└┘│ ││ ┌─┐ │ │ │ │ ┌─┐ ││ ┌─┘ └───┘ │ ┌─┐ │└──┐ │└──┐ │ ║ ║ │ │ │ ││ │ │ │ │ │ │ │ │ ││ └──┐ │ │ │ │┌──┘ │┌──┘ │ ║ ║ └─┘ └─┘└─┘ └─┘ └─┘ └─┘ └─┘└────┘ └─┘ └─┘└────┘└────┘ ║ ╠═════╦════════╦══════════╦═════════╦═══════════╦════════════╦═════╣ ║ INFO║ ALGEBRA║ GEOMETRIE║ ANALYSIS║ STOCHASTIK║ LIN.ALGEBRA║ ENDE║ ╠═════╩════════╬══════════╩═════════╩═══════════╩════════════╩═════╝ ║ Allgemeines ║▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒ ║ Copyright ║▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒ ║ Bedienung ║▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒ ║ Installation ║▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒ ║ Registration ║▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒ ╚══════════════╝▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒ ▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒ ▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒ ▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒ ╔═══════════╦══════════════════════════════════════════════════════╗ ║ Vers. 7.0 ║ (C)'92: B.Schultheiß, 6908 Wiesloch, Hufschmiedstr.3 ║ ╚═══════════╩══════════════════════════════════════════════════════╝ Vom Hauptmenü aus wählt man mit den Cursortasten links / rechts zwischen den sieben Menütiteln INFO, ALGEBRA, GEOMETRIE, ANALYSIS, STOCHASTIK, LIN. ALGEBRA und ENDE. Zu jedem Menütitel werden eine Reihe von Programmpunkten angezeigt, aus denen Sie einen mit den Cursortasten hoch / tief auswählen und mit der Entertaste starten. Die Menütitel lassen sich auch mit den Funktionstasten F1 bis F7 direkt anwählen, die Programmpunkte mit ihren Anfangsbuchstaben. Die zur Lösung der gewählten Aufgabe erforderlichen Daten werden auf einer oder mehreren Seiten in sogenannten 'Eingabemasken' ab- gefragt. Sie können die Terme der Reihe nach eingeben und jeweils mit Enter zum nächsten Feld springen oder sich mit den Cursortasten frei zwischen den Feldern bewegen. Das jeweils aktive Feld wird invers dargestellt. Sobald alle Terme eingegeben sind, wird mit der Taste Bild_abwärts (PgDn) weiter oder mit Bild_aufwärts (PgUp) zurück geblättert. Falls Sie einmal nicht mehr weiter wissen, können Sie sich mit der Funktionstaste F1 jederzeit einen Überblick über die Tastatur- belegung verschaffen, und mit F2 erhalten Sie nähere Hinweise zu der Aufgabe, die Sie gerade bearbeiten. - 5 - 5.2 Die Tastaturbelegung ─────────────────────────────────────────────────────────────────── F1 = Tastaturbelegung anzeigen │ ESC = H A U P T M E N Ü F2 = kontextbezogene Hilfe │ Enter = nächstes Feld F3 = Daten in Datei speichern │ Bild ab = weiter F4 = Daten aus Datei laden │ Bild auf = zurück F5 = Texteditor aufrufen │ Strg Y = Eingabefeld löschen F6 = Löschen rückgängig machen │ Strg L = Alle Felder löschen F7 = Grafik speichern als IMG │ Einfg = TAB-/EDIT-Modus F8 = Grafik speichern als PCX │────────────────────────────────── F9 = Hardcopy 1 (siehe Install.)│ TAB-Modus (ohne Cursor) : F10= Hardcopy 2 (siehe Install.)│ Cursortasten = Feld wechseln ─────────────────────────────── │ Home (Pos1) = erstes Feld Shift F1 Eingabedaten in den │ End (Ende) = letztes Feld : Registern R1 bis R10 │────────────────────────────────── Shift F10 ablegen │ EDIT-Modus (mit Cursor) : ─────────────────────────────── │ hoch / tief = Feld wechseln Alt F1 Eingabedaten aus den │ links/rechts = Cursor bewegen : Registern R1 bis R10 │ Home (Pos1) = Feldanfang Alt F10 einlesen │ End (Ende) = Feldende ─────────────────────────────────────────────────────────────────── «01 F1: Diese Tastaturbelegung wird Ihnen immer angezeigt, wenn Sie innerhalb eines Programmpunktes die Taste F1 (Help) drücken. Daß Sie sich in einem Hilfstext befinden, erkennen Sie daran, daß oben rechts H E L P statt F1/F2=Help steht und unten ESC = HELP verlassen. Im EGA- und VGA-Modus auf Farbmonitoren ändert sich außerdem die Hintergrundfarbe. F2: Die zweite Helptaste zeigt Ihnen den Teil des Handbuches, der den Programmpunkt behandelt, an dem Sie sich gerade befinden. Bei längeren Hilfstexten kann mit den Cursor- und Bildtasten geblättert werden. Am rechten Rand erscheint dann ein Balken, der die Position im Text anzeigt. F3: Wenn Sie zu einem Programmpunkt die Eingabedaten zuvor mit F3 in eine Datei geschrieben haben, so können Sie diese mit F4 wieder laden. Es erscheint ein Verzeichnis aller Dateien mit der Dateikennung .DAT im aktuellen Verzeichnis und eine Maske für den Namen der gewünschten Datei. F4: siehe F3 F5: Ein kleiner Texteditor ermöglicht es zum Beispiel, Funktions- graphen zu beschriften oder mit Kommentaren zu versehen. Eine genauere Beschreibung folgt auf der übernächsten Seite. F6: Im TAB-Modus wird der Feldinhalt vor jeder Eingabe automatisch gelöscht. Mit F6 kann der alte Feldinhalt restauriert werden. F7: Um Graphiken in eine geeignete Textverarbeitung übernehmen zu können, lassen sie sich mit F7 im Format *.IMG und mit F8 im Format *.PCX in eine Datei schreiben. F8: siehe F7 F9: Hardcopy 1 und 2 sind die Routinen, mit denen der Bildschirm- inhalt ausgedruckt werden kann. Es lassen sich zwei Drucker gleichzeitig installieren, indem man die Namen der Drucker- treiber in die Datei MATHEASS.PRN schreibt. F10:siehe F9 - 6 - Die ESC-Taste ( Escape=Flucht ) unterbricht jeden Programmpunkt und führt zurück zum Hauptmenü. Außerdem wird sie benötigt, um die Hilfeseiten oder den Editor zu verlassen. Die Bildtasten Bild_abwärts und Bild_aufwärts dienen zum Blättern zwischen den einzelnen Seiten eines Programmpunktes. Bei der Kurvendiskussion zum Beispiel sind es sechs Seiten: Die Eingabe des Funktionsterms, die Anzeige der Ableitungen, die Anzeige der Nullstellen, Extrema und Wendepunkte, die Eingabe des Zeichenbereiches, die Ausgabe des Schaubildes und die Ausgabe der Wertetabelle. Die Eingabeseiten können mehrere Eingabefelder enthalten, in die in beliebiger Reihenfolge die erforderlichen Größen geschrieben werden können. Bei früheren MATHEASS-Versionen konnten die Ein- gaben zum Korrigieren nur gelöscht aber nicht editiert werden. Ab Version 7 kann mit der Taste Einfg (Ins) zwischen TAB-Modus und EDIT-Modus hin- und hergeschaltet werden. Der TAB-Modus: Dies ist der gewohnte Eingabemodus, bei dem mit den Cursor- tasten zwischen den Eingabefelder gesprungen werden kann. Der Cursor ist abgeschaltet, und alle eingegebenen Zeichen werden im aktiven Eingabefeld (invers dargestellt) angehängt. Der EDIT-Modus: Im aktiven Eingabefeld zeigt der blinkende Cursor an, wo die eingegebenen Zeichen eingefügt werden bzw. mit Entf (Delete) gelöscht werden. Der Cursor wird mit den Cursortasten links oder rechts sowie Pos1 und Ende im Eingabefeld bewegt. Um in das benachbarte Eingabefeld zu springen, muß im EDIT-Modus TAB bzw. Shift TAB oder Strg (Ctrl) rechts bzw. Strg links eingegeben werden. Dabei wird automatisch wieder in den TAB- Modus zurückgeschaltet. Die Löschtasten: Zusätzlich zu den üblichen Löschtasten Entf (Delete) und <── (Backspace) kann mit Strg Y (Ctrl Y) der Inhalt des aktiven Eingabefeldes und mit Strg L (Ctrl L) der Inhalt der ganzen Eingabeseite gelöscht werden. Die Register R1 bis R10: Terme, die Sie in einem Programmteil eingegeben haben, lassen sich an anderer Stelle wieder verwenden, wenn man sie zuvor mit Shift F1 ... F10 in einem der Register R1 bis R10 abge- legt hat. Sie können dann jederzeit mit Alt F1 bis Alt F10 wieder eingelesen werden. Gespeichert wird dabei der Inhalt des gerade aktiven Eingabefeldes. Die letzten Register werden von einigen Programmpunkten ( Polynome, Regression, ... ) dazu benutzt, um ihre Ergebnisse für andere Programmpunkte abzu- legen. »01 - 7 - 5.3 Der Texteditor (F5): ─────────────────────────────────────────────────────────────────── Um die Ergebnisse eines Programmpunktes vor dem Ausdrucken mit Kommentaren zu versehen, kann sowohl im Textmodus als auch im Graphikmodus mit F5 ein Texteditor aufgerufen werden. Daß Sie sich im Editor befinden, wird Ihnen oben rechts angezeigt. Im EGA- und VGA-Modus auf Farbmonitoren ändert sich zusätzlich die Hintergrundfarbe. «02 Tastaturbelegung innerhalb des Editors: Pos1 (Home) = Cursor an den Anfang der Zeile Ende (End) = Cursor an das Ende der Zeile Bild auf (PgUp) = Cursor an den oberen Bildschirmrand Bild ab (PgDn) = Cursor an den unteren Bildschirmrand Enter <─┘ = Cursor an den Anfang der nächsten Zeile F1/F2 = Die Tastaturbelegung im Editor F3 bis F5 = nicht belegt F6 = Hintergrund restaurieren F7 = Grafik speichern als IMG F8 = Grafik speichern als PCX F9 = Hardcopy auf Drucker 1 (siehe Installation) F10 = Hardcopy auf Drucker 2 (siehe Installation) Shift F1 bis F10 = SAVE MA1.SCR, MA2.SCR, ..., MA10.SCR Alt F1 bis F10 = LOAD MA1.SCR, MA2.SCR, ..., MA10.SCR Ctrl F1 bis F10 = MERGE MA1.SCR, MA2.SCR, ..., MA10.SCR Da direkt in den Bildschirmspeicher geschrieben wird, gibt es keinen Einfügemodus. Es kann immer nur überschrieben werden. Wird der Editor im Grafikmodus aufgerufen, so wird der Inhalt des Bildschirms gespeichert. Mit F6 lassen sich dadurch Teile der Kurven, die durch Überschreiben zerstört wurden, wieder herstellen. Außerdem wird im Graphikmodus der Cursor mit dem halben Zeilenabstand bewegt, damit auch Indizes und Exponenten gut lesbar geschrieben werden können. SAVE, LOAD und MERGE dienen dazu, Bildschirminhalte, die man mit dem Editor beschriftet hat, abzuspeichern und später wieder zu laden oder über andere Bildschirminhalte zu legen. Dabei werden die Dateinamen MA1.SCR, MA2.SCR usw. verwendet. MERGE arbeitet nur im Graphikmodus und liefert natürlich nur sinnvolle Ergebnisse, wenn die überlagerten Koordinatensysteme gleich skaliert sind. »02 Der Editor kann auch durch den Programmpunkt INFO / Beschriften aufgerufen werden, um eine Graphikseite zu bearbeiten, die mit Shift F1, ... Shift F10 in eine Datei geschrieben wurde. ─────────────────────────────────────────────────────────────────── WARNUNG: Bei allen Dateien, die MATHEASS anlegt, werden gleich- namige Dateien überschrieben. - 8 - 5.4 Datensicherung, Snapshot und Hardcopy ─────────────────────────────────────────────────────────────────── Um