TEXT 2 > ─ Text1Article * Text1Heading <P1>Un número irracional es aquél que no se puede expresar como <I>p/q</I>, donde <I>p</I> y <I>q</I> son <HOT TARGET=699>enteros</HOT> y <I>q</I> es mayor que 0. Los números que se pueden expresar de esta forma se denominan números racionales. Por ejemplo, las <HOT TARGET=1660>fracciones</HOT> tales como 1/2, 1/3 y 3/4 son números racionales. Los enteros también son números racionales, ya que cada entero se puede expresar como una fracción de <HOT TARGET=1227>denominador</HOT> 1. Por ejemplo, 6 se puede escribir como 6/1. Son ejemplos de números irracionales <HOT TARGET=276> pi</HOT> (π), el <HOT TARGET=1535>número de Euler</HOT> (<I>e</I>) y √2.</P1><P>Los números irracionales se descubrieron en el siglo VI a.C. en Grecia, cuando se encontró que era posible dibujar una línea cuya longitud no era un número racional. Si dibujamos un cuadrado en el que cada lado mida una unidad de longitud, entonces la longitud de la diagonal viene dada por </P><P>de acuerdo con el <HOT TARGET=1664>teorema de Pitágoras</HOT>, y √2 es un número irracional.</P><H1>Demostración de que √2 es irracional</H1><P>Un colega desconocido de Pitágoras presentó la siguiente demostración (por <HOT TARGET=1080>contradicción</HOT>) de que √2 es un número irracional.</P><P>Para empezar, suponemos que √2 es un número racional. Cada número racional se puede escribir como <I>a/b</I>, donde el <HOT TARGET=1665>máximo común divisor</HOT> de <I>a</I> y <I>b</I> es 1. Por tanto, suponemos </P><P>Elevando al cuadrado ambos lados de esta ecuación, nos da </P><P>y por tanto </P><DISPMATH><I>a</I><SUP>2</SUP> = 2<I>b</I><SUP>2</SUP></DISPMATH><P>Esto significa que <I>a</I><SUP>2</SUP> debe ser un número par porque es divisible por 2 para dar <I>b</I><SUP>2</SUP>, pero <I>a</I><SUP>2</SUP> sólo puede ser par si <I>a</I> es par (porque la raíz cuadrada de un número impar siempre es impar). Como <I>a</I> es par, se puede dividir por 2, lo que significa que se puede escribir como <FORMULA><I>a</I> = 2<I>c </I></FORMULA>, donde <I>c</I> es un entero. Entonces </P><DISPMATH><I>a</I><SUP>2</SUP> = 4<I>c</I><SUP>2</SUP></DISPMATH><P>por tanto </P><DISPMATH>2<I>b</I><SUP>2</SUP> = 4<I>c</I><SUP>2</SUP></DISPMATH><P>o sea, </P><DISPMATH><I>b</I><SUP>2</SUP> = 2<I>c</I><SUP>2</SUP></DISPMATH><P>Esto significa que <I>b</I><SUP>2</SUP> debe ser un número par porque se puede dividir por 2 para dar <I>c</I><SUP>2</SUP>, y por tanto <I>b</I> es par. Pero esto significa que tanto <I>a</I> como <I>b</I> son pares y divisibles por 2. Esto contradice nuestro supuesto inicial de que el máximo factor común de <I>a</I> y <I>b</I> es 1, y por tanto debemos concluir que √2 no se puede expresar como un número racional y por tanto es irracional.</P><H1>Aproximación de un irracional</H1><P>Se puede interpretar que los números representan los puntos de una recta (ver diagrama). Los números racionales parecen rellenar la mayor parte de la recta ya que, entre cualquier par de números racionales, <I>a</I> y <I>b</I>, siempre podemos hallar otro número racional, <FORMULA> ½(<I>a</I> + <I>b</I>) </FORMULA>. Por ejemplo, entre 3/5 y 2/3 se encuentra el número racional 19/30.</P><CAPH_L>Representación de números sobre una recta</CAPH_L><P>Hay una infinidad de números racionales. Éstos rellenan los huecos entre los números racionales y, por tanto, también hay una infinidad de números irracionales.</P><P>Podemos hallar un número racional que se aproxime a un número irracional cualquiera con el grado de exactitud que deseemos. Esto puede verse más claramente si representamos los números como decimales. Un número racional cualquiera se puede escribir o bien como <HOT TARGET=1620>decimal finito</HOT> o como <HOT TARGET=1666>decimal periódico</HOT>. Un número irracional cualquiera tiene una representación <HOT TARGET=1667>decimal infinita</HOT>, que ni termina ni es periódica. Una aproximación racional de un número irracional sería tomar las primeras cifras de la representación decimal del irracional dado. Por ejemplo, el número irracional π se representa por el decimal infinito 3,14159265358979…. Esto a menudo se aproxima por el número racional 3,14. Cuantas más posiciones decimales utilicemos en la aproximación, más exacta será ésta. </P><TITLE>Números irracionales</TITLE>
