home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Multimedia Algebra / Algebra1.iso / ALGEBRA1 / CHAPTER5.4T < prev    next >
Text File  |  1994-02-15  |  7KB  |  255 lines
  1.  253 
  2. à 5.4ïFinding the Slope of a Line
  3. äïPlease find the slope of a line passing through the two
  4. êêgiven points.
  5. âïFind the slope of the line passing through the points (2,3) and
  6. êï(4,-9).
  7. #êêë y½ - y¬êê -9 - 3ê-12
  8. ïslope formula m = ───────êè m = ──────è=è───è=è-6
  9. #êêë x½ - x¬êêï4 - 2ê 2
  10. éS
  11. Since the slope is equal to the ratio of the rise to run, we can place
  12. the vertical change over the horizontal change to get the slope.ïThus
  13. the slope is found by placing the difference in the y coordinates over
  14. the difference in the x coordinates.ïThe letter 'm' is used instead of
  15. #writing out the word slope.ëy½ - y¬
  16. êêêêm = ───────
  17. #êêêêè x½ - x¬
  18.  
  19. In the example, the two points are given as (2,3) and (4,-9).ïThe
  20. difference in the y coordinates is expressed as -9 - 3.ïThe
  21. corresponding difference in the x coordinate is 4 - 2.ïThus the slope
  22. êêêê-9 - 3ë-12
  23. êêêèm = ──────ï=ï───ï= -6
  24. êêêê 4 - 2ë 2
  25.  1ïFind the slope of the line passing through the points (4,7)
  26. êè and (-3,8).
  27.  
  28. êè 1êêï2êêè4êê å
  29. ëA)ï- ─êëB)ï─êëC) - ─êëD)ïof
  30. êè 7êêï3êêè5êê ç
  31. ü
  32. êêè8 - 7ê 8 + (-7)ê 1ê 1
  33. êëm = ──────è=è─────────è=è ─è=ï- ─
  34. êêï-3 - 4ê-3 + (-4)ë - 7ê 7
  35. Ç A
  36.  2ïFind the slope of the line passing through the points (-5,6)
  37. êè and (7,-3).
  38.  
  39. êï3êêë 3êêï7êêå
  40. ëA)ï─êêB)ï- ─êèC) - ──êè D)ïof
  41. êï5êêë 4êê 11êêç
  42. ü
  43. êêï-3 - 6ê-3 + (-6)ê-9ê 3
  44. êëm = ──────è=è─────────è=è──è=ï- ─
  45. êêï7 -(-5)ê7 + (5)ê 12ê 4
  46. Ç B
  47. äïPlease find the slope of the following lines.
  48. âêêê 3y - 6x = 12
  49. ë3y - 6x + 6x = 6x + 12
  50. êê 3y = 6x + 12
  51.  
  52. êê 3yè6xè12
  53. #êê ── = ── + ──ï──────────¥ïy = 2x + 4è The slope is 2.
  54. êêï3è 3è 3
  55. éS
  56. To find the slope of the line with equation, 3y - 6x = 12, just solve
  57. for y.
  58. êêë 3y - 6x + 6x = 6x + 12
  59. êêêêï3y = 6x + 12
  60.  
  61. êêêêï3yè6xè12
  62. #êêêêï── = ── + ──ï──¥ïy = 2x + 4
  63. êêêêè3è 3è 3
  64. When the equation is in this form, the coefficient of 'x' is the slope
  65. of the line.ïIn this example the coefficient of 'x' is 2. Thus the
  66. slope of the line is 2.
  67. êêêêëm = 2
  68. This is a short cut for finding the slope.ïWe would find two points on
  69. the line and use the slope formula to find the slope, as we did in the
  70. previous two problems, but that usually takes a little longer.ïWe will
  71. see why this shortcut works in the next section.
  72.  3êè Find the slope ofï2x + 6y = 8.
  73.  
  74.  
  75. êêêêï1êêêêèå
  76. ëA)ï6êêB)ï- ─êèC) - 12êè D)ïof
  77. êêêêï3êêêêèç
  78. üêè2x + 6y = 8
  79. êè 2x - 2x + 6y = -2x + 8
  80. êêê6y = -2x + 8
  81.  