Ihre Ergebnisse festzuhalten, haben Sie eine Reihe von Möglich- keiten. a) Datensicherung ───────────────── Sie können Ihre Eingabedaten mit F3 in eine Datei schreiben, um die Arbeitssitzung später rekonstruieren zu können. Dabei wird immer der Inhalt einer Eingabeseite in komprimierter Form gespeichert. Sie können später mit F4 wieder eingelesen werden. Bei den Programmpunkten Statistik und Regression im Menü STOCHASTIK haben Sie zusätzlich die Möglichkeit, alle Werte bzw. Wertepaare in eine Datei zu schreiben, und zwar als reine ASCII-Datei, so daß sie auch von anderen Programmen gelesen bzw. erzeugt werden können. Die Dateien für die Statistik enthalten pro Zeile einen Wert, die für die Regression pro Zeile ein Wertepaar (durch Komma getrennt). Die Dateinamen bestehen aus maximal acht Buchstaben und festen Endungen, nämlich '*.st' bzw. '*.rg'. b) Snapshot (Bildschirmschnappschuß) ──────────────────────────────────── Sie können von jedem Programmpunkt aus mit F7 bzw. F8 den aktuellen Bildschirminhalt in eine Datei schreiben. Textseiten werden beides- mal in ASCII-Dateien mit den Namen MA1.TXT, MA2.TXT,... geschrieben, Graphikseiten mit F7 im IMG-Format in die Dateien MA1.IMG, MA2.IMG, usw., mit F8 im PCX-Format in die Dateien MA1.PCX, MA2.PCX, usw. . ┌─────────────────────────────────────────────────────────────────┐ │ Die Snapshotroutinen unterstützen den VGA-Graphikmodus nicht ! │ │ Um Sie auf VGA-Karten benutzen zu können, muß das Programm im │ │ EGA-Modus benutzt werden, das heißt mit MATHEASS EGA gestartet │ │ werden. │ └─────────────────────────────────────────────────────────────────┘ Sollte das Textverarbeitungsprogramm oder der Publisher, mit dem Sie die Graphiken verarbeiten wollen, diese weiß auf schwarz zeigen, so müssen Sie MATHEASS mit dem Parameter INVERS aufrufen. Die Snapshotroutinen arbeiten nicht im Hauptmenü und im Help-Modus. c) Hardcopy (Bildschirmausdruck) ──────────────────────────────── Bei älteren MATHEASS-Versionen waren F9 und F10 für eine Hardcopy auf dem EPSON FX-80 bzw. dem NEC P6 oder einem dazu kompatiblen Drucker zuständig. Ab Vers. 7 stehen eine Reihe von Druckertreibern zur Verfügung, und in der Datei MATHEASS.PRN steht, welche beiden von den Hardcopyroutinen F9 bzw. F10 verwendet werden sollen. Im Anhang sind einige Druckertreiber abgedruckt und ihr Aufbau be- schrieben. Damit sollte es nicht allzu schwerfallen, eigene Treiber zu ergänzen, für andere Drucker, aber auch einfach für etwas andere Ausgabeformate. - 9 - 5.5 Die Taschenrechner ─────────────────────────────────────────────────────────────────── «2A Die Paragraphen Bruchrechnen, Große Zahlen und Stellenwertsysteme sind als Taschenrechner in 'Umgekehrter polnischer Notation' (UPN) realisiert. Sie unterscheidet sich von der 'Algebraischen Notation' in der Reihenfolge der Eingabe. Um eine Rechenoperation auszuführen, werden die beiden Operanden durch ENTER getrennt eingegeben und erst dann die Rechenoperation bestimmt. ┌─────┐ ┌─────┐ ┌─┐ ┌─┐ Beispiel: 4 │ENTER│ 12 │ENTER│ 5 │+│ │*│ entspricht 4∙(12 + 5) = └─────┘ └─────┘ └─┘ └─┘ Zwischenergebnisse, die bei der Berechnung von Termen entstehen, werden in vier Stapelregistern gehalten, die meistens mit x, y, z und t bezeichnet werden. Funktionen wie SIN oder COS wirken auf das x-Register. Operationen wie + oder * verknüpfen x und y, das Ergebnis steht im x-Register, und die anderen Register rücken nach. Ein Beispiel, soll die Funktion der vier Stapelregister x, y, z und t veranschaulichen Taschenrechner für große Zahlen). ( 9 + 8 ) · ( 7 + 2 ) Aufgabe ───────────────────── 8 + 3 · 4 Eingabe Belegung der Stapelregister x, y, z und t ─────── ───────────────────────────────────────── 9 x = 9 ENTER x = 9 y = 9 8 x = 8 y = 9 + x = 17 ENTER x = 17 y = 17 7 x = 7 y = 17 ENTER x = 7 y = 7 z = 17 2 x = 2 y = 7 z = 17 + x = 9 y = 17 * x = 153 ENTER x = 153 y = 153 8 x = 8 y = 153 ENTER x = 8 y = 8 z = 153 3 x = 3 y = 8 z = 153 ENTER x = 3 y = 3 z = 8 t = 153 4 x = 4 y = 3 z = 8 t = 153 * x = 12 y = 8 z = 153 + x = 20 y = 153 / x = 7.65 Es wird also zuerst 9+8 berechnet und auf den Stapel gelegt, danach 7+2. Die beiden Summen werden multipliziert und das Produkt auf den Stapel gelegt (ENTER) usw. »2A - 10 - 5.6 Die Koordinatensysteme ─────────────────────────────────────────────────────────────────── Bei allen Programmteilen, die Funktionsgraphen zeichnen, werden am Anfang der Zeichenbereich, die Skalierung der Achsen, die Auflösung, mit der gezeichnet werden soll, und der Winkelmodus bestimmt. Außer- dem, ob das Schaubild den ganzen Bildschirm ausfüllen soll (Zoom). «03 a) Der Zeichenbereich wird von dem Programm bei Bedarf nachträglich verändert, um ein besser darstellbares Intervall zu erhalten. Beispiele für die Anpassung des Zeichenbereiches folgen unten. b) Die Skalierung kann für beide Achsen linear, also mit konstanter Maßeinteilung, oder logarithmisch erfolgen. Bei logarithmischer Skalierung werden Zehnerpotenzen als Skalenstriche verwendet, außerdem wird die untere Grenze, falls sie negativ ist, auf 0.1 gesetzt. c) Die Auflösung bestimmt wesentlich die Genauigkeit der Zeichnung. Bei der groben Auflösung (0) wird nur für jeden achten horizon- talen Bildschirmpunkt der Funktionswert berechnet. Dadurch wird der Funktionsgraph relativ schnell, unter Umständen aber zu eckig gezeichnet. Falls dies der Fall sein sollte, können Sie die Auflösung nachträglich erhöhen. Bei der höchsten Auflösung (3) wird der Funktionswert für jeden Bildpunkt berechnet. d) Als Winkelmodus kann das Bogenmaß, das Gradmaß in Altgrad und in Neugrad gewählt werden. Entsprechend werden dann die Argumente der trigonometrischen Funktionen als Radiant (RAD) mit dem Voll- winkel von pa=2π, als Altgrad (DEG) mit pa=360° oder Neugrad (GON) mit pa=400 gon gemessen. e) Zoom legt fest, ob in der rechten Hälfte (0: Teilbild) oder über den ganzen Bildschirm gezeichnet werden soll (1-5: Vollbild). 1 │ 2 Im Vollbildmodus kann das Bildschirmviertel angegeben ───┼─── werden, in das der Text plaziert wird. Zoom 5 bedeutet 3 │ 4 Ausgabe im Vollbildmodus ohne Text. f) Beispiele, wie der Zeichenbereich angepaßt wird: - bei linearer Skalierung ┌────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┐ -1.5 ≤ x ≤ 2.1 1 0 1 2 ┌──┬──┬──┬──┬──┬──┬──┬──┬──┬──┬──┬──┐ -1.5 ≤ x ≤ 9.4 -2 0 2 4 6 8 10 ┌────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬───┐ -0.8 ≤ x ≤ 0.1 -.8 -.6 -.4 -.2 0 ┌────────┬────────┬────────┬────────┬───────┐ -7 ≤ x ≤ 12 -10 0 10 - bei logarithmischer Skalierung ┌────────────────────┬────────────────────┐ -4 ≤ x ≤ 4 .1 1 10 ┌─────────────┬─────────────┬─────────────┐ 0.01 ≤ x ≤ 12 .01 1 10 100 »03 - 11 - ┌─────────────────────────────────────────────────────────────────┐ │ 6 . D A S M E N Ü I N F O │ └─────────────────────────────────────────────────────────────────┘ Die Programmpunkte Allgemeines, Copyright und Bedienung enthalten die wichtigsten Punkte der Kapitel 1 bis 5 dieses Handbuchs. Installation dient zur Anpassung an den Drucker, Beschriften zum Editieren bzw. Drucken von gespeicherten Graphikseiten. Beide sind weiter oben schon beschrieben worden. Registration stellt die Eingabeseite dar, in der Sie zusammen mit Ihrem Namen und Wohnort Ihre persönliche Seriennummer eingeben, um den Sharewarehinweis auszublenden. Die Seriennummer erhalten Sie nach Überweisung der Registrationsgebühr ( siehe 3. Copyright ). ┌─────────────────────────────────────────────────────────────────┐ │ 7 . D A S M E N Ü A L G E B R A │ └─────────────────────────────────────────────────────────────────┘ 7.1 Primzahlen ─────────────────────────────────────────────────────────────────── «21 Das Programm berechnet alle Primzahlen oder alle Primzahlzwillinge zwischen zwei Zahlen. Die Ausgabe kann auf dem Bildschirm, auf dem Drucker oder in die Datei PRIM.TXT erfolgen. Primzahlen sind alle natürlichen Zahlen mit genau zwei Teilern. Die Eins ist damit keine Primzahl, die Zwei ist die einzige gerade Primzahl. Bereits Euklid hat bewiesen, daß es unendlich viele Primzahlen gibt. Ebenfalls bewiesen ist, daß es in der Folge der Primzahlen beliebig große Lücken gibt. Primzahlzwillinge sind zwei Primzahlen mit der Differenz 2, wie zum Beispiel 10007 und 10009 oder 1000018709 und 1000018711. Ist die Differenz zwischen oberer und unterer Grenze größer als 50000, wird der Bereich automatisch abgeschnitten. Bei der Ausgabe auf dem Bildschirm werden nur soviele Primzahlen angezeigt, wie auf dem Bildschirm Platz haben. »21 7.2 Primfaktorzerlegung ─────────────────────────────────────────────────────────────────── Das Programm zerlegt natürliche Zahlen in ihre Primzahlpotenzen. «22 Die Primfaktorzerlegung oder kanonische Darstellung einer Zahl ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig. Beispiele : 123456789 = 3^2 ∙ 3607 ∙ 3803 1234567890001 = 304643 ∙ 4052507 12345678900001 = Primzahl (dauert etwas länger) »22 - 12 - 7.3 ggT und kgV ─────────────────────────────────────────────────────────────────── Zu zwei Zahlen a und b werden der größte gemeinsame Teiler, das kleinste gemeinsame Vielfache und ihre Teilermengen bestimmt. «23 Beispiel: a = 1001 b = 3575 größter gemeinsamer Teiler ggT = 143 kleinstes gemeinsames Vielfaches kgV = 25025 T(a) = { 1 7 11 13 77 91 143 1001 } T(b) = { 1 5 11 13 25 55 65 143 275 325 715 3575 } Der ggT ist das größte Element im Durchschnitt der Teilermengen von a und b. In der Bruchrechnung ist der ggT von Zähler und Nenner die größte Zahl, mit der der Bruch gekürzt werden kann. Das kgV ist das kleinste Element im Durchschnitt der Vielfachen- mengen von a und b. In der Bruchrechnung bezeichnet man das kgV zweier Nenner als den Hauptnenner. Hat man den ggT(a,b) bereits bestimmt, so erhält man das kgV(a,b) nach der Formel kgV(a,b) = a∙b / ggT(a,b) »23 7.4 Dezimalzahlen -> Brüche ─────────────────────────────────────────────────────────────────── «24 Jede Dezimalzahl läßt sich als Bruch darstellen. Bei abbrechenden Dezimalbrüchen setzt man einfach das Komma nach rechts und nimmt als Nenner die entsprechende Zehnerpotenz. Für periodische Dezimalbrüche folgen hier die Grundformeln: _ _ _ 0.1 = 1/9 , 0.2 = 2/9 , ... , 0.9 = 9/9 = 1 _ _ 0.01 = 1/90 , 0.02 = 2/90 , ... __ __ ___ 0.01 = 1/99 , 0.02 = 2/99 , ... 