home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Collection of Education / collectionofeducationcarat1997.iso / TEACHING / AYRFC_2.ZIP / CII_1.HLP < prev    next >
Text File  |  1989-09-07  |  4KB  |  110 lines
  1.  
  2.  
  3.                       REVIEW OF TRIG. IDENTITIES
  4.  
  5. You will need to memorize the trig. identities:
  6.  
  7.             2         2        
  8.      (1) sin x  +  cos x  =  1,
  9.  
  10.      (2) sin(x + y)  =  (sin x)(cos y)  +  (sin y)(cos x),
  11.  
  12.      (3) cos(x + y)  =  (cos x)(cos y)  -  (sin x)(sin y).
  13.  
  14.  
  15. You will want to learn how to derive the rest from these.  For example
  16.  
  17.                        2                 2         2
  18. division of (1) by  cos x  gives  1 + tan x  =  sec x  and division by
  19.  
  20.    2                    2         2
  21. sin (x)  yields  1 + cot x  =  csc x.  Using the odd and even properties  
  22.  
  23. of sine and cosine, we get, on putting  -y  for  y  in (2) and (3), that
  24.  
  25.      (4) sin(x - y)  =  (sin x)(cos y)  -  (sin y)(cos x)   and
  26.  
  27.      (5) cos(x - y)  =  (cos x)(cos y)  +  (sin x)(sin y).
  28.  
  29. Addition of (2) and (4), and addition of (3) and (5) give respectively
  30.  
  31.                            1
  32.         (sin x)(cos y)  =  ─ [sin(x + y)  +  sin(x - y)] 
  33.                            2
  34. and
  35.                            1
  36.         (cos x)(cos y)  =  ─ [cos(x + y)  +  cos(x - y)] .
  37.                            2
  38.  
  39. An identity for the product of sine functions results from subtraction 
  40.  
  41.                                          1   
  42. of (3) from (5) viz.  (sin x)(sin y)  =  ─ [(cos(x - y) - cos(x + y)].
  43.                                          2
  44.                                                 tan x  +  tan y
  45. Division of (2) by (3) yields:  tan(x + y)  = ───────────────────  .
  46.                                                1 - (tan x)(tan y)
  47.  
  48.                                                    2             2
  49. To obtain identities needed for integration of  sin (x)  and  cos (x)
  50.  
  51.                                           2       2
  52. we put  y = x  in (3) to get  cos 2x = cos x - sin x.  Then using
  53.  
  54.    2       2                        2                  2
  55. sin x + cos x = 1  to eliminate  sin (x)  and then  cos x  gives:
  56.  
  57.       2      1                       2        1
  58.    cos x  =  ─ (1 + cos 2x)  and  sin (x)  =  ─ (1 - cos 2x).
  59.              2                                2
  60.  
  61. You will use these often enough that you will need to learn them.
  62.  
  63. To find any of the trig. functions at an obtuse angle Θ, use the
  64. value of the trig. function at the related acute angle Φ and find the
  65. appropriate sign.  For example:
  66.  
  67.                                                  ┌──
  68.                             3π          π       \│ 2
  69.                         cos ──  =  -cos ─  =  - ─── .
  70.                              4          4        2                          
  71.  
  72.  
  73. A function  f  is periodic with period  p  if  p  is the least positive
  74. number for which  f(x + p) = f(x).
  75.  
  76.  
  77.  
  78.                    INVERSE FUNCTIONS AND LOGARITHMS
  79.  
  80.        
  81. A function which is one to one has an inverse function.  To find this
  82. inverse function start with  y = f(x), interchange  x  and y, then solve for
  83.                                                          -1
  84.  y  as a function of x.  This function of x will be y = f (x).
  85.                                                              x
  86. In algebra you studied the exponential function  y = f(x) = b , b > 1,
  87. which is one to one and its inverse is: 
  88.                              -1
  89.                         y = f  (x) = log (x).
  90.                 -1                      b
  91. Composition of f   and f yields
  92.  
  93.                                    y
  94.                   y = log (x) <=> b  = x .
  95.                          b
  96.  
  97. From this equivalence we obtain properties of logarithms as:
  98.  
  99.    1)  log (xy)   =  log (x)  +  log (y)
  100.           b             b           b
  101.              p
  102.    2)  log (x )   =  p log (x)
  103.           b               b
  104.  
  105.    3)  log (x/y)  =  log (x)  -  log (y)
  106.           b             b           b
  107.  
  108.    4)  log (1)    =  O .
  109.           b
  110.