  82. êêê6yè-2xè8êê 1è 4êë 1
  83. #êêê── = ─── + ─ï────¥ïy = - ─x + ─ï──¥ïm = - ─
  84. êêê 6ë6è6êê 3è 3êë 3
  85. Ç B
  86.  4êè Find the slope of -4x + 2y = 6.
  87.  
  88.  
  89. êêêêêêêêë å
  90. ëA)ï6êêB)ï- 2êèC)ï2êë D)ïof
  91. êêêêêêêêë ç
  92. üêï-4x + 2y = 6
  93. êè-4x + 4x + 2y = 4x + 6
  94. êêê2y = 4x + 6
  95.  
  96. êêê2yè 4xè6
  97. #êêê── = ─── + ─ï────¥ïy =ï2x + 3ï──¥ïm = 2
  98. êêê 2ë2è2
  99. Ç C
  100.  5êè Find the slope ofï2x - 3y = 4.
  101.  
  102.  
  103. êï2êêè 4êêè2êê å
  104. ëA)ï─êêB)ï─êëC) - ─êëD)ïof
  105. êï3êêè 3êêè3êê ç
  106. üêè2x - 3y = 4
  107. êè 2x - 2x - 3y = -2x + 4
  108. êêë -3yè-2xè 4êê2ë4êè2
  109. êêë ─── = ─── + ──êïy =ï─∙x - ─ë m = ─
  110. #êêê-3è -3è-3ï────¥ê3ë3 ──¥ë 3
  111. Ç A
  112. äïPlease find the slope of the following horizontal and
  113. êêvertical lines.
  114. âëThe slope of a line with equation, y = 3, is zero.
  115. êêêêè m = 0
  116.  
  117. êëThe slope of a line with equation, x = -2, is undefined. It
  118. êëis said to have 'no slope'.
  119. éS
  120. To find the slope of a line with equation, y = 3, we would first have to
  121. recognize that this is a horizontal line.ïIt runs parallel to the x-
  122. axis.ïSince there is no vertical change or since the line is flat, it
  123. is said to have zero slope, i.e.ïm = 0.
  124.  
  125. On the other hand the line with equation x = -2, is recognized as a
  126. vertical line.ïIt runs parallel to the y-axis and is straight up.ïThe
  127. slope of a vertical line is actually infinity, but since infinity is not
  128. a real number, it is easier to say that the slope is 'undefined' or that
  129. there is 'no slope'.ïSo the line with equation, x = -2, has 'no slope'.
  130.  6êêFind the slope of 2y = -6.
  131.  
  132.  
  133. ïA)ïno slopeê B)ï0êè C)ï2êèD) å of ç
  134. üêêêë2y = -6
  135. êêêêëy = -3
  136.  
  137. êëThis is a horizontal line and so the slope is '0'.
  138. Ç B
  139.  7êêFind the slope of x = 5.
  140.  
  141.  
  142. ïA)ï5êë B)ï0êè C) no slopeêïD) å of ç
  143. ü
  144. êêêêëx = 5
  145.  
  146. êëThis is a vertical line and so it has 'no slope'.
  147. Ç C
  148.  8êêêêêë 2
  149. êêèFind the slope of the line y = - ─.
  150. êêêêêêê 3
  151. êêêêêêï2
  152. ïA)ï0êëB) no slopeê C)ï- ─ê D) å of ç
  153. êêêêêêï3
  154. üêêêêè2
  155. êêêêèy = - ─
  156. êêêêêï3
  157.  
  158. êëThis is a horizontal line and so the slope is '0'.
  159. Ç A
  160. äïPlease determine if the following pairs of lines are
  161. êêparallel, perpendicular, or neither.
  162. âSë6x + 3y = 6êêë 9x - 3y = 6
  163. êë 4x + 2y = 8êêë 2x + 6y = 6
  164.  
  165. Since the slope of each line is -2ëSince the slope of the first line
  166. the two lines are parallel.êëis 3 and the slope of the second
  167. êêêêêëline is -1/3, the two lines are
  168. êêêêêëperpendicular.
  169. éS
  170. #Two lines are said to be parallel if their slopes are equal, i.e. m¬= m½
  171. Two lines are said to be perpendicular if their slopes are negative
  172. reciprocals of each other, i.e.êè 1
  173. #êêêêë m¬ = - ──
  174. #êêêêêë m½
  175.  
  176. If neither of ç two conditions are true, then the two lines are
  177. neither parallel or perpendicular.