0.000001 = 1/999000 Das Programm wandelt periodische und abbrechende Dezimalbrüche in Brüche um. Dazu werden der nichtperiodische Teil der Zahl und die Ziffern der Periode getrennt eingegeben. Beispiel 1 : Nichtperiodischer Teil : 1.20 Periode : 045 ___ 1.20045 = 120/100 + 1/2220 = 533/444 Beispiel 2 : Nichtperiodischer Teil : 1.20 Periode : 9 _ 1.209 = 120/100 + 1/100 = 121/100 »24 - 13 - 7.5 Brüche -> Dezimalzahlen ─────────────────────────────────────────────────────────────────── «25 Jeder Bruch läßt sich als Dezimalzahl schreiben. Wiederholen sich dabei Ziffern in einer festen Reihenfolge, so spricht man von einem periodischen Dezimalbruch. Die sich wiederholende Ziffernfolge wird Periode genannt und durch Überstreichen gekennzeichnet. Das Programm wandelt Brüche in periodische Dezimalbrüche um und und bestimmt die Periode und ihre Länge. Eingegeben werden Zähler und Nenner des Bruchs. Beispiel 1 : Zähler : 533 Nenner : 444 ___ 533/444 = 1.20045 periodisch ab der 3. Stelle nach dem Komma die Periode ist 3 Ziffern lang Beispiel 2 : Zähler : 124 Nenner : 125 124/125 = 0.992 abbrechender Dezimalbruch Ist die Dezimalbruchdarstellung der Zahl länger als eine Zeile, so wird durch drei Punkte angezeigt, daß abgebrochen wurde. »25 7.6 Binome n-ten Grades ─────────────────────────────────────────────────────────────────── «26 Zu den bekanntesten Formeln der Schulmathematik gehört sicher die binomische Formel (a + b)² = a² + 2ab + b² Das Programm berechnet den allgemeineren Fall (a∙x + b∙y)^n mit 2 ≤ n ≤ 44 Beispiel : (3x - 4y)^7 = +2187∙x^7 -20412∙x^6∙y +81648∙x^5∙y^2 -181440∙x^4∙y^3 +241920∙x^3∙y^4 -193536∙x^2∙y^5 +86016∙x∙y^6 -16384∙y^7 Für a=1 und b=1 erhält man die Zahlen des Pascal-Dreiecks, also die Binomialkoeffizienten, von denen jede die Summe der beiden darüber befindlichen Zahlen ist. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 »26 - 14 - 7.7 Gleichungen 4. Grades ─────────────────────────────────────────────────────────────────── Das Programm bestimmt die reellwertigen Lösungen einer Gleichung 4. oder kleineren Grades. Eingegeben werden die Koeffizienten a bis e, wobei a der Koeffizient von x^4 ist. «27 Für Gleichungen höheren Grades gibt es abgesehen von Näherungsrech- nungen (Nullstellen im Progr. Kurvendiskussion) kein algebraisches Lösungsverfahren. Einen Ausweg bietet manchmal die Polynomdivision. Ist etwa q eine durch Probieren gefundene Lösung, so erhält man bei Polynomdivision durch (x-q) eine Gleichung mit niedrigerem Grad, deren Lösungsmenge die restlichen Lösungen enthält. Beispiele: a) x^4 + 2x^3 - 8x^2 -18x - 9 = 0 Eingeben werden a=1, b=2, c=-8, d=-18 und e=-9 Berechnet wird die Lösungsmenge L = ( -3, -1, 3 ) b) x^5 - x^4 - 16x + 16 =0 Durch Probieren findet man die Lösung x = 1. Mit dem Programm Polynomdivision dividiert man die linke Seite der Gleichung durch (x-1). Die Nullstellen des Restpolynoms x^4 - 16 liefern die weiteren Lösungen. »27 7.8 Diophantische Gleichungen ─────────────────────────────────────────────────────────────────── «28 Benannt nach Diophantos von Alexandria (um 250), der in seinem Buch Arithmetica das Lösen linearer und quadratischer Gleichungen, ins- besondere deren ganzzahlige Lösungen behandelt. Das Programm berechnet die ganzzahligen Lösungen der Gleichung a∙x - b = m∙y mit m > 0 Damit lassen sich zum Beispiel die ganzzahligen Punkte auf einer Geraden bestimmen. Beispiel : Die Gerade mit der Gleichung y = 7/3∙x - 5/3 <=> 7∙x - 5 = 3∙y hat die ganzzahligen Punkte L = { (x/y) │ x=2+3t, y=3+7t und t ganz } = { (2/3),(5/10),(-1/-1),(8/17), ... } »28 7.9 Pythagoräische Tripel ─────────────────────────────────────────────────────────────────── «29 Pythagoräische Zahlentripel sind die ganzzahligen Lösungen (x,y,z) der Gleichung x² + y² = z² , die für die Seiten in rechtwinkligen Dreiecken gilt. Das Programm berechnet alle Pythagoräischen Zahlentripel, die nicht größer als eine vorgegebene Zahl sind. Für x,y,z < 60 erhält man: 3 4 5 5 12 13 8 15 17 7 24 25 20 21 29 9 40 41 12 35 37 28 45 53 »29 - 15 - 7.10 Taschenrechner für große Zahlen ─────────────────────────────────────────────────────────────────── «04 Das Programm ersetzt einen wissenschaftlichen Taschenrechner in um- gekehrter polnischer Notation, d.h., es werden zuerst die Operanden und dann die Rechenoperation eingegeben ( siehe Handbuch 5.5 ). Gerechnet wird mit 60 Nachkommastellen, angezeigt werden die ersten 48 Ziffern. Bei mehr als 48 Vorkommastellen wechselt die Anzeige in Fließkommadarstellung mit maximal vierstelligem Zehnerexponenten. Beim Rechnen mit sehr großen Zahlen ist zu beachten, daß zwar nur 48 Stellen angezeigt werden, aber intern unter Umständen mit 2000 Stellen und mehr gerechnet wird. Neben den Grundrechenarten u. dem Potenzieren stehen die Funktionen SIN, COS, TAN, ATN, LN, EXP, FAK (x!), sowie die Konstante Pi (π) zur Verfügung, außerdem die bei UPN-Rechnern üblichen Stapelopera- tionen wie Scrollen (Pfeiltasten) und Tauschen (x<->y). MODE wechselt das Winkelmaß für die trigonom. Funktionen. Beispiele: ┌─────┐ ┌─┐ 1 234 567 890 │ENTER│ 9 876 543 210 │*│ └─────┘ └─┘ ergibt 12 193 263 111 263 526 900 ┌─────┐ ┌─┐ 2 │ENTER│ 64 │^│ ergibt 184 467 440 737 709 551 616 └─────┘ └─┘ ┌─┐ 40 │F│ ergibt └─┘ 815 915 283 247 897 734 345 611 269 596 115 894 272 000 000 000 »04 7.11 Taschenrechner für Brüche ─────────────────────────────────────────────────────────────────── «05 Das Programm bietet einen Taschenrechner mit Brucharithmetik in um- gekehrter polnischer Notation, d.h., es werden zuerst die Operanden und dann die Rechenoperation eingegeben ( siehe Handbuch 5.5 ). Zur Verfügung stehen die vier Grundrechenarten und das Potenzieren mit ganzzahligem Exponenten, außerdem die bei UPN-Rechnern üblichen Stapeloperationen wie Scrollen (Pfeiltasten) und Tauschen (x<->y). Zähler und Nenner eines Bruchs werden getrennt eingegeben. Zwischen den beiden Feldern wird mit <- oder -> gewechselt. ┌──┐ ┌─────┐ ┌──┐ ┌─┐ Bsp: 9 │->│ 16 │ENTER│ 24 │->│ 5 │+│ entspricht 9/16 + 24/5 └──┘ └─────┘ └──┘ └─┘ und ergibt 93/80 »05 - 16 - 7.12 Taschenrechner für Stellenwertsysteme ─────────────────────────────────────────────────────────────────── «06 Das Programm bietet einen Taschenrechner für Stellenwertsysteme in umgekehrter polnischer Notation, d.h., zuerst werden die Operanden eingegeben und dann die Rechenoperation ( siehe Handbuch 5.5 ). Zur Verfügung stehen die vier Grundrechenarten und das Potenzieren mit natürlichem Exponenten, außerdem die bei UPN-Rechnern üblichen Stapeloperationen wie Scrollen (Pfeiltasten) und Tauschen (x<->y). Gerechnet wird nur im Bereich der natürlichen Zahlen einschließlich der Null, das heißt, negative Differenzen werden auf Null gesetzt und Divisionsreste abgeschnitten. Die Basis kann mit <Ctrl B> gewechselt werden. Die größte Basis ist 16 (hexadezimal) mit den Ziffern 0,... ,9,A,B,C,D,E,F. Beispiel mit eingestellter Basis 2 : 10000000 dezimal 128 Enter 101011 dezimal 43 + ergibt 10101011 dezimal 171 = 128+0+32+0+8+0+2+1 Ctrl B 16 Wechsel ins Hexadezimalsystem Enter ergibt AB dezimal 171 = 10∙16 + 11 »06 7.13 Taschenrechner für komplexe Zahlen ─────────────────────────────────────────────────────────────────── «07 Das Programm bietet einen Taschenrechner für komplexe Zahlen in um- gekehrter polnischer Notation, d.h., es werden zuerst die Operanden eingegeben und dann die Rechenoperation ( siehe Handbuch 5.5 ). Neben den Grundrechenarten u. dem Potenzieren stehen die Funktionen SIN, COS, TAN, ATN, LN, EXP, KONJ., √, sowie die Konstante Pi (π) zur Verfügung, außerdem die bei UPN-Rechnern üblichen Stapelopera- tionen wie Scrollen (Pfeiltasten) und Tauschen (x<->y). MODE wechselt das Winkelmaß für die trigonometrischen Funktionen. Realteil und Imaginärteil werden getrennt eingegeben. Zwischen den beiden Feldern wird mit <- oder -> gewechselt. Beispiel: ( 3 + 4i )( 3 - 4i ) = 25 ┌──┐ ┌─────┐ ┌────┐ ┌───┐ 3 │->│ 4 │ENTER│ │KONJ│ │ * │ liefert 25 + 0i └──┘ └─────┘ └────┘ └───┘ »07 ─────────────────────────────────────────────────────────────────── Bei der Dateneingabe stehen Ihnen innerhalb der vier Taschenrechner weniger Funktionen zur Verfügung als sonst im Programm. So lassen sich die Eingaben z.B. nicht editieren und nicht speichern. - 17 - ┌─────────────────────────────────────────────────────────────────┐ │ 8 . D A S M E N Ü G E O M E T R I E │ └─────────────────────────────────────────────────────────────────┘ 8.1 Rechtwinklige Dreiecke ─────────────────────────────────────────────────────────────────── «31 Ein rechtwinkliges Dreieck ist meist durch zwei Größen zusammen mit dem rechten Winkel eindeutig bestimmt. Das Programm erlaubt es, aus den folgenden Größen zwei auszuwählen und ihre Werte einzugeben: - Katheten a und b - Hypotenuse c - Hypotenusenabschnitte p und q - Höhe h - Winkel α und ß - Flächeninhalt A Werden zwei der neun Größen eingegeben und die Eingabe mit Bild_abw. abgeschlossen, so berechnet das Programm die restlichen Größen. Die graphische Darstellung kann mit dem Programmpunkt Dreiecke aus drei Größen erfolgen. »31 8.2 Dreiecke aus drei Größen ─────────────────────────────────────────────────────────────────── «32 Werden von einem Dreieck drei äußere Größen ( Seiten oder Winkel ) eingegeben und die Eingabe mit Bild_abw abgeschlossen, so berechnet das Programm die Seiten, die Winkel, die Höhen, die Seiten- und die die Winkelhalbierenden ( Strecken von der Ecke bis zum Schnittpunkt mit der Seite gegenüber ), den Umfang und den Flächeninhalt, sowie die Mittelpunkte und Radien von Inkreis und Umkreis des Dreiecks. Außerdem wird das Dreieck mit In- und Umkreis gezeichnet. Gibt man zwei Seiten und den Winkel, der der kleineren Seite gegen- überliegt (sSw), ein, wird zunächst die erste Lösung angezeigt. Auf Tastendruck folgt dann die zweite Lösung. Beispiel : a = 3, b = 4, Alpha = 36.87° 1. Lösung : Seiten 3 4 5 Winkel 36.87° 53.13° 90° : 2. Lösung : Seiten 3 4 1.4 Winkel 36.87° 126.9° 16.26° »32 8.3 Dreiecke aus drei Punkten ─────────────────────────────────────────────────────────────────── «33 Werden von einem Dreieck die Koordinaten der drei Eckpunkte einge- geben, berechnet das Programm alle 'äußeren' und 'inneren' Größen, das heißt die Seiten, die Winkel, die Höhen, die Seiten- und die die Winkelhalbierenden, den Umfang und den Flächeninhalt, sowie die Mittelpunkte und Radien des Umkreises und Inkreises des Dreiecks. Außerdem wird das Dreieck mit In- und Umkreis gezeichnet. »33 - 18 - 8.4 Vielecke ─────────────────────────────────────────────────────────────────── «34 Zunächst müssen die Koordinaten der Eckpunkte eines Vielecks einge- geben werden. Das Programm stellt dazu eine Eingabemaske für max. 14 Punkte, A bis N, zur Verfügung. Sobald die Eingabe mit Bild_abw. abgeschlossen wurde, sucht das Programm den letzten, vom Ursprung verschiedenen Punkt, um die Anzahl der Ecken festzulegen. Danach werden der Flächeninhalt, der Umfang und die Koordinaten des Ecken- und des Flächenschwerpunktes angezeigt, und das Vieleck wird gezeichnet. »34 8.5 Abbildungen ─────────────────────────────────────────────────────────────────── «35 Das Programm erlaubt es, auf ein n-Eck bis zu fünf Abbildungen an- zuwenden. Die Eingabe und Ausgabe erfolgt auf vier Seiten: ┌──────────────────────────────────┐ │ Eingabe des n-Ecks │ │ ┌──────────────────────────────────┐ │ │ Wahl der Abbildungsarten │ │ │ ┌──────────────────────────────────┐ │ │ │ Definition der Abbildungen │ │ │ │ ┌──────────────────────────────────┐ │ │ │ │ Ausgabe der Bilder des n-Ecks │ └────│ │ │ │ │ │ │ │ └────│ │ │ │ │ │ └────│ │ └──────────────────────────────────┘ Seite 1: Zunächst müssen die Koordinaten der Eckpunkte eines Vielecks einge- geben werden. Das Programm stellt dazu eine Eingabemaske für max. 14 Punkte, A bis N, zur Verfügung. Sobald die Eingabe mit Bild_abw. abgeschlossen wurde, sucht das Programm den letzten, vom Ursprung verschiedenen Punkt, um die Anzahl der Ecken festzulegen. Seite 2: Sie können bis zu fünf Abbildungen verketten und dabei jeweils aus den folgenden sechs Abbildungstypen auswählen: - Verschiebung um dx in x-Richtung und dy in y-Richtung - Geradenspiegelung an der Gerade (PQ) - Punktspiegelung an dem Punkt Z - Drehung um den Punkt Z mit Drehwinkel α - Zentrische Streckung aus Z mit Faktor k - Scherung an der Gerade (PQ) mit Winkel α Es sind auch mehrere Abbildungen vom gleichen Typ möglich. Man kann also auch Mehrfachspiegelungen an verschiedenen Geraden auf das n-Eck anwenden. - 19 - Seite 3: Die Abbildungen werden definiert, indem man die für den gewähl- ten Abbildungstyp erforderlichen Parameter eingibt. Dies sind - bei der Verschiebung der Vektor (dx/dy) - bei der Geradenspiegelung zwei Achsenpunkte P und Q - bei der Punktspiegelung der Punkt Z - bei der Drehung der Punkt Z und der Drehwinkel α - bei der Zentrischen Streckung Z und der Faktor k - bei der Scherung zwei Achsenpunkte P und Q und der Winkel α Seite 4: Ausgegeben werden zu jeder Abbildung der Verkettung die Bildfigur und die Koordinaten der Eckpunkte. Eine Null als Linienart bedeutet, daß die Bildfigur nicht gezeich- net werden soll. Damit ist es zum Beispiel möglich, das Bild einer Drehstreckung oder einer Schubspiegelung direkt anzeigen zu lassen. Das Urbild wird immer in der Linienart 1, also durchgezogen, und in der Farbe schwarz gezeichnet. »35 8.6 Koordinatensysteme ─────────────────────────────────────────────────────────────────── «36 Mit diesem Programm lassen sich dreidimensionale kartesische Koor- dinaten in dreidimensionale Polarkoordinaten ( Kugelkoordinaten ) oder Zylinderkoordinaten umrechnen und umgekehrt. Die kartesischen Koordinaten (x/y/z) eines Punktes beziehen sich auf ein Koordinatensystem bei dem die Achsen senkrecht zueinander verlaufen und auf allen Achsen die gleiche Längeneinheit verwendet wird. Die Polarkoordinaten (r/phi/Theta) eines Punktes geben seinen Ab- stand r zum Ursprung an, den Drehwinkel phi in der Äquatorebene und und den Erhebungswinkel Theta aus der Äquatorebene heraus. Die Zylinderkoordinaten (rho/phi/z) eines Punktes geben seinen Ab- stand rho zur Zylinderachse an, den Drehwinkel phi um die Achse und die Höhe z über dem Ursprung. Für z=0 bzw. Theta=0 erhält man die zweidimensionalen kartesischen Koordinaten und Polarkoordinaten. Bsp: ┌─ kartes. Koord. ─┐ ┌─Polarkoordinaten─┐ ┌─ Zylinderkoord. ─┐ │ │ │ │ │ │ │ x = 1 │ │ r = 1.7320508 │ │ rho = 1.4142136 │ │ y = 1 │ │ phi = 45 │ │ phi = 45 │ │ z = 1 │ │Theta= 54.735610 │ │ z = 1 │ │ │ │ │ │ │ └──────────────────┘ └──────────────────┘ └──────────────────┘ »36 - 20 - 8.7 Ebene durch drei Punkte ─────────────────────────────────────────────────────────────────── «37 Drei Punkte im Raum, die nicht auf einer Geraden liegen, bestimmen genau eine Ebene. Gibt man die Koordinaten von drei Punkten ein, so bestimmt das Programm die Punkt-Richtungs-Form und die Koordinaten- gleichung der zugehörigen Ebene, sowie ihren Abstand vom Ursprung. Dabei werden die Richtungsvektoren und der Normalenvektor auf ganze Zahlen erweitert. Zusätzlich wird die Lage der Ebene im Raum durch ein Schrägbild veranschaulicht, das ihre Schnittgeraden mit einem achsensymmetrischen Würfel, sowie die Spurpunkte der Ebene enthält. Beispiel: Ebene durch die Punkte A(2/0/1), B(3/3/6), C(4/-1/2) ┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐ -> │2│ │1│ │ 2│ x = │0│ + r∙│3│ + s∙│-1│ bzw. 8x + 9y - 7z = 9 │1│ │5│ │ 1│ └ ┘ └ ┘ └ ┘ »37 8.8 Kugel durch vier Punkte ─────────────────────────────────────────────────────────────────── «38 Eine Kugel ist durch vier Punkte, die nicht in einer Ebene liegen, eindeutig bestimmt. Das Programm bestimmt aus den Koordinaten von vier Punkten die Gleichung der Kugel und zeichnet das Schrägbild eines achsensymmetrischen Würfels mit dem zur Bildebene parallelen Großkreis der Kugel. Beispiel: Kugel durch A(11/1/3), B(7/1/7), C(3/-5/7), D(3/-8/-2) Sie hat den Mittelpunkt M(5/-2/1) und den Radius r=7 »38 8.9 Schnitt von zwei Geraden ─────────────────────────────────────────────────────────────────── «39 Das Programm bestimmt zu zwei Geraden den Schnittpunkt, sowie den Schnittwinkel und die Abstände vom Ursprung. Die Geraden müssen in Parameterdarstellung eingegeben werden. Haben die Geraden keinen Punkt gemeinsam, wird gemeldet:'Die Geraden sind parallel' oder 'Die Geraden sind windschief'. Beispiel: ┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐ │ 1│ │ 1│ │ 3│ │ 2│ g: x = │ 0│ + r∙│-1│ und h: x = │-2│ + s∙│ 3│ │ 2│ │ 1│ │ 4│ │ 0│ └ ┘ └ ┘ └ ┘ └ ┘ Schnittpunkt von g und h : S(3/-2/4) ( r=2, s=0 ) Winkel zwischen g und h : 99.2° Abstände zum Ursprung : d(g,O) = 1.41 , d(h,O) = 5.39 »39 - 21 - 8.10 Schnitt von zwei Ebenen ─────────────────────────────────────────────────────────────────── «3A Das Programm bestimmt zu zwei Ebenen die Schnittgerade, den Abstand der Gerade vom Ursprung und den Winkel zwischen den beiden Ebenen. Gezeichnet werden die Schnitte der Ebenen mit einem achsensymmetri- schen Würfel und die Schnittgerade der beiden Ebenen. Beispiel: Die Ebenen E1: x + y + z = 12 und E2: x - y = 5 schneiden einander in ┌ ┐ ┌ ┐ -> │ 0│ │ 1│ g: x = │-5│ + r∙│ 1│ │17│ │-2│ └ ┘ └ ┘ Abstand vom Ursprung : d = 7.778175 Schnittwinkel der Ebenen : α = 90° »3A 8.11 Schnitt von zwei Kugeln ─────────────────────────────────────────────────────────────────── «3B Aus den Koordinaten des Mittelpunkts und den Radien von zwei Kugeln bestimmt das Programm den Mittelpunkt und Radius des Schnittkreises sowie die Koordinatengleichung der Schnittkreisebene. Die räumliche liche Darstellung aller Größen hat provisorischen Charakter, da mir bis jetzt noch keine Lösung eingefallen ist, wie mit vertretbarem Aufwand zwei Kugeln und ihr Schnittkreis anschaulich gemacht werden können. Gibt man bei einer Kugel als Radius Null und als Mittelpunkt einen Punkt auf der anderen Kugel ein, so erhält man die Gleichung der Tangentialebene. Beispiel: Die Kugeln k1: M(1/3/9), r=7 und k2: M(2/-1/5), r=4 schneiden einander in einem Kreis um M(2/-1/5) mit Radius r=4, der in der Ebene x - 4y - 4z = -14 liegt. »3B 8.12 Schnitt von Ebene und Kugel ─────────────────────────────────────────────────────────────────── «3C Aus der Koordinatengleichung einer Ebene und dem Mittelpunkt und und dem Radius einer Kugel bestimmt das Programm den Mittelpunkt und den Radius des Schnittkreises. Beispiel: Gegen sind die Ebene E und die Kugel k mit E: 2x + y -2z = 11 K: (x-2)^2 + (x+1)^2 + (x-5)^2 = 49 also mit Mittelpunkt M(2/-1/5) und Radius r=7 Ergebnis: Die Ebene und die Kugel schneiden einander in einem Kreis um M(6/1/1) mit Radius r=3.6056 »3C - 22 - ┌─────────────────────────────────────────────────────────────────┐ │ 9 . D A S M E N Ü A N A L Y S I S │ └─────────────────────────────────────────────────────────────────┘ 9.1 Polynome ─────────────────────────────────────────────────────────────────── «41 Das Programm berechnet das Produkt und den Quotienten von zwei Polynomen. Beispiel: 1. Polynom : x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 2. Polynom : x^2 + 2x + 1 Produkt : x^6 + 6x^5 + 15x^4 + 20x^3 + 15x^2 + 6x + 1 Quotient: x^2 + 2x + 1 Rest : 0 Die beiden Polynome, sowie ihr Produkt, ihr Quotient und das Rest- polynom werden automatisch in die Register R6 bis R10 geschrieben und können zum Beispiel im Funktionsplotter mit Alt F6 bis Alt F10 als Funktionsterme eingelesen werden. »41 9.2 Funktionsplotter 1 ─────────────────────────────────────────────────────────────────── «42 Es können bis zu fünf Funktionen gleichzeitig in einem Koordinaten- system gezeichnet werden. Die Funktionsterme dürfen außer den Rechenzeichen + - * / ^ ( ) die Funktionen sqr (√x), abs (│x│), int, sgn, exp (e^x), ln,lg,ld, sin, cos, tan, cot, asin (arcus sinus), acos (arcus cosinus), atn (arcus tangens), sh (sinus hyperbolicus), ch (cosinus hyperbolicus), th (tangens hyperbolicus), sec (secans) und csc (cosecans) enthalten. Erlaubt