  178.  
  179. In order to determine if the pair of equations 6x + 3y = 6 and
  180. 4x + 2y = 8 are parallel, perpendicular, or neither, you must find the
  181. slope of each line.ïThe quickest way is to solve for 'y' and identify
  182. the slope as the coefficient of 'x'.
  183.  
  184. ê6x + 3y = 6êêêê4x + 2y = 8
  185. ï6x - 6x + 3y = -6x + 6êêè4x - 4x + 2y = -4x + 8
  186. êë3y = -6x + 6êêêë 2y = -4x + 8
  187. êë3yè-6xè6êêêë 2yè-4xè8
  188. êë── = ─── + ─êêêë ── = ─── + ─
  189. êë 3ë3è3êêêê2è 2è 2
  190. êë y = -2x + 2èm = -2êêëy = -2x + 4èm = -2
  191. Since both of ç lines have slope " -2 ", they are parallel.
  192.  
  193. Similarly, solving for 'y' in the equation, 9x - 3y = 6 gives y = 3x - 2.
  194. The slope is seen to be 3.ïOn the other hand solving the equation
  195. 2x + 6y = 6 for 'y' gives y = -1/3x + 1. The slope of this line is -1/3.
  196. Since the two slopes are negative reciprocals of each other, the two
  197. lines are perpendicular.
  198.  9ïDetermine if the pair of lines, 3x - 2y = 1 and 6x - 4y = 3
  199. êè are parallel, perpendicular or neither.
  200.  
  201.  
  202. A) perpendicularë B) parallelë C) neitherë D) none of ç
  203. üï3x - 2y = 1êêêï6x - 4y = 3
  204. è3x - 3x - 2y = -3x + 1êë6x - 6x - 4y = -6x + 3
  205. êë-2y = -3x + 1êêê-4y = -6x + 3
  206.  
  207. êë-2yè-3xè 1êêë -4yè-6xè 3
  208. êë─── = ─── + ──êêë ─── = ─── + ──
  209. êë -2è -2è-2êêê-4è -4è-4
  210.  
  211. êêè 3è 1ê 3êêë3è 3ê3
  212. êêy = ─x - ─è m = ─êê y = ─x - ─èm = ─
  213. êêè 2è 2ê 2êêë2è 4ê2
  214.  
  215. êèSince the two slopes are equal, the lines are parallel.
  216. Ç B
  217.  10ïDetermine if the pair of lines, x + 3y = 4 and -6x + 2y = 7
  218. êè are parallel, perpendicular or neither.
  219.  
  220.  
  221. A) perpendicularë B) parallelë C) neitherë D) none of ç
  222. üèx + 3y = 4êêê -6x + 2y = 7
  223. ëx - x + 3y = -x + 4êë-6x + 6x + 2y = 6x + 7
  224. êë 3y = -x + 4êêêï2y = 6x + 7
  225.  
  226. êë 3yè -xè 4êêê2yè 6xè 7
  227. êë ── =ï── +ï─êêê── =ï── +ï─
  228. êê3ë3è 3êêê 2ë2è 2
  229.  
  230. êêë 1è 4êè1êêë 7
  231. êêy = - ─x + ─è m = - ─êè y = 3x + ─èm = 3
  232. êêë 3è 3êè3êêë 2
  233.  
  234.  Since the two slopes are negative reciprocals of each other, the lines
  235.  are perpendicular.
  236. Ç A
  237.  11 Determine if the pair of lines, 2x + y = 4 and -x + 3y = 6.
  238. êè are parallel, perpendicular or neither.
  239.  
  240.  
  241. A) perpendicularë B) parallelë C) neitherë D) none of ç
  242. üè2x + y = 4êêêï-x + 3y = 6
  243. è 2x - 2x + y = -2x + 4êë -x + x + 3y = x + 6
  244. êêy = -2x + 4êêê 3y = x + 6
  245. êêm = -2
  246. êêêêêêë3yèxè6
  247. êêêêêêë── = ─ + ─
  248. These slopes are not equal and notêê3è3è3
  249. negative reciprocals of each other,
  250. the answer is neither.êêêêï1êë1
  251. êêêêêêë y = ─x + 2èm = ─
  252. êêêêêêêè3êë3
  253. Ç C
  254.  
  255.