sind auch Verknüpfungen oder Ableitungen von bereits defi- nierten Funktionen. Dazu werden einfach für f1(x), f2(x),... in die Funktion y1, y2, ... eingesetzt. Die Ableitungen von f1(x), f2(x), usw. werden als y1', y2', ... bzw. y1", y2", ... eingegeben. Nicht zulässig sind Verknüpfungen von Funktionen, die bereits durch Verknüpfung oder Ableitung entstanden sind. Beispiele : Sei f1(x)=sin(x) und f2(x)=3*sqr(x), dann ersetzt f3(x)=2*y1^2-y2 f3(x)=2*sin(x)^2-3*sqr(x) f4(x)=f2(y1) f4(x)=3*sqr(sin(x)) f5(x)=y2' f5(x)=3/(2*sqr(x)) Für jede der definierten Funktionen kann eine Linienart ausgewählt werden, bei EGA- und VGA-Graphik außerdem eine der Farben rot, grün, blau oder schwarz. »42 Auf der nächsten Seite werden Zeichenbereich, Skalierung, Auflösung, Winkelmodus und Teil- oder Vollbild bestimmt. - 23 - 9.3 Funktionsplotter 2 ─────────────────────────────────────────────────────────────────── «43 Diese kleine Routine habe ich ergänzt, um mehrere Funktionen in getrennten Schaubildern zeichnen zu können. Damit lassen sich sechs Funktionen in einem Ausdruck graphisch darstellen. Für jede Funktion kann unabhängig der Zeichenbereich, die Achsen- skalierung, die Zeichengenauigkeit (Auflösung), der Winkelmodus für die trigonometrischen Funktionen und die Anzahl der Ableitungen be- stimmt werden. ┌───── Skalierung ─────┐┌─ Auflösung ──┐┌─ Winkel─┐┌─ Ableitungen─┐ │ 0 : x und y linear ││ 0 : grob ││ 0 : RAD ││ 0 : nur f │ │ 1 : x linear, y log. ││ 1 : mittel ││ 1 : DEG ││ 1 : f und f' │ │ 2 : x log., y linear ││ 2 : fein ││ 2 : GON ││ 2 : f, f',f" │ │ 3 : x und y log. ││ 3 : sehr fein││ ││ zeichnen │ └──────────────────────┘└──────────────┘└─────────┘└──────────────┘ Die Funktionsterme dürfen außer den Rechenzeichen + - * / ^ ( ) die Funktionen sqr (√x), abs (│x│), int, sgn, exp (e^x), ln,lg,ld, sin, cos, tan, cot, asin (arcus sinus), acos (arcus cosinus), atn (arcus tangens), sh (sinus hyperbolicus), ch (cosinus hyperbolicus), th (tangens hyperbolicus), sec (secans) und csc (cosecans) enthalten. Der Texteditor (F5) ermöglicht es, die Schaubilder z.B. mit Seiten- und Aufgabennummer beschriften. »43 9.4 Funktionsplotter 3 ─────────────────────────────────────────────────────────────────── Gezeichnet wird eine abschnittsweise definierte Funktion, die durch fünf Teilfunktionen f1 bis f5 gegeben ist. «44 Die Funktionsterme dürfen außer den Rechenzeichen + - * / ^ ( ) die Funktionen sqr (√x), abs (│x│), int, sgn, exp (e^x), ln,lg,ld, sin, cos, tan, cot, asin (arcus sinus), acos (arcus cosinus), atn (arcus tangens), sh (sinus hyperbolicus), ch (cosinus hyperbolicus), th (tangens hyperbolicus), sec (secans) und csc (cosecans) enthalten. Für jede der Teilfunktionen werden der Definitionsbereich, die Art des Intervalls und die Farbe eingegeben. Intervall 0 : beidseitig offen 1 : links offen und rechts abgeschlossen 2 : links abgeschlossen und rechts offen 3 : beidseitig abgeschlossen Außerdem kann bestimmt werden, ob die Randpunkte gezeichnet werden oder nicht. Sie werden als gefüllte Kreise oder offene Quadrate ge- zeichnet, je nachdem, ob sie zum Definitionsbereich dazu gehören oder nicht. »44 - 24 - 9.5 Kurvenscharen ─────────────────────────────────────────────────────────────────── «45 Das Programm zeichnet die Schaubilder von beliebigen Funktionen, die einen Scharparameter k enthalten. Die Werte für k können aufgelistet oder durch Anfangswert, Endwert und Schrittweite bestimmt werden. Die Unterscheidung der einzelnen Kurven kann durch Farben, durch die Linienart oder durch beides er- folgen. Auf der nächsten Seite werden Zeichenbereich, Skalierung, Auflösung, Winkelmodus und Teil- oder Vollbild bestimmt. Vor dem Ausdrucken können die Kurven mit dem Texteditor (F5) mit den Scharparametern beschriftet werden. Beispiele: Übersicht über Potenzfunktionen f(x,k) = x^k k aus { 0, 1/2, -1/2, 1, -1, 2, -2 } Zeichenbereich 0 ≤ x ≤ 4 , 0 ≤ y ≤ 4 Sinuskurven mit verschiedenen Phasenverschiebungen. f(x,k) = sin(x+k) k von -2 bis 2 mit Schrittweite 1 Zeichenbereich -7 ≤ x ≤ 7 , -2 ≤ y ≤ 2 »45 9.6 Kurvendiskussion ─────────────────────────────────────────────────────────────────── «46 Das Programm führt für eine beliebige Funktion die Kurvendiskussion durch. Das heißt, es werden die Ableitungen bestimmt, die Funktion wird in einem vorgegebenen Bereich auf Nullstellen, Extrema und auf Wendepunkte untersucht, die Schaubilder von f, f' und f" werden ge- zeichnet, und eine Wertetabelle wird ausgegeben. ┌──────────────────────────────────┐ │ Eingabe des Funktionsterms │ │ ┌──────────────────────────────────┐ │ │ Ausgabe der Ableitungen │ │ │ ┌──────────────────────────────────┐ │ │ │ Ausgabe der Kurvendiskussion │ └────│ │ ┌──────────────────────────────────┐ │ │ │ Eingabe des Koordinatensystems │ └────│ │ ┌──────────────────────────────────┐ │ │ │ Ausgabe des Schaubildes │ └────│ │ ┌──────────────────────────────────┐ │ │ │ Ausgabe der Wertetabelle │ └────│ │ │ │ │ │ └────│ │ │ │ └──────────────────────────────────┘ - 25 - Seite 1 : Eingabe des Funktionsterms ──────────────────────────────────── Außer dem Funktionsterm werden der Bereich der Untersuchung, die Genauigkeit der Untersuchung und der Winkelmodus eingegeben. Der Funktionsterm darf außer den Rechenzeichen + - * / ^ ( ) die Funktionen sqr (√x), abs (│x│), int, sgn, exp (e^x), ln,lg,ld, sin, cos, tan, cot, asin (arcus sinus), acos (arcus cosinus), atn (arcus tangens), sh (sinus hyperbolicus), ch (cosinus hyperbolicus), th (tangens hyperbolicus), sec (secans) und csc (cosecans) enthalten. Der Untersuchungsbereich ist das Intervall, in dem die Funktion auf Nullstellen, Extrema und Wendepunkte untersucht wird. Er darf nicht zu groß gewählt werden, da gleichzeitig die Schrittweite erhöht wird, mit der die Funktion auf Vorzeichenwechsel untersucht wird. Die Untersuchung erfolgt bei kleiner Genauigkeit (0:grob) schneller als bei großer. Bei Funktionen mit sehr schnellem Vorzeichenwechsel können dabei jedoch Nullstellen übersehen werden. Seite 2 : Ausgabe der Ableitungen ───────────────────────────────── Die Ableitungen f' und f" von f werden durch symbolisches Differen- zieren nach den üblichen Ableitungsregeln bestimmt. Danach werden eine Reihe von elementaren Vereinfachungen vorgenommen. Während der erste Teil des Algorithmus noch leicht zu verifizieren ist, können sich in den zweiten Teil leicht Fehler einschleichen. Wenn Sie das Gefühl haben, daß eine Ableitung nicht korrekt ist, so empfiehlt es sich, den ermittelten Term zusammen mit dem selbst ab- geleiteten Term in den Funktionsplotter 1 einzugeben und mit ver- schiedenen Farben zeichnen zu lassen. Sollten sich die Kurven nicht decken, bitte ich um einem entsprechenden Hinweis. Seite 3 : Ausgabe der Kurvendiskussion ────────────────────────────────────── Ausgegeben werden die Nullstellen, die Hoch- und Tiefpunkte und die der Wendepunkte der Funktion im Untersuchungsbereich. Definitionslücken kann das Programm nicht erkennen, allein deswegen, weil sie wegen der binären Arithmetik meist nicht im Rechenbereich liegen oder übersprungen werden. Aus diesem Grund können dort ver- sehentlich Extrema oder Wendepunkte angezeigt werden. Was für die Definitonslücken gesagt wurde, gilt entsprechend auch für die Stetigkeit und Differenzierbarkeit von f, f' und f". Hier bleibt zwangsläufig ein Stück Eigenarbeit übrig. Seite 4 : Eingabe des Koordinatensystems ──────────────────────────────────────── siehe Abschnitt 5.6 - 26 - Seite 5 : Ausgabe des Schaubildes ───────────────────────────────── Ausgegeben werden das Schaubild der Funktion f (rot durchgezogen), der 1. Ableitung f' (grün gestrichelt) und der 2. Ableitung (blau punktiert). Die Wendepunkte der Funktion f werden gekennzeichnet. Bei zu groß gewählter Auflösung lassen sich die Linienarten in den Bereichen mit flachem Kurvenverlauf nicht mehr unterscheiden. Seite 6 : Ausgabe der Wertetabelle ────────────────────────────────── Hier kann der Bereich und die Schrittweite bestimmt werden, mit der die Wertetabelle von f, f' und f" erstellt werden soll. Vorgegeben wird der Untersuchungsbereich der Kurvendiskussion. Stellen, an denen eine der Funktionen nicht definiert ist, werden durch --- gekennzeichnet. Beispiel: f(x)=4/x-4/x^2 Untersuchung im Bereich von -10 bis 10 Untersuchung mit Genauigkeit 1 Ableitungen : f'(x) = -4/x^2+8/x^3 f"(x) = 8/x^3-24/x^4 ┌───────────────────┬───────────────┬────────────────────┐ │ Nullstellen: f' │ Extrema: │ Wendepunkte: f' │ ├───────────────────┼───────────────┼────────────────────┤ │ N(1/0) 4 │ T(0.2/-80) │ W(3/0.8889) -0.148 │ │ │ H(2/1) │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └───────────────────┴───────────────┴────────────────────┘ Der Tiefpunkt T(0.2/-80) wird irrtümlich angezeigt, weil durch den Pol an der Stelle x=0 ein Vorzeichenwechsel bei der 1. Ableitung auftritt. Zeichenbereich : -10 ≤ x ≤ 10 und -2 ≤ y ≤ 2 Wertetabelle von -10 bis 10 mit Schrittweite 2.5 ┌───────────┬──────────────┬──────────────┬──────────────┐ │ x │ f(x) │ f'(x) │ f"(x) │ ├───────────┼──────────────┼──────────────┼──────────────┤ │ -10 │ -0.44 │ -0.048 │ -0.0104 │ │ -7.5 │ -0.604444 │ -0.090074 │ -0.026548 │ │ -5 │ -0.96 │ -0.224 │ -0.1024 │ │ -2.5 │ -2.24 │ -1.152 │ -1.1264 │ │ 0 │ --- │ --- │ --- │ │ 2.5 │ 0.96 │ -0.128 │ -0.1024 │ │ 5 │ 0.64 │ -0.096 │ 0.0256 │ │ 7.5 │ 0.462222 │ -0.052148 │ 0.0113778 │ │ 10 │ 0.36 │ -0.032 │ 0.0056 │ └───────────┴──────────────┴──────────────┴──────────────┘ »46 - 27 - 9.7 Newton-Iteration ─────────────────────────────────────────────────────────────────── «47 Bei der Newton-Iteration handelt es sich um ein Näherungsverfahren zur Berechnung einer Nullstelle von f(x). Gibt man einen Startwert x0 ein, der nahe genug an der gesuchten Nullstelle liegt, so wird als nächste Näherung der Schnitt der Tangente an den Graph von f im Punkt P(x0 / f(x0)) berechnet. Dies führt auf die Rekursionsformel f(x(n)) x(n+1) = x(n) - ───────── f'(x(n)) Der Funktionsterm darf außer den Rechenzeichen + - * / ^ ( ) die Funktionen sqr (√x), abs (│x│), int, sgn, exp (e^x), ln,lg,ld, sin, cos, tan, cot, asin (arcus sinus), acos (arcus cosinus), atn (arcus tangens), sh (sinus hyperbolicus), ch (cosinus hyperbolicus), th (tangens hyperbolicus), sec (secans) und csc (cosecans) enthalten. Das Verfahren konvergiert, wenn für x0 gilt : f(x0) ∙ f"(x0) > 0 Beispiel: f(x) = x-cos(x) x(0) = 1 x(1) = .75036387 x(2) = .73911289 x(3) = .73908513 x(4) = .73908513 »47 9.8 Integralrechnung ─────────────────────────────────────────────────────────────────── «48 Berechnet wird der orientierte und der absolute Inhalt der Fläche zwischen zwei Funktionskurven in einem gewünschten Intervall, also die beiden Integrale b b ⌠ ⌠ A1 = │(f1(x)-f2(x))dx und A2 = │ │f1(x)-f2(x)│dx ⌡ ⌡ a a Die Funktionsterme dürfen außer den Rechenzeichen + - * / ^ ( ) die Funktionen sqr (√x), abs (│x│), int, sgn, exp (e^x), ln,lg,ld, sin, cos, tan, cot, asin (arcus sinus), acos (arcus cosinus), atn (arcus tangens), sh (sinus hyperbolicus), ch (cosinus hyperbolicus), th (tangens hyperbolicus), sec (secans) und csc (cosecans) enthalten. Außerdem werden bestimmt : die Drehmomente bei Drehung um die x- bzw. y-Achse, die dabei überstrichenen Rotationsvolumen und der Schwerpunkt der Fläche Beispiel: f1(x)=4-x^2 , f2(x)=(x-1)^2 Integrationsintervall von 0 bis 1.5 Inhalt orientiert und absolut A1 = A2 = 4.5 Drehmomente Mx=8.1563 My=3.0938 Rotationsvolumen Vx=51.247 Vy=19.439 Schwerpunkt S(0.6875/1.8125) »48 - 28 - 9.9 Parameterkurven ─────────────────────────────────────────────────────────────────── «49 Mit diesem Programm lassen sich Kurven zeichnen, die nicht durch einen expliziten Funktionsterm gegeben sind, sondern durch zwei Funktionen für die horizontale und vertikale Auslenkung. Auf der ersten Seite werden die beiden Funktionsterme eingegeben und der Bereich, den der Parameter durchlaufen soll. Die Funktionsterme dürfen außer den Rechenzeichen + - * / ^ ( ) die Funktionen sqr (√x), abs (│x│), int, sgn, exp (e^x), ln,lg,ld, sin, cos, tan, cot, asin (arcus sinus), acos (arcus cosinus), atn (arcus tangens), sh (sinus hyperbolicus), ch (cosinus hyperbolicus), th (tangens hyperbolicus), sec (secans) und csc (cosecans) enthalten. Auf der zweiten Seite werden Zeichenbereich, Skalierung, Auflösung, Winkelmodus und Teil- oder Vollbild bestimmt. Bei der niedrigsten Auflösung werden 100 Punkte der Kurve berechnet. Jede Erhöhung der Auflösung verdoppelt die Anzahl der Punkte. Einfache Beispiele sind: 1. Der Kreis x(k)=sin(k), y(k)=cos(k), k von -Pi bis Pi Zeichenbereich -2 ≤ x ≤ 2 , -2 ≤ y ≤ 2 2. Die Spirale x(k)=k*sin(k), y(k)=k*cos(k), k von 0 bis 20 Zeichenbereich -20 ≤ x ≤ 20 , -20 ≤ y ≤ 20 3. Die Lissajou-Figuren, die man erhält, wenn an ein Oszilloskop zwei Wechselspannungen mit verschiedenen Frequenzen angelegt werden : x(k)=sin(3*k), y(k)=cos(5*k), k von -Pi bis Pi Zeichenbereich -2 ≤ x ≤ 2 , -2 ≤ y ≤ 2 »49 9.10 Reihenentwicklung ─────────────────────────────────────────────────────────────────── «4A Gezeichnet wird eine als Reihe Σ f(x,k) gegebene Funktion, wobei die Reihenentwicklungen für verschiedene Parameterbereiche vergli- chen und zur besseren Unterscheidung in y-Richtung versetzt werden können. Der Funktionsterm darf außer den Rechenzeichen + - * / ^ ( ) die Funktionen sqr (√x), abs (│x│), int, sgn, exp (e^x), ln,lg,ld, sin, cos, tan, cot, asin (arcus sinus), acos (arcus cosinus), atn (arcus tangens), sh (sinus hyperbolicus), ch (cosinus hyperbolicus), th (tangens hyperbolicus), sec (secans) und csc (cosecans) enthalten. Für k und natürlichzahlige Terme von k steht außerdem die Funktion fac(k) zur Verfügung, mit der die Fakultät berechnet wird. Beispiel: f(x,k) = x^(2*k-1)/fac(2*k-1)*(-1)^(k+1) k von 1 bis 16 Damit werden die ersten 16 Glieder der Taylorreihe für die Sinusfunktion berechnet. »4A - 29 - 9.11 Flächenfunktionen ─────────────────────────────────────────────────────────────────── «4B Gezeichnet wird eine Flächenfunktion f(x,y), das heißt das drei- dimensionale Schaubild einer Funktion mit zwei Variablen. Da bei vielen Flächenfunktionen Terme mehrfach verwendet werden, besteht die Möglichkeit, einen Term u(x,y) separat zu definieren und als u im Funktionsterm zu verwenden. Die Funktionsterme dürfen außer den Rechenzeichen + - * / ^ ( ) die Funktionen sqr (√x), abs (│x│), int, sgn, exp (e^x), ln,lg,ld, sin, cos, tan, cot, asin (arcus sinus), acos (arcus cosinus), atn (arcus tangens), sh (sinus hyperbolicus), ch (cosinus hyperbolicus), th (tangens hyperbolicus), sec (secans) und csc (cosecans) enthalten. Die Fläche wird durch eine einstellbare Anzahl von ebenen Schnitten dargestellt. Die Anzahl der Punkte pro Linie wird durch die Auflö- sung festgelegt. Außerdem werden der Winkelmodus für die trigonometrischen Funktio- nen und die Darstellung im Teilbild oder Vollbild (Zoom) bestimmt. Verdeckte Linien werden nicht gezeichnet, und diejenigen Teile der Fläche, die von unten gesehen werden, werden in einer anderen Farbe dargestellt (nur EGA und VGA mit Farbmonitor). Beispiele: a) f(x,y) = sin(u)/u u(x,y) = sqr(x*x+y*y) -10 ≤ x ≤ 10 , -10 ≤ y ≤ 10 , 0 ≤ z ≤ 1 b) f(x,y) = cos(u)*(cos(u)+1) u(x,y) = sqr(x*x+y*y) -10 ≤ x ≤ 10 , -10 ≤ y ≤ 10 , 1 ≤ z ≤ 5 c) f(x,y) = u*cos(y/u) u(x,y) = 1/(1+x*x/10) 0 ≤ x ≤ 6 , 0 ≤ y ≤ 10 , 0.5 ≤ z ≤ 2 d) f(x,y) = abs(cos(x))+abs(cos(y)) -5 ≤ x ≤ 5 , -5 ≤ y ≤ 5 , 1 ≤ z ≤ 3 e) f(x,y) = (abs(x)+abs(y))/u u(x,y) = sqr(x*x+y*y) -10 ≤ x ≤ 10 , -10 ≤ y ≤ 10 , 1 ≤ z ≤ 2 »4B - 30 - ┌─────────────────────────────────────────────────────────────────┐ │ 1 0 . D A S M E N Ü S T O C H A S T I K │ └─────────────────────────────────────────────────────────────────┘ 10.1 Statistik ─────────────────────────────────────────────────────────────────── «51 Zu einer Urliste werden der Mittelwert (arithmetisches Mittel), der Zentralwert (Median), die Varianz und die Standardabweichung be- stimmt. Zusätzlich wird die Verteilung als Histogramm ausgegegeben. Die Urliste kann aus einer Datei eingelesen werden oder in zwischen einer und vier Eingabeseiten mit je 64 Feldern im Programm einge- geben werden. Die Eingaben können auch in einer Datei gespeichert werden. Während bei der Funktion F4 'Daten in einer Datei speichern' nur eine Eingabeseite gespeichert wird und ein internes Format ver- wendet wird, werden hier alle Werte der Urliste im ASCII-Format in die Datei geschrieben. _ Mittelwert x = 1/n ∙ Σ x(i) Zentralwert ist der Wert, der in der sortierten Urliste im Zentrum steht, bei einer geraden Anzahl von Werten ist es der Mittelwert der beiden zentralen Werte. _ _ Varianz σ² = 1/(n-1)∙Σ(x(i) - x) bzw. 1/n∙Σ(x(i) - x) Standardabweichung σ = √σ² »51 10.2 Regression ─────────────────────────────────────────────────────────────────── Mit dieser Routine können Sie zu einer Meßreihe mit maximal 192 Wertepaaren eine Kurvenanpassung durchführen lassen. Die Wertepaare können aus einer Datei eingelesen oder in zwischen einer und vier Eingabeseiten im Programm eingegeben werden. Die Eingaben können in einer Datei gespeichert werden, wobei pro Zeile ein Wertepaar durch Komma getrennt in die Datei geschrieben wird. Sie können zwischen folgenden Anpassungen wählen und bei Bedarf alle Punkte in x- oder y-Richtung verschieben bzw. strecken. 0 : Ursprungsgerade y = b∙x 1 : Lineare Regression y = a + b∙x 2..9: Polynomregression n-ter Ordnung y = a(0) + ... + a(n)∙x^n 10 : Geometrische Regression y = a∙x^b 11 : Exponentielle Regression y = a∙b^x 12 : Logarithmische Regression y = a + b∙ln(x) - 31 - «52 Nach der Wahl des Regressionstyp werden für das Schaubild Zeichen- bereich, Skalierung, Auflösung, Winkelmodus und Teil- oder Vollbild bestimmt. Der Zeichenbereich wird so vorgegeben, daß die gegebenen Punkte dargestellt werden. Er kann aber beliebig verändert werden, so daß auch eine Vorschau auf andere Bereiche möglich ist. Zusammen mit dem Schaubild werden der Funktionsterm der Näherungs- kurve, das Bestimmtheitsmaß, der Korrelationskoeffizient und die Standardabweichung ausgegeben. Auf der nächsten Seite werden diese Werte zusammen mit einer Wertetabelle der Funktion nochmal ausge- geben. Der Funktionsterm der Näherungskurve wird automatisch im Register R9 abgelegt. Außer bei der Polynomregression wird zusätzlich der Funktionsterm der Umkehrfunktion in das Register R10 geschrieben. Damit ist es beispielsweise möglich, die Ergebnisse einer Kurven- diskussion zu unterziehen oder Flächen unter den Kurven berechnen zu lassen. Bedenken Sie dabei aber, daß die Koeffizienten nur mit achtstelliger Genauigkeit in die Rechnung eingehen und die weiteren Berechnungen Rundungsfehler kräftig fortpflanzen können. Bei der linearen Regression werden die folgenden Formeln verwendet. Bei der geometrischen Regression müssen x und y durch ln x und ln y ersetzt werden, bei der exponentiellen Regression nur y und bei der logarithmischen Regression nur x. b = (n∙Σxy - Σx∙Σy)/(n∙Σx² - Σx∙Σx) , a = (Σy - b∙Σx)/n Bestimmtheitsmaß r² = h1/h2 Korrelationskoeff. r = √r² Varianz σ² = (h2 - h1)/(n-2) Standardabweichung σ = √σ² mit h1 = b∙(Σxy - 1/n ∙Σx∙Σy) und h2 = Σy² - 1/n ∙Σy∙Σy Beispiel: x │ 0 3 -1 1 ──┼───────────────────────────────────── y │ 4 10 6 7 ┌────────────────────────────────┬────────────────────────────────┐ │ Regressionstyp : 1 │ Regressionstyp : 3 │ ├────────────────────────────────┼────────────────────────────────┤ │ Lineare Regression : │ Polynomregression : │ │ │ │ │ y = 1.228571∙x + 5.828571 │ y = 4 + 1.25∙x + 2.5∙x^2 │ │ │ - 0.75∙x^3 │ │ │ │ │ Bestimmtheitsmaß : 0.70438 │ Bestimmtheitsmaß : 1 │ │ Korrelationskoeff.: 0.83927 │ Korrelationskoeff.: 1 │ │ Standardabweichung: 1.66476 │ Standardabweichung: 0 │ └────────────────────────────────┴────────────────────────────────┘ Die geometrische Regression und die logarithmische Regression kön- nen mit diesen Daten nicht durchgeführt werden, da das dritte Paar einen negativen x-Wert hat. »52 - 32 - 10.3 Kombinatorik ─────────────────────────────────────────────────────────────────── «53 Berechnet werden die Anzahlen der Möglichkeiten, aus n Elementen k auszuwählen, wenn auf die Reihenfolge Wert gelegt wird oder nicht und wenn Wiederholungen zugelassen sind oder nicht. Beispiel: n = 49, k = 6 Geordnet , ohne Wh.: n! / (n-k)! = 10 068 347 520 Geordnet , mit Wh.: n^k = 13 841 287 201 Ungeordnet, ohne Wh.: n über k = 13 983 816 ( Lotto ) Ungeordnet, mit Wh.: n+k-1 über k = 25 827 165 Permutationen von k : k! = 720 »53 10.4 Binomialverteilung ─────────────────────────────────────────────────────────────────── Berechnet werden für eine b(k;n;p) verteilte Zufallsgröße X bei festem n und festem p - ein Stabdiagramm der Wahrscheinlichkeiten P( X = k ) - ihre numerischen Werte in einem Intervall [k-min;k-max] - die Wahrscheinlichkeit P( k-min ≤ X ≤ k-max) «54 Theorie : Aus einer Urne mit einem Anteil von p roten Kugeln werden n Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße X gibt an, wieviel rote Kugeln gezogen wurden. Die Wahrscheinlichkeit, daß k der gezogenen Kugeln rot sind, wird mit P(X=k) = b(k;n;p) bezeichnet. Eingegeben werden die Werte für n und p, wobei p als Wahrschein- lichkeit zwischen 0 und 1 liegen muß. Danach gibt ein einfaches Stabdiagramm einen ersten Überblick über die Werte von P( X=k ). In einer Wertetabelle werden die numerischen Werte ausgegeben. Beispiel: n = 50 p = .3 P( X = 8 ) = .010989 P( X = 9 ) = .021978 8 ▄▄ P( X = 10 ) = .038619 10 ▄▄▄▄▄▄ P( X = 11 ) = .060185 12 ▄▄▄▄▄▄▄▄▄▄▄▄▄▄ P( X = 12 ) = .083830 14 ▄▄▄▄▄▄▄▄▄▄▄▄▄▄▄▄▄▄▄ P( X = 13 ) = .105017 16 ▄▄▄▄▄▄▄▄▄▄▄▄▄▄▄▄▄▄▄ P( X = 14 ) = .118948 18 ▄▄▄▄▄▄▄▄▄▄▄▄▄ P( X = 15 ) = .122347 20 ▄▄▄▄▄▄ P( X = 16 ) = .114700 22 ▄▄ P( X = 17 ) = .098314 24 ▄ P( X = 18 ) = .077247 P( X = 19 ) = .055757 P( X = 20 ) = .037039 P( X = 21 ) = .022677 P( X = 22 ) = .012811 P( X = 23 ) = .006684 P( X = 24 ) = .003223 P( 8 ≤ X ≤ 24 ) = .990366 »54 - 33 - 10.5 Hypergeometrische Verteilung ─────────────────────────────────────────────────────────────────── Berechnet werden für eine h(k;n;m;r) verteilte Zufallsgröße X bei bei festem n, m und festem r ein Stabdiagramm und eine Wertetabelle für die Wahrscheinlichkeiten P( X = k ). «55 Die Routine ist besonders nützlich, da wegen der vier Eingabegrößen kaum Tabellen für die hypergeometrische Verteilung existieren und die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten sehr aufwendig ist. Theorie: Eine Urne enthält m Kugeln, von denen r rot sind. Werden n Kugeln ohne Zurücklegen gezogen, so gibt die Zufallsgröße X an, wieviel rote Kugeln gezogen wurden. Die Wahrscheinlichkeit, daß k der gezogenen Kugeln rot sind, wird mit P(X=k) = h(k,n,m,r) bezeichnet. Eingegeben werden die Zahl der gezogenen Kugeln n, die Gesamtzahl m und die Anzahl der roten Kugeln r. Da ohne Zurücklegen gezogen wird, muß n < m sein, außerdem natürlich r < m. »55 10.6 Normalverteilung ─────────────────────────────────────────────────────────────────── Berechnet werden für eine N(µ,σ²) verteilte Zufallsgröße X mit gegebenem Erwartungswert µ und Varianz σ² 1 -u(x)²/2 x - µ - die Dichtefunktion f(x) = ─────── ∙ e mit u(x) = ───── σ∙√(2π) σ x ⌠ - und die Verteilungsfunktion Φ(x) = │ f(t) dt ⌡ -∞ «56 Das Schaubild der Dichtefunktion f wird oft als Gauß-Kurve oder wegen seiner Form als Glockenkurve bezeichnet. Die Verteilungsfunk- tion Φ heißt auch Gauß-Fehlerfunktion, da man nach Gauß für die zufälligen Fehler astronomischer Beobachtungen diese Verteilung an- nimmt. Eingegeben werden der Erwartungswert µ und die Varianz σ². Für µ=0 und σ=1 erhält man die standardisierte Normalverteilung. Anschließend werden für die graphische Darstellung Zeichenbereich, Skalierung, Auflösung, Winkelmodus und Teil- oder Vollbild be- stimmt. Die Schaubilder von f(x) und Φ(x) werden gezeichnet, und ihre Funktionsterme werden in den Registern R9 und R10 abgelegt. Damit lassen sich im Programmpunkt Integralrechnung Flächen unter der Glockenkurve berechnen und damit Aufgaben der Form P(x1< X <x2) lösen. Zum Schluß wird eine Wertetabelle von f(x) und Φ(x) mit beliebiger Schrittweite ausgegeben. »56 - 34 - ┌─────────────────────────────────────────────────────────────────┐ │ 11 . D A S M E N Ü L I N E A R E A L G E B R A │ └─────────────────────────────────────────────────────────────────┘ 11.1 Lineare Gleichungssysteme ─────────────────────────────────────────────────────────────────── «61 Das Programm bestimmt den Lösungsvektor von einem System linearer Gleichungen ( LGS ) mit n Gleichungen und n Unbekannten (n≤10). Eingeben werden der Grad n und die Koeffizienten des Gleichungs- systems, das zuvor auf folgende Form gebracht werden muß: ┌ ┐ │ a(1,1)∙x(1) + ... + a(1,n)∙x(n) = b(1) │ │ : : : │ │ a(n,1)∙x(1) + ... + a(n,n)∙x(n) = b(n) │ Bsp : Sucht man eine Parabel durch die Punkte P(1/3), Q(2/1) und R(4/9), so führt dies auf das Gleichungssystem 1∙x(1) + 1∙x(2) + 1∙x(3) = 3 Mit dem Lösungsvektor: 4∙x(1) + 2∙x(2) + 1∙x(3) = 1 16∙x(1) + 4∙x(2) + 1∙x(3) = 9 ( 2, -8, 9 ) Die Parabel hat also die Gleichung y = 2x^2 - 8x + 9. »61 11.2 Linearkombination ─────────────────────────────────────────────────────────────────── «62 Das Programm bestimmt die Linearkombination eines Vektors aus drei gegebenen Vektoren. Sind diese linear abhängig, so wird das durch eine Fehlermeldung angezeigt. Die Routine eignet sich auch dazu, die lineare Unabhängigkeit von drei Vektoren im Raum zu prüfen, das heißt zu prüfen, ob die drei Vektoren in einer Ebene liegen. Beispiel 1 : ┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐ │ 1 │ │ 2 │ │ 0 │ │ 2 │ a∙│ 2 │ + b∙│ 1 │ + c∙│ 1 │ = │ 3 │ │ 0 │ │ 1 │ │ 0 │ │ 7 │ └ ┘ └ ┘ └ ┘ └ ┘ Ergibt : a = -12 , b = 7 , c = 20 Beispiel 2 : ┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐ │ 1 │ │ 2 │ │ 1 │ │ 2 │ a∙│ 2 │ + b∙│ 1 │ + c∙│ 5 │ = │ 3 │ │ 0 │ │ 1 │ │-1 │ │ 7 │ └ ┘ └ ┘ └ ┘ └ ┘ Ergibt : Die Vektoren sind linear abhängig »62 - 35 - 11.3 Skalarprodukt ─────────────────────────────────────────────────────────────────── «63 Das Programm berechnet zu zwei Vektoren deren Skalarprodukt, die Länge der beiden Vektoren und den eingeschlossenen Winkel. ┌ ┐ ┌ ┐ Beispiel: -> │ 1 │ -> │ 5 │ a = │ 3 │ b = │ 0 │ │ 1 │ │ 3 │ └ ┘ └ ┘ Skalarprodukt der Vektoren = 8 Länge des ersten Vektors = 3.32 Länge des zweiten Vektors = 5.83 eingeschlossener Winkel ß = 65.56° »63 11.4 Vektorprodukt ─────────────────────────────────────────────────────────────────── «64 Das Programm berechnet zu zwei Vektoren das Vektorprodukt, sowie seinen Betrag. Das Vektorprodukt steht auf dem von ihnen aufge- spannten Parallelogramm senkrecht, und sein Betrag ist gleich dem Flächeninhalt des Parallelogramms. ┌ ┐ ┌ ┐ Beispiel: -> │ 1 │ -> │ 7 │ a = │ 2 │ b = │ 1 │ │ 3 │ │ 4 │ └ ┘ └ ┘ ┌ ┐ -> -> │ 5 │ -> -> a x b = │ 17 │ │ a x b │ = 21.98 │-13 │ └ ┘ »64 11.5 Spatprodukt ─────────────────────────────────────────────────────────────────── «65 Das Programm berechnet zu drei Vektoren das Spatprodukt, dessen Betrag das Volumen des verschobenen Quaders (Spat) angibt, der von den drei Vektoren aufgespannt wird. Für linear abhängige Vektoren ist das Spatprodukt Null. ┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐ Beispiel: -> │ 2 │ -> │ 2 │ -> │ 3 │ a = │ 3 │ b = │ -1 │ c = │ 9 │ │ 5 │ │ 7 │ │ 2 │ └ ┘ └ ┘ └ ┘ -> -> -> ( a x b ) ∙ c = 26 »65 - 36 - 11.6 Matrizeninversion ─────────────────────────────────────────────────────────────────── «66 Das Programm berechnet zu einer quadratischen Matrix der Ordnung n die Determinante, den Rang und die inverse Matrix. Beispiel: Ordnung der Matrizen = 3 ┌ ┐ ┌ ┐ │ 0 1 1 │ │ 0.25 -0.25 0.5 │ │ 0 1 3 │ ist invers zu │ 1.5 -0.5 0 │ │ 2 0 1 │ │ -0.5 0.5 0 │ └ ┘ └ ┘ »66 11.7 Matrizenmultiplikation ─────────────────────────────────────────────────────────────────── «67 Das Programm berechnet zu zwei Matrizen die Produktmatrix. Nichtquadratische Matrizen müssen durch Nullen aufgefüllt werden. Beispiel: Ordnung der Matrizen = 4 1. Matrix : 2. Matrix : ┌ ┐ ┌ ┐ │ 1 2 3 : 0 │ │ 1 2 3 4 │ │ 4 5 6 : 0 │ │ 5 6 7 8 │ │ . . . . . . . . . │ │ 9 10 11 12 │ │ 0 0 0 : 0 │ │ . . . . . . . . │ │ 0 0 0 : 0 │ │ 0 0 0 0 │ └ ┘ └ ┘ Produktmatrix : ┌ ┐ │ 38 44 50 56 │ │ 83 98 113 128 │ │ . . . . . . . . │ │ 0 0 0 0 │ │ 0 0 0 0 │ └ ┘ »67 - 37 - ┌─────────────────────────────────────────────────────────────────┐ │ 12 . A N H A N G A : S Y N T A X R E G E L N │ └─────────────────────────────────────────────────────────────────┘ 12.1 Zahlschreibweisen ─────────────────────────────────────────────────────────────────── Fixkommadarstellung mit Dezimalpunkt: 1000.5 für 'Tausend Komma 5' Fließkommdarstellung mit Zehnerexponent: 1.2e3 für 1.2∙10^3 Die Kreiszahl π ≈ 3.1415926535898 kann als pi eingegeben werden. 12.2 Rechenzeichen ─────────────────────────────────────────────────────────────────── + Addition * Multiplikation ^ Potenzieren - Subtraktion / Division ( ) Klammern Das Multiplikationszeichen * darf nirgends weggelassen werden. Es gelten die üblichen Hierarchieregeln ( "Punkt vor Strich" ). Brüche werden in einer Zeile geschrieben, der Zähler und der Nenner bei Bedarf in Klammern gesetzt. 5x - 3 f(x) = ─────────── wird geschrieben als f(x) = (5*x-3)/(2*x+4) 2x + 4 f(x) = 3x² - 5x + 1 wird geschrieben als f(x) = 3*x^2-5*x+1 12.3 Funktionen ─────────────────────────────────────────────────────────────────── sqr(x) für die Quadratwurzelfunktion √x (square root) abs(x) für den Absolutbetrag │x│ int(x) für die Gaußklammer [x] (größte ganze Zahl kleiner gleich) sgn(x) für die Signumfunktion ( -1 für x<0, 0 für x=0, 1 für x>0 ) exp(x) für die natürliche Exponentialfunktion e^x ln(x), lg(x), ld(x) sind natürlicher, 10er- und 2er-Logarithmus sin(x), cos(x), tan(x), cot(x) immer mit Klammern schreiben !!! asin(x), acos(x), atn(x) die Arcusfunktionen der trig. Funktionen sh(x), ch(x), th(x) die hyperbolischen trigonometrischen Funktionen sec(x) = 1/cos(x), csc(x) = 1/sin(x) der Secans und der Cosecans fac(n) = 1∙2∙ ... ∙n die Fakultät einer natürlichen Zahl n norm(x) die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung - 38 - ┌─────────────────────────────────────────────────────────────────┐ │ 13 . A N H A N G B : E R G Ä N Z U N G E N │ └─────────────────────────────────────────────────────────────────┘ Aus Platzgründen, oder einfach wegen der größeren Übersichtlichkeit, wurden bisher einige vermutlich weniger benötigte Eigenschaften des Programms nicht beschrieben. 13.1 Der Parameter P ─────────────────────────────────────────────────────────────────── Zusätzlich zu den Parametern MATHEASS \[Pfad]\ Verzeichnis der Matheass-Dateien MATHEASS \[Graphikmodus]\ VGA, EGA, HERCULES oder CGA MATHEASS MONO bei monochromem Monitor MATHEASS INVERS für die Snapshot-Routinen kann auch festgelegt werden, welcher Programmteil als erstes aufge- rufen werden soll. Dies geschieht durch MATHEASS P [Nr. des Menütitels] [Nr. des Programmpunktes] Beispiel: MATHEASS P42 ruft als erstes den Funktionsplotter 1 auf, MATHEASS P2A die UPN-Taschenrechner ( A = hexadez. 10 ). 13.2 Die Control-Cursortasten ─────────────────────────────────────────────────────────────────── Bei Eingabenmasken mit vielen Felder können folgende Tastenkombina- tionen hilfreich sein : Strg Pos1 (Ctrl Home) springt immer in das erste Eingabefeld, Pos1 allein nur im TAB-Modus. Strg End (Ctrl End) springt immer in das letzte Eingabefeld, End allein nur im TAB-Modus. Strg Pfeil_aufwärts springt in die erste Eingabezeile, Strg Pfeil_abwärts springt in die letzte Eingabezeile. Bei älteren Tastaturtreibern werden diese beiden Kombinationen nicht abgefragt. Strg Bild_abwärts entspricht Bild_abwärts. Zusätzlich wird unten rechts die Zeit bis zur nächsten Tastaturabfrage also die Rechenzeit ange- zeigt. 13.3 Die automatische Fehlerkorrektur ─────────────────────────────────────────────────────────────────── Um die Eingabe von Funktionstermen sicherer zu machen, wurde eine Routine eingebaut, die fehlende Multiplikationszeichen wenn möglich ergänzt. Zum Beispiel wird 4x^2-3x automatisch zu 4*x^2-3*x. - 39 - ┌─────────────────────────────────────────────────────────────────┐ │ 14 . A N H A N G C : D A T E I F O R M A T E │ └─────────────────────────────────────────────────────────────────┘ Die MATHEASS-Diskette enthält folgende Dateien : START BAT zeigt erste Hinweise und startet das Programm MATHEASS EXE das Programm MATHEASS MATHEASS DOC Handbuch mit COPY MATHEASS.DOC PRN drucken MATHEASS NEU Programmänderungen in Stichworten MATHEASS HLP Steuerdatei für die Hilfefunktion MATHEASS PRN hier müssen Sie Ihre Druckertreiber eintragen MA PRM enthält die Primfaktoren EPS_FX DRV Druckertreiber für EPSON FX-80 und kompatible EPS_LQ DRV Druckertreiber für EPSON LQ " " EPS_MX DRV Druckertreiber für EPSON MX-80 " " HP_DESK DRV Druckertreiber für HP Deskjet " " NEC_P6 DRV Druckertreiber für NEC P6 " " Zusätzlich werden vom Programm selbst Dateien erzeugt, die folgende Typkennung haben : *.DAT sind diejenigen Dateien, die beim Abspeichern von Eingabe- daten mit F3 entstehen. Sie haben ein internes Format und können nur vom Programm selbst ( mit F4 ) gelesen werden. *.SCR enthalten Graphikbildschirme in einem internen Format. Sie werden mit Shift F1, ..., Shift F10 erzeugt und können im Editor mit Alt F1, ..., oder im Programmpunkt Beschriften wieder geladen werden. *.IMG enthalten Graphikbildschirme im IMG-Format. Sie werden mit F7 erzeugt und dienen zur Übernahme in entsprechende Text- verarbeitungsprogramme. Die Dateinamen werden vom Programm mit MA1.IMG, MA2.IMG usw. fortlaufend vergeben. *.PCX enthalten Graphikbildschirme im PCX-Format. Sie werden mit F8 erzeugt und dienen zur Übernahme in entsprechende Text- verarbeitungsprogramme. Die Dateinamen werden vom Programm mit MA1.PCX, MA2.PCX usw. fortlaufend vergeben. *.TXT enthalten Textbildschirme, die mit F7 oder F8 gespeichert wurden (MA1.TXT,...), eine Liste von Primzahlen (PRIM.TXT), oder eine Liste mit pythagoräischen Zahlen (PYTH.TXT). Es sind reine ASCII-Dateien, die mit jedem Editor bearbeitet werden können. *.ST enthalten eine Urliste für den Programmpunkt Statistik. Es sind ASCII-Dateien, die pro Zeile eine Zahl enthalten *.RG enthalten eine Liste von Zahlenpaaren für den Programmpunkt Regression. Es sind ASCII-Dateien, die pro Zeile ein Paar von Zahlen, durch Komma getrennt, enthalten. *.TMP sind temporäre Dateien, die bei regulärem Programmabschluß wieder gelöscht werden. - 40 - ┌─────────────────────────────────────────────────────────────────┐ │ 15 . A N H A N G D : D R U C K E R T R E I B E R │ └─────────────────────────────────────────────────────────────────┘ Die erste Zeile der Druckertreiber enthält eine 0, eine 9 oder 24 für Laserdrucker, 9-Nadeldrucker oder 24-Nadeldrucker. Dann folgen für VGA, EGA, HGC und CGA jeweils fünf Zeilen, die den vertikalen Streckfaktor und die Sequenzen zum Initialisieren des Druckers, zum Einstellen des Zeilenabstandes, zur Wahl der Graphikauflösung usw. enthalten. Für nichtdruckbare Zeichen wird ihr ASCII-Code in eckigen Klammern eingegeben ( z.B. [27] für ESC ). 13.1 HP_DESK.DRV ─────────────────────────────────────────────────────────────────── 0 Druckertyp ( 0 für Laser ) VGA: 1 Vertikaler Streckfaktor : 1 ( ≥ 1 ) [27]E[27]&l0C Drucker initialisieren : ESC E Zeilenabstand 0/48 Zoll : ESC & l 0 C [27]*t100R[27]*r0A Graphikauflösung 100 dpi : ESC * t 100 R Graphikbeginn linker Rand : ESC * r 0 A [27]*b Graphikzeilenanfang : ESC * b <Bytes> W Druckbytes und W werden vom Programm gesetzt [27]*rB[27]&l6D Graphikende : ESC Zeilenabstand 6 lpi : ESC & l 6 D EGA: HGC CGA 1.3 1.5 2.3 [27]E[27]&l0C [27]E[27]&l0C [27]E[27]&l0C [27]*t100R[27]*r0A [27]*t100R[27]*r0A [27]*t100R[27]*r0A [27]*b [27]*b [27]*b [27]*rB[27]&l6D [27]*rB[27]&l6D [27]*rB[27]&l6D 13.2 NEC_P6.DRV ─────────────────────────────────────────────────────────────────── 24 Druckertyp ( 24 für 24-Nadeldrucker ) VGA 2 Vertikaler Streckfaktor : 2 (natürliche Zahl) [27]@ Drucker initialisieren : ESC @ [27]3[23] Zeilenabstand einstellen: ESC 3 <23> [27]*[38] Graphikmodus wählen : ESC * <38> [27]2 Zeilenabstand zurückst. : ESC 2 EGA: HGC CGA 3 3 4 [27]@ [27]@ [27]@ [27]3[22] [27]3[24] [27]3[27] [27]*[38] [27]*[38] [27]*[38] [27]2 [27]2 [27]2 - 41 - 13.3 EPS_MX.DRV ─────────────────────────────────────────────────────────────────── 9 Druckertyp ( 9 für 9-Nadeldrucker ) VGA: 1 Vertikaler Streckfaktor : 1 (natürliche Zahl) [27]@ Drucker initialisieren : ESC @ [27]3[24] Zeilenabstand einstellen: ESC 3 <24> [27]Y Graphikmodus wählen : ESC Y ( bzw. L ) [27]2 Zeilenabstand zurückst. : ESC 2 EGA: HGC CGA 1 1 2 [27]@ [27]@ [27]@ [27]3[24] [27]3[24] [27]3[24] [27]Y [27]Y [27]Y [27]2 [27]2 [27]2 13.4 EPS_FX.DRV ─────────────────────────────────────────────────────────────────── 9 Druckertyp ( 9 für 9-Nadeldrucker ) VGA: 1 Vertikaler Streckfaktor : 1 (natürliche Zahl) [27]@ Drucker initialisieren : ESC @ [27]3[21] Zeilenabstand einstellen: ESC 3 <21> [27]*[4] Graphikmodus wählen : ESC * <4> [27]2 Zeilenabstand zurückst. : ESC 2 EGA: HGC CGA 1 1 1 [27]@ [27]@ [27]@ [27]3[24] [27]3[24] [27]3[24] [27]*[6] [27]*[1] [27]*[4] [27]2 [27]2 [27]2 13.5 EPS_LQ.DRV ─────────────────────────────────────────────────────────────────── 24 Druckertyp ( 24 für 24-Nadeldrucker ) VGA 2 Vertikaler Streckfaktor : 2 (natürliche Zahl) [27]@ Drucker initialisieren : ESC @ [27]3[22] Zeilenabstand einstellen: ESC 3 <22> [27]*[38] Graphikmodus wählen : ESC * <38> [27]2 Zeilenabstand zurückst. : ESC 2 EGA: HGC CGA 3 3 4 [27]@ [27]@ [27]@ [27]3[21] [27]3[22] [27]3[25] [27]*[38] [27]*[38] [27]*[38] [27]2 [27]2 [27]2 - 42 - ┌─────────────────────────────────────────────────────────────────┐ │ 16 . A N H A N G E : T I P S U N D T R I C K S │ └─────────────────────────────────────────────────────────────────┘ Die Snapshot-Routinen unterstützen noch nicht den VGA-Modus. Haben Sie eine VGA-Karte, dann starten Sie mit MATHEASS EGA oder Sie ver- wenden ein speicherresidentes Snapshot-Programm wie z.B. VGA2GIF. Sollte Ihr Drucker mit keiner der Hardcopy-Routinen klarkommen, so können Sie auch die mit den Snapshot-Routinen erzeugten Dateien mit einem Graphikprogramm wie z.B. Graphics Workshop (GWS) von Alchemy Mindworks ausdrucken lassen. VGA2GIF und GWS sind Sharewareprogramme und können über jeden guten Sharewarehändler bezogen werden. Bei neueren Tastaturtreibern wird die Exponenttaste ^ zur Eingabe von Akzenten verwendet. Aus 3^abs(x) wird daher, falls Sie nicht nach ^ die Leertaste drücken, 3âbs(x). Bei den Taschenrechnern wird aus dem gleichen Grund erst potenziert, wenn Sie zusätzlich zu ^ die Leertaste gedrückt haben. Da die Funktionsplotter nicht auf rationale Funktionen beschränkt sind, sondern beliebige Terme akzeptieren, ist es nicht so einfach möglich, Lücken im Definitionsbereich zu erkennen. Außer bei extrem großen Sprüngen wird daher über Pole mit Vorzeichenwechsel hinweg gezeichnet. Wählen Sie die Auflösung möglichst groß, dann wird die die Verbindungslinie unterdrückt oder wenigstens als senkrechte Ge- rade gezeichnet, die wie die Asymptote aussieht. Die Linienarten 2, 3 und 4 sind bei großer Auflösung nur noch in Bereichen mit großer Steigung zu erkennen, da sonst der Abstand der berechneten Kurvenpunkte kleiner ist als die Strichlänge. Die Primzahlen werden im gleichnamigen Programmpunkt nur so weit, dargestellt, wie sie auf dem Bildschirm Platz haben. Wählen Sie bei großen Bereichen als Ausgabe die Datei PRIM.TXT. Sie wird nach der Berechnung zum Blättern angezeigt. Im Programmpunkt Abbildungen kann es vorkommen, daß die Bildpunkte der letzten Abbildung nicht mehr angezeigt werden. Setzen sie dann die Linienart der vorausgehenden Abbildungen auf Null. Die Wertetabellen in der Normalverteilung und der Kurvendiskussion zeigen unter Umständen nicht das gesamte Intervall an. Wählen Sie eine größere Schrittweite oder lassen Sie sich die Wertetabelle in mehreren Schritten anzeigen und mit F7/F8 in eine Datei schreiben. Es wurde zwar großen Wert darauf gelegt, Eingabefehler abzufangen. Sollte sich das Programm doch einmal 'aufhängen', können Sie es mit Strg Untbr ( Ctrl Break ) abbrechen. Allerdings wird dann die Farb- palette nicht wieder zurückgesetzt. Geben Sie dazu MODE CO80 ein. - 43 - Ergänzen Sie hier Ihre eigenen Tips oder schreiben Sie sie mir. ───────────────────────────────────────────────────────